2024-2025学年高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积课时作业含解析北师大版必修4

PAGE其次章平面对量[课时作业][A组基础巩固]1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．72 B．－72C．36 D．－36解析：∵a·b＝|a||b|cos60°＝12，∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝36－12－96＝－72.答案：B2．设向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝()A．1 B．4C．2 D．5解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5.答案：D3．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2eq\r(2)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：设向量a与b的夹角为θ.∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2\r(2),2×2)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝eq\f(π,4).答案：B4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2 B．4C．6 D．12解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.答案：C5．若非零向量a，b满意|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0.设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，又|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，所以3(eq\f(2\r(2),3)|b|)2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ－2|b|2＝0.因为|b|≠0，所以上式可变形为eq\f(8,3)－eq\f(2\r(2),3)cosθ－2＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2).因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,4).故选A.答案：A6．设向量a，b满意|a＋b|＝3，|a－b|＝1，a与b夹角为θ，则eq\f(|a|,|b|cosθ)＋eq\f(|b|,|a|cosθ)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(5,4) D．3解析：∵|a＋b|＝3，∴a2＋2a·b＋b2＝9①.又|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1②.由①②得a·b＝2，a2＋b2＝5，∴eq\f(|a|,|b|cosθ)＋eq\f(|b|,|a|cosθ)＝eq\f(|a|2,|a||b|cosθ)＋eq\f(|b|2,|a||b|cosθ)＝eq\f(a2＋b2,a·b)＝eq\f(5,2).故选B.答案：B7．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则|2e1－e2|＝________.解析：|2e1－e2|＝eq\r(2e1－e22)＝eq\r(4e\o\al(2,1)－4e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(5－4×1×1×cos120°)＝eq\r(7).答案：eq\r(7)8．已知△ABC，O为△ABC所在平面上任一点，且eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))，试推断点O为△ABC的________心．解析：∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))⇒eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝0⇒eq\o(OB,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up8(→))⊥eq\o(CA,\s\up8(→))，即BO⊥AC.同理，AO⊥BC，CO⊥AB.∴点O为△ABC的垂心．答案：垂9．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，设a与b的夹角为θ.(1)若θ＝eq\f(π,3)，求|a＋b|；(2)若a与a－b垂直，求θ.解析：(1)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×1×\r(2)cos\f(π,3)＋2)＝eq\r(3＋\r(2)).(2)由a·(a－b)＝0，得a2＝a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a2,|a||b|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴θ＝eq\f(π,4).10．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，a与b的夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角时λ的取值范围．解析：设a＋λb与λa＋b的夹角为θ.则cosθ＝eq\f(a＋λb·λa＋b,|a＋λb||λa＋b|)＞0，即(a＋λb)·(λa＋b)＞0，绽开得，λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0.∵|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|cos45°＝3，∴2λ＋3(λ2＋1)＋9λ＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.∴λ＜eq\f(－11－\r(85),6)或λ＞eq\f(－11＋\r(85),6).另外θ＝0°时，λ＝1.故λ≠1，∴λ∈(－∞，eq\f(－11－\r(85),6))∪(eq\f(－11＋\r(85),6)，1)∪(1，＋∞)．[B组实力提升]1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满意eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PM,\s\up8(→))，则eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))等于()A．－eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)解析：由题意可知，eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PA,\s\up8(→))·2eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝－eq\o(PA,\s\up8(→))2＝－(eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→)))2＝－eq\f(4,9).答案：A2．若O为平面内任一点，且满意(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，则△ABC肯定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：∵(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))2－eq\o(AC,\s\up8(→))2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|.答案：A3．若两个非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.又|a－b|2＝4|a|2，∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2∴|b|2＝3|a|2∴|b|＝eq\r(3)|a|∴cosθ＝eq\f(a＋ba－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(|a|2－|b|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)4．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________．解析：由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，即a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，设a与b的夹角为θ，则4＋4xcosθ＋x2≥4＋4cosθ＋1，即x2＋4cosθx－1－4cosθ≥0.因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，所以Δ＝(4cosθ)2＋4(1＋4cosθ)≤0，即(2cosθ＋1)2≤0，所以2cosθ＋1＝0，cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)5．设平面内两向量a与b相互垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)的最小值．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝eq\f(1,4)(t2－3t)．(2)由(1)知，k＝eq\f(1,4)(t2－3t)＝eq\f(1,4)(t－eq\f(3,2))2－eq\f(9,16)，即函数k＝f(t)的最小值为－eq\f(9,16).6．已知非零向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))满意(eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，且eq\f(\o(AC,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))||\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，试推断△ABC的形态．解析：∵eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up8(→)))|)分别表示与eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))同向的单位向量，∴以eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)为邻边的平行四边形为菱形．∴表示向量eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)的有向线段在角A平分线上．∴由(eq\f(\o