2024-2025学年高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模学案含解析北师大版必修1

PAGE§2实际问题的函数建模内容标准学科素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．2.能建立函数模型解决实际问题.精确数据分析强化数学运算娴熟数学建模授课提示：对应学生用书第71页[基础相识]学问点一常见函数模型eq\a\vs4\al(预习教材P120－130，思索并完成以下问题)(1)①斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？②在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？提示：①k＞0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．②当x＞0，α＞0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x＞0，α＜0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．(2)①依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？②数据拟合时，得到的函数为什么须要检验？提示：①主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．②因为依据已给的数据，作出散点图，依据散点图选择我们比较熟识的、最简洁的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．学问梳理常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx＜m，,cx＋dx≥m))学问点二解决函数应用问题的基本步骤学问梳理利用函数学问和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：[自我检测]1．今有一组数据，如下表所示：x12345y356.999.0111下列函数模型中，最接近的表示这组数据满意的规律的一个是()A．指数函数 B．反比例函数C．一次函数 D．二次函数解析：画出散点图，如图所示：视察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．答案：C2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x D．解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，……，分裂x次后变成y＝2x＋1个．答案：D3．某汽车在一时间段内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．解析：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27＝0.0025(v2－70v)＋4.27＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27＝0.0025(v－35)2＋1.2075.故v＝35km/h时，耗油量最少．答案：35授课提示：对应学生用书第71页探究一一次函数、二次函数模型[例1]某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发觉此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系中，依据表中供应的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，依据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．[思路点拨]依据(x，y)的关系→f(x)是一次函数→建立P的函数关系→利用二次函数的性质求最值．[解析]实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．(1)设f(x)＝kx＋b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝150.))∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50，∴对称轴x＝－eq\f(240,2×－3)＝40∈[30,50]．当销售单价为40元时，所获利润最大．方法技巧一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特殊是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要留意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．跟踪探究1.某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满意如图所示关系．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a＝120时，若该班每年须要纯净水380桶，请你依据供应的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用肯定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？解析：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，∵x＝8时，y＝400；x＝10时，y＝320.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝8k＋b，,320＝10k＋b，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－40，,b＝720，))∴y关于x的函数关系式为y＝－40x＋720(x＞0)．(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120＝6120(元)．当y＝380时，380＝－40x＋720，得x＝8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5＋228＝3458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3240，∴当x＝9时，Pmax＝3240.要使饮用桶装纯净水的年总费用肯定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51a≥Pmax＋228，解得a≥68，故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用肯定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．探究二指数型函数、对数型函数模型[例2]某城市2009年底人口总数为100万人，假如年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)．[解析](1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＞120，两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]＞lg120，整理得2＋xlg1.012＞2＋lg1.2，得x≥16，所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人．方法技巧指数型函数模型：y＝max＋b(a＞0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a＞0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．跟踪探究2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，探讨燕子的科学家发觉，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2eq\f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2eq\f(Q,10).解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15m/s.探究三分段函数模型[例3]某商场在促销期间规定：商场内全部商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满肯定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围[188,388](388,588](588,888](888,1188]……获得奖券的金额(元)285888128……依据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重实惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元．于是，该顾客获得的实惠额为：400×0.2＋28＝108元．设购买商品得到的实惠率＝eq\f(购买商品获得的实惠额,商品的标价).试问：(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的实惠率是多少？(2)当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的实惠率y关于标价x元之间的函数关系式；(3)当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过35%的实惠率？若可以，请举一例；若不行以，试说明你的理由．[思路点拨]结合实例计算(1)；当x∈[100,235)，[235,485]，(485,600]，求y与x的关系式；在(2)的基础上计算每一段上的实惠率，分析是否达到35%.[解析](1)由题意，标价为1000元的商品消费金额为1000×0.8＝800元，故实惠额为：1000×0.2＋88＝288元，则实惠率为eq\f(288,1000)＝28.8%.(2)由题意，当消费金额为188元时，其标价为235元；当消费金额为388元时，其标价为485元；当消费金额为588元时，其标价为735元．由此可得，当商品的标价为[100,600]元时，顾客得到的实惠率y关于标价x元之间的函数关系式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x,x)＝0.2，x∈[100，235，,\f(0.2x＋28,x)＝\f(28,x)＋0.2，x∈[235，485]，,\f(0.2x＋58,x)＝\f(58,x)＋0.2，x∈485，600].))(3)当x∈(0,235)时，实惠率即为：20%；当x∈[235,485]时，实惠率为：y＝0.2＋eq\f(28,x)，此时的最大实惠率为0.2＋eq\f(28,235)≈0.319＜35%.当x∈(485,600]时，实惠率为：y＝0.2＋eq\f(58,x)，此时的实惠率y＜0.2＋eq\f(58,485)≈0.32＜35%；综上，当顾客购买不超过600元商品时，可得到的实惠率不会超过35%延长探究假如此人实际消费1000元，问该人得到实惠额共多少元？解析：此人得到的实惠额为：eq\f(1000,0.8)×0.2＋128＝378元．方法技巧1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要留意规范书写格式；二要留意各段的自变量的取值范围，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．2．解决分段函数问题需留意几个问题：(1)全部分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)一般地，分段函数由几段组成，必需留意考虑各段的自变量的取值范围．跟踪探究3.如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域．解析：如图，过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH＝eq\f(1,2)，AG＝eq\f(3,2)，当M位于H左侧时，AM＝x，MN＝x，∴y＝S△AMN＝eq\f(1,2)x2,0≤x＜eq\f(1,2).当M位于H，G之间时，y＝eq\f(1,2)AH·HB＋HM·MN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)≤x＜eq\f(3,2).当M位于G，D之间时，y＝S梯形ABCD－S△MDN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2＋1)－eq\f(1,2)(2－x)(2－x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－eq\f(5,4)，eq\f(3,2)≤x≤2.∴所求函数的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，0≤x＜\f(1,2)，,\f(1,2)x－\f(1,8)，\f(1,2)≤x＜\f(3,2)，,－\f(1,2)x2＋2x－\f(5,4)，\f(3,2)≤x≤2.))∴函数的定义域为[0,2]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).探究四拟合函数模型的应用[例4]环境污染已经严峻危害人们的健康，某工厂因排污比较严峻，确定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又起先上升，现用下列三个函数模型从整治后第一个月起先工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq\f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．[解析]用h(x)模拟比较合理．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．方法技巧对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预料的一般步骤是：(1)能够依据原始数据、表格，描出数据点．(2)通过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．假如全部实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个非常完备的事情，但在实际应用中，这种状况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能地匀称分布在直线或曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)依据所学函数学问，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，依据条件对所给问题进行预料和限制，为决策和管理供应依据．跟踪探究4.为了估计山上积雪溶化后对下游浇灌的影响，在山上建立了一个视察站，测量最大积雪深度xcm与当年浇灌面积yhm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm浇灌面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出浇灌面积y(hm2)随积雪深度x(cm)改变的图像；(2)建立一个能基本反映浇灌面积改变的函数模型y＝f(x)，并画出图像；(3)依据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25cm时，可以浇灌的土地数量．解析：(1)描点作图如图甲．甲乙(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线旁边，由此，我们假设浇灌面积y和最大积雪深度x满意线性函数模型y＝ax＋b(a≠0)．取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21.1＝10.4a＋b，,45.8＝24.0a＋b，))用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图像如图乙，可以发觉，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与浇灌面积的关系．(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25cm时，可以浇灌土地47.4hm2.授课提示：对应学生用书第74页[课后小结]1．函数模型的应用实