2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.1函数的平均变化率学案含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE第六章导数及其应用6．1导数6．1.1函数的平均变更率最新课程标准1.理解函数平均变更率的概念，会求函数的平均变更率．(重点)2．理解函数平均变更率的几何意义和物理意义．(重点)3．理解数学中“以直代曲”的思想.[教材要点]学问点一函数的平均变更率函数的平均变更率的定义一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，则当Δx≠0时，商________＝eq\f(Δy,Δx)称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变更率．学问点二函数的平均变更率的几何意义即割线的斜率已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变更率．学问点三函数的平均变更率的物理意义即平均速度物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变更率．[基础自测]1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不行为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变更快慢的物理量．()2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则割线PQ的斜率为()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx3．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变更率为()A．1B．－1C．2D．－24．假如质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2,2.1]内质点M的平均速度等于()A．3m/sB．4mC．4.1m/sD．0.41m

题型一求函数的平均变更率例1(1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变更率，并推断在哪个区间上函数值变更得较快．eq\x(状元随笔)(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．(2)eq\x(求Δx＝x2－x1)→eq\x(求Δy＝fx2－fx1)→eq\x(计算\f(Δy,Δx))方法归纳1．求函数平均变更率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；其次步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．求平均变更率的一个关注点求点x1旁边的平均变更率，可用eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)的形式．跟踪训练1函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变更率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2题型二求物体在某段时间内的平均速度例2质点运动规律s＝eq\f(1,2)gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10m/s2)方法归纳求运动物体平均速度的两个步骤1．求时间变更量Δt和位移变更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；2．求平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)跟踪训练2一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．题型三平均变更率的几何意义例3已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．方法归纳已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)，即曲线割线的斜率就是函数的平均变更率．跟踪训练3已知函数y＝x2－1的图像上一点A(3,8)及邻近一点B(3＋Δx,8＋Δy)，则割线AB的斜率等于()A．6B．6＋ΔxC．6＋(Δx)2D．6xeq\x(温馨提示：请完成课时分层作业十一)第六章导数及其应用6．1导数6．1.1函数的平均变更率新知初探·自主学习学问点一eq\f(y2－y1,x2－x1)学问点二eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.答案：D3．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝－1.答案：B4．解析：平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝eq\f(0.41,0.1)＝4.1(m/s)，故选C.答案：C课堂探究·素养提升例1解析：(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变更率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变更率为eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因为eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变更得较快．答案：(1)C(2)见解析跟踪训练1解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故选C.答案：C例2解析：Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.答案：30＋5Δt跟踪训练2解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.例3解析：当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－1－22＋1,Δx)＝eq\f(2＋12－22,1)＝5