《数学归纳法》第一课时教学设计

《数学归纳法》第一课时教学设计

第一篇：《教学归纳法》第一课时教学设计

《数学归纳法》第一课时教学设计

教材分析：

本节课是人教A版4-5第四讲第一节数学归纳法第一课时,

主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法证

明一些与正整数有关的实际问题。它将一个无穷归纳过程转

化为一个有限步骤的演绎过程，是促进学生从有限思维发展

到无限思维，并培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的

重要载体。

学情分析：

由于此前数列和推理与证明两部分的学习，使学生对归纳推

理有了一定的认知。

教学目标：

知识与技能目标：

1.了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，认清

“奠基”和“递推”两者缺一不可。

2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的

命题。

过程与方法目标：

1.亲身感悟数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其由无

限问题化为有限问题这一转化的数学思想。

2.精心创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习

兴趣和课堂效率。

情感态度与价值观目标：

1.通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，

并形成严谨的科学态度和数学思维品质。

2.认识有限与无限的辩证关系。

教学重点：

数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法

证题的基本步骤。

教学难点：

认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理

解。

教具准备：

传统板书与多媒体辅助教学相结合。

教学过程：

、情景设置

问题1:通过计算下面的式子，你能猜想出T+3-5+…+(7)

n(2n-1)的结果吗？证明你的结论。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9二

问题2：多米诺骨牌是怎样全部倒下的？

二、探究新知

问题1中，要证明等式在n为正整数时都成立，虽然可以脸

证"1,2,3,4...甚至10000000时等式(★)成立，但是

正整数有无限多个，我们无法对它们一一脸证，所以，通过

验证是无法完成证明的。

下面我们先来看看多米诺骨牌的视频(多媒体播放视频材

料)，讨论问题2。

如果不推倒起始的第一张骨牌，而从其后的第二张或某一张

开始推倒，那么其前面的骨牌会倒吗？如果因为抽去中间的

某一张或某一张牌摆放不标准等原因，使得此处前一张骨牌

倒下后不能碰倒下一张，那么骨牌会全部倒下吗？显然，以

上的情况都不能使得全部骨牌倒下，可见让所有的多米诺骨

牌全部倒下，应具备如下条件：

条件一：第一张骨牌倒下。

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张

倒下。

其中条件一是前提、是基础，条件二是持续递推的保障，二

者缺一不可。

通过以上合作交流，师生共同探究得到解决问题的方法：第

一块骨牌倒下相当于证明当n=1时，等式（★）成立；对于

任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当n=k时，等

式（★）成立，推出当n=k+1时等式（★）也成立。可以建

立一种像多米诺骨牌那样的“由前至I后”的递推关系，即由

n=1时等式（★）成立为起点，递推出n=2时等式（★）成立;

再由『2时等式（★）成立，递推出"3时等式（★）成立……

依次自动递推下去，就可以说，对于任意正整数n,等式（★）

成立。

按照上述思路可具体证明等式（★）成立。

证明：（1）当n=1时，式（★）（1）左右两边都等于T,即这时

等式（★）成立。

⑵假设当n=k（k21）时等式（★）成立，即

-1+3-5+-+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

当n=k+1时，左边二-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1

[2(k+1)-11

=(-1)kk+(-1)k+1[2(k+1)-1]

=(-1)k+1[-k+2(k+1)-1]

=(-1)k+1(k+1)二右边

所以当n=k+1时等式(★)成立。

由(1)(2)可知，T+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn(nEN+)

三、明确概念

(板书)“数学归纳法”

一般地，证明一个命题对于不小于某正整数nO的所有正整数

n都成立时，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值nO(nOGN+)时命题

成立。

(2)(归纳递推)假设廿k(k£N+,且k,nO)时命题成立,

证明当n=k+1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从nO开始的所有

正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

应用数学归纳法要注意以下几点：

(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁,

是不可靠的。

(2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能

是不完全归纳法O

(3)nO不一定取1,也可取其它一些正整数，nO是使命题成

立的最小正整数。

(4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归

纳法。

四、巩固应用

用数学归纳法证明：

(1)12+22+...+n2=(n£N+)

(2)当n为正整数时，1+3+5+-+(2n-1)=n2

五、回顾总结

1.本节课学到了什么？

2.这些知识是怎样得出的？

3.你有什么体会与感悟？

(责任编辑史玉英)

第二篇：“数学归纳法”(第一课时)教学设计(修改稿)

“数学归纳法”(第一课时)教学设计(修改稿)

http://www./gzsx/gxrz/20XX10/t20XX1002_604444.htm

浙江省衢州高级中学何豪明

一、内容和内容解析

“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书

数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的

推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明.

在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归

纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用

数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的

深化和拓展，也是归纳推理的具体应用.

应用数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题时常常采用

的方法）证明命题的步

骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值（2）（归纳递推）假设

当

命题也成立；

根据（1）和（2）,可知命题对于从

开始的所有正整数都成立.

是正整数的一

是全体正

时命题成立；

时命题成立，证明当

时数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五

条：设个子集，且它具有下列性质：①整数的集合，即使

;②若

,则

.那么

）也叫做归纳公理.设是一个与正整数有关的命题，我们把

对于所有正整数都成立，只（数学归纳法中的第一步，则

（数学归纳法，从而证明了成立的所有正整数组成的集合记

为，如果要证明要证明即可.为此，根据归纳公理，首先证

明“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若中的第二

步“归纳递推”正是进行这样的证明）.这样即可得到命题对

于一切正整数都成立.不难看出归纳公理是数学归纳法的理

论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说

的两个性质.

数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正

整数，如果当时，命题成立，再假设当出当

时命题成立，利用这个假设，如果能推

，时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数〃〃，，，

命题都成立.也就是说，当

时命题成立，可以推时命题成立，可以推出出时命题成立，

当

时命题成立，，，〃.

即命题真

命题

真

命题.

因此可知命题对于从

开始的所有正整数都成立.

真

命题

真数学归纳法的思维模式是：”观察——归纳——猜想——

证明”.

数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基

本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取

无限多个值）有关的数学命题.

二、目标和目标解析本节课的目标是:

1.借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2.了

解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题.

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明

过程中，要分“两个步骤和一个结论”.其中第一步是归纳

奠基，只需验证取第一个值

（这里

是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1,可以是2,

或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要

证明命题的传递性.把第一步的结论和第二步的结论联系起

来，才可以断定命题对所有的正整数都成立.因此，用数学

归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个

总的结论.否则，还不能算是已经证明完毕.所以，严格地

说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和

一个结论”.应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学

归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒

下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力.

三、教学问题诊断分析

教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具

体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出

证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发

现具体问题的递推关系.因此，用数学归纳法证明命题的关

键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设.如果

不会运用“假设当命题成立”这一条件，直接将

时，

代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明.为突破以上

教学难点，课堂教学中两条线索交替进行.一条是主线：”提

出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课

堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”.在

这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第

一个值不一定是1,就如同第一个被提问到的学生不一定是1

号的学生一样.若是2号，

则下一个被提问的学生一定是3号.

另外，设计命题：已知

时，命题成立，求证：

时命题成立.从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点.

四、教学支持条件分析

在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全

归纳法（推导等差、等比数列的通项公式）；在本章的合情推

理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段

论”.这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重

要基础.因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类

比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质.

利用千lash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并

理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠

基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的

证明过程，理解数学归纳法的证明步骤.

另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实

物投影进行分析讲解，

增强课堂教学效果.

五、教学过程设计1.从思考题中引入课题

思考题：已知数列的第1项此推测计算

,且

的公式，并给出证明.

,计算由分析：逐一脸证是不可能的.那么，我们应该思考

“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”

的问题.引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学

问

题的一种方法——数学归纳法”.

【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这

是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的

合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思

维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”.

2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的教学思想

游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下

的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分

析，让学生经历从具体到抽象的归纳和

概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1：摆放好

多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏

2:摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒

下，第1块骨牌必须

倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3:摆放好多米诺

骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发

生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走,

因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多

米诺骨牌游戏的连续性.问题1:为什么会有这些结果的发

生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，

那

么必须满足哪些条件？

问题2：从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命

题的方法？

【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1:根

据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）

（归纳奠基）证明当取第一个值

（

，例如

二1或

）时，命题成立.分析2:根据“任意相邻的两块骨牌，前一块

倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，

即（2）（归纳递推）假设

明当

时命题也成立.

时命题成立,证分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象

出数学归纳法证明命题的结论，即由（1）,（2）可知，命题

对于从

开始的所有正整数都成立.【设计意图】抽象出“多米诺骨

牌游戏”的本质.

3.数学归纳法概念的形成

数学归纳法：对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关

的数学命题，我们常采

用下面的方法来证明它们的正确性：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值

（

，例如

=1或

）时，命题

成立；

（2）（归纳递推）假设

也成立；

根据（1）和（2）,可知命题对于从

立？

⑵为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不

可？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，

证明取所有正整数都成立“

的情形.分析：缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第

（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归

纳法的过程就不能顺利完成,“两个步骤和一个结论”缺一

不可.其思维过程是，当时命题成立，当

时命题成立，可以推出

时命题成立，可以推出

时命题

开始的所有正整数都成立.时命题成立，证明当

时命题问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就

说明命题对所有的正整数都成

成立，〃〃.4.数学归纳法的应用

例1:已知数列的第项，且，求证：.【设计意图】因为从

“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，

所以设计这一例题，有利于突破数学归纳法第二步中证明命

题的难点.

例2:已知数列的第1项

推测计算

,且

的公式，并给出证明.

,计算由此

【设计意图】在应用的过程中理解数学归纳法.

5.课堂练习

练习1:已知数列

计算

,由此推测计算

的公式，并

给出证明.

解：

猜想：证明：（1）当（2）假设当么，

想也成立.

根据（1）和（2）,可知猜想对任何

都成立.

时，左边二

,右边二1,所以猜想成立.

,那

,所以，当

时猜

时猜想成立，即问题4：请看练习1的三个变式，请问它们的

分析过程合理吗？请问它的三个变式

正确吗？

变式1:等式

分析：假设当

对任意的正整数都成立吗？时命题成立，即，那么，

,所以，当

命题也成立.

时所以等式。成立.

【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没

有归纳奠基是不行的.变式2:等式

分析：当所以等式

时，左边二

对任意的正整数都成立吗？，右边二

(

)成立.

【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，没

有归纳递推也是不行的.

变式3:等式分析：（1）当（2）假设当那么，

时，等式也成立，

所以等式

对任何

都成立.

时，左边二

对任意的正整数都成立吗？，右边二

,所以等式成立.

,所以当

时等式成立，即【设计意图】用教学归纳法证明命题时，不

能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用

上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键.

练习2:用数学归纳法证明

*

练习3:已知数列

计算

明.

,由此推测计算的公式，并给出证【设计意图】进一步熟练

数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理

解.6.课堂小结

(1)数学归纳法能够解决哪一类问题？

一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学

命题.

(2)数学归纳法证明命题的步骤是什么？

两个步骤和一个结论，缺一不可.(3)数学归纳法证明命

题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上，解题

目标要明确(也就是人们常说的“双凑”：

凑假设和凑结论).

(4)数学归纳法体现的核心思想是什么？

数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用

命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无

限”的问题.它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，

又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事

情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,其蕴含的数学

思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，

有限到无限的思想方法.等等.

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本

节课知识的整体认识.

六、目标检测设计(1)用数学归纳法证明：①②首项是，

公差是

的等差数列的通项公式是

9

,前项和的公

式的.

【设计意图】通过数学归纳法的简单应用，体会其思维模式:

“观察----归纳一

一猜想——证明”.

(2)用数学归纳法证明命题：

其证明方法是否正确？并说明理由.证明：假设那么，当

时命题成立，就是时，

，这就是说，当根据数学归纳法，

时命题也成立.

成立.

的步骤如下，【设计意图】数学归纳法证明命题时不能没有

第一步，因为它是归纳奠基.

（3）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命

题时，两个步骤和一个结论，缺一不可.同时，

归纳假设一定要用上.

（4）已知数列

计算

式，并给出证明.

,由此推测计算的公【设计意图】体现数学归纳法的思维模

式：”观察——归纳——猜想——证明”,这

就是数学归纳法的核心思想.

（5）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命

题时，第一步中的第一个值不一定是1.

第三篇：教学归纳法（第一课时）教学设计

6.3数学归纳法（第一课时）

一、教学目标：

（一）知识目标：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数

学命题.

（二）情感目标：

进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无

限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理.

（三）能力目标：

培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问

题与提出问题的教学意识，培养数学学习中的合作交流的能

力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法.

二、教学重点

掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应

用.

三、教学难点

应用数学归纳法第二个步骤中从k到k+1的变化情况分析.

四、教学过程

（一）引入课题

将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现

的“多米诺现象”：淮倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再

带倒第三块，，，〃，直到所有骨牌全部倒下.

假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能

保证所有的骨牌一块接一块地倒下？

学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要

保证它倒下时会撞倒下一块.这两个条件满足了，全部的骨

牌都将倒下.

教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可

以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时

怎样才能保证所有的鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传

达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整

个队伍？

（二）传授新知：

教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：

P1,P2,P3,，假定我们能够证明最初的一个命题P1正确（奠

基）；由每一个命题Pk的正确性都可以推出它的下一个命题

Pk1的正确性（过渡）,那么我们便证明了这一系列命题的

正确性.请将这个过程与多米诺现象进行类比.

在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法.在数学中采

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤：

第一步，证明n1时命题成立；

第二步，证明：如果nk时命题成立，那么nk1时命题

也成立.

根据以上两步可以断定，命题对任何正整数n都成立.

1.用数学归纳法证明：如果｛an｝是一个等差数列，那么

ana1(n1)d对一N都成立.

【证明】(1)当n1时，左边=a1,右边=a10da1,

等式成立；(2)假设当nk时，等式成立，即

aka1(k1)d,那么

ak1akd[a1(k1)d]da1[(k1)1]d.这

表明，当nk1时，等式也成立.根据(1)、(2)可以断

定，等式对任何正整数都成立.

n1时等式成立；n112教师：在例1解题过程中，根

据(1),再根据(2),

13时等式也成立.这时等式也成立.由于n2时等成

立.再根据(2),n2样递推下去，就知道n4,5,6,〃时

等式都成立，即等式对任何nN都成立.请归纳出以上的

证明步骤.

学生：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:

(1)证明当n取第一^个值nO(例如nO1或2等)时结论正

确；

(2)假设当nk(kN，且knO)时结论正确，证明当

nk1时结论也正确.

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从nO开始的

所有正整数n都正确.

正确使用数学归纳法证明一个数学问题，关键是在第二个步

骤，只有应用了假设条件去推理，证明过程才是有效的，没

有应用假设条件的证明过程并不是在使用数学归纳法.

教师：数学归纳法的思想可以远推至欧几里得〔前330-前

275〕.严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的.1575

年意大利数学家、物理学家莫洛克斯〔14947575〕在他的

《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了

“135(2n1)n2”等；法国著名数学家帕斯卡

[1623-1662)承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作

《三角阵算术》中运用了这一方法.因此，一般认为帕斯卡

是数学归纳法的主要发明人.由于帕斯卡还没有表示任意自

然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686

年J・伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著

《猜度术》〔1713〕中包含运用数学归纳法证题的出色例

子.“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德

•摩根C1806-1871〕所提出的.皮亚诺(1858-1932]的自

然数公理中包含了归纳原理.

(三)讲解例题：

1.用数学归纳法证明：123n12n(n1).

【证明】(1)当n1时，左边=1,右边=1,等式成立；(2)

假设当nk时，等式成立，即123k那么

123k(k1)12(k1)(k2)112k(k1)

(k1)

12k(k1),

2这表明，当nk1时，等式也成立.

(k1)[(k1)1].

根据(1)、(2)可以断定，等式对任何正整数都成立.2.求

证对于任何非负整数n,都有2nn1.【证明】(1)当

n0时，20XX01,不等式成立.(2)设当nk时，

2kk1.如]nk1时，

2k122k2(k1)(k1)1.

n综上所述，对于任何非负整数n,都有2n1.

3.证明，其中n£N*.

【评析】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键

是第二步，要注意当产k+1时，等式两边的式子与n二k时等

式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，

问题就容易解决.

【证明】(1)当"1E寸，左边二1+1=2,右边2112,等

式成立.

(2)假设当n=k时,等式成立，即当n=k+1时，

.贝”

即当n=k+1时，等式也成立.

由(1)、(2)可知，对一切n£N*,等式成立.

教师：数学归纳法只能在有了问题结论时才能使用，获取问

题的结论需借助合情推理，所以，“观察一分析一归纳一猜

想一证明”才是从发现问题至解决问题的完整过程.如果问

题与自然数有关，一般可运用数学归纳法去证明.

教师：根据数学归纳法的定义，利用数学归纳法证题时，上

述两步骤缺一不可.如果只有第一步没有第二步的证明，则

它是属于不完全归纳法，作出的结论就不一定真实可靠，而

有了第二步的证明，在数学归纳原理的保证下，才使得结论

是完全可靠的.但要注意，仅有第二步而无第一步的证明，

结论也是不一定真实的.同时要注意，数学归纳法有别于上

面提到的完全归纳法和不完全归纳法，它是根据归纳原理综

合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法.

利用教学归纳法来证明某些与自然数n有关的教学命题，核

心问题是用“nk时命题成立”的假设条件证明“nk1

时命题成立”，证明时要通过比较找出二者之间的差异，才

能实现中间的过渡.教学归纳法证较多地使用在关于恒等式、

不等式、数列、几何以及整除类等问题中.

第四篇：《数学归纳法》教学设计

“数学归纳法”教学设计山西省平遥中学李英【教学内容

剖析】

《数学归纳法》是人教版选修教材2—2第二章第三节内容，

本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它

相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般

结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事

例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证

方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严

谨的科学的论证方法——数学归纳法。

数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取

无限多个正整数的情杉，这也是无限与有限辨证统一的体现。

并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽

象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。【教学目标确

定】

1＞知识和技能

(1)了解数学归纳法的原理；

(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；(3)

会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、过程与方法

通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体脸由

实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、

提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、

归纳、演绎类比探求新知识。3.情感态度价值观

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所

蕴涵的数学思想；体脸探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感

悟“数学美,，，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇

于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和

科学精神。【教学重点和难点】

根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平,

本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：

(1)使学生理解数学归纳法的实质。

(2)掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设

和恒等变换的运用教学的难点：

(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了

解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体

问题的递推关系.

因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的

关键在于合理利用归纳假设.如果不会运用“假设当时，命

题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。为

突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转

化为对两个命题：“(1)当时，命题成立；(2)假设时，命

题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题

的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二

步中证明命题的难点.【教学条件支持】

利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归

纳奠基”和“归纳递承”，知道只有把“归纳奠基”与“归

纳递推”结合起来，才能完成教学归纳法的证明过程，理解

数学归纳法的证明步骤.

另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实

物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果.

【教学过程设计】

一、问题导入

1、思考题：已知数列满足，且，我们已经计算出，并由此猜

想通项公式为，那么如何证明我们的猜想是正确的呢？

分析：逐一验证是不可能的.那么，我们应该思考“怎样通

过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题.引

出课题“这就是我们今天要研究的一种特殊的直接证明方法

——数学归纳法”.

【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这

是数学归纳法的先行组织者；该思考题的类型出现在本章第

一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现,

其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”・2.体

会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下

的条件是什么？

【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从

具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.

思考游戏1:多米诺骨牌游戏的最大特点是什么？（牵一发而

动全身）思考游戏2：摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌,

观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒

下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考

游戏3:摆放好多米诺骨牌，存在一块骨牌倒下后没有砸倒下

一块骨牌，观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是

后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和

传递性.

问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些

条件？

问题2：从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命

题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1:根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一

步，即（1）证明当取第一个值时，命题成立.（归纳奠基）

分析2:根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨

牌倒下。”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）假设时命

题成立，证明当时命题也成立.（归纳递推）

分析3:从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证

明命题的结论，即由（1）,（2）可知，命题对于从开始的所

有正整数都成立.板书，证明过程

3.数学归纳法概念的彬成

数学归纳