2020-2021学年高中数学（人教A版2019）期中模拟试题（三）（学生版+解析版）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题(三)

选择题

1.已知A(—2,1),3(3,—2)两点，且而=4而，则点P的坐标为

777

A.(2,-)B.(-,2)C.⑵一令D.(--,2)

2.设复数z满足(1—i)z=l+i,则z等于

A.-iB.iC.-2;D.2/

―2019

3.若复数z满足z(l—i)=l+i,i为虚数单位，则Z=

A.-2/B.iC.-iD.2/

1+严2i

4.设复数z=3—,则z的虚部是

2-1

3J

A.3B.-iC.D.-i

5555

5.若单位向量5满足|27+5|=2四，则向量力，5夹角的余弦值为

3

A.3B.-C.--D.

4545

6.已知矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E为AB上的点，且丽=2丽，/为BC的中点，则荷•诙=

A.-2B.-5C.-6D.-8

7.已知。，。是两条直线，a,B，,是三个平面，则下列命题正确的是

A.若〃//a,blip,aIlb,则a//6B.若aJ_夕，aA.a,则〃///7

C.若a_L/,a_Ly,用口/=。，则D.若a///,alia,则〃//£

8.在四面体PABC中，PALPB,PA=PB=3,AC=2百，BC=瓜,则该四面体外接球的表面积

为

A.\2兀B.14乃C.16TD.18万

二.多选题

9.已知向量G=(2,1),1=(-3,1),则

A.(a+b)//a

B.向量日在向量5上的投影向量为

2

C.6与0-B)的夹角余弦值为詈

D.若3=(乎,一2^),则万J_乙

3

10.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosA=bcos8,且c=2,sinC=g,

则A43C的面积为

21

A.3B.-C.-D.6

33

ii.如图，在长方体ABCD-ABCR中，M=AB=4,BC=2,M,N分别为棱GR，CG的中点，

A.A、M、N、8四点共面B.直线BN与&M所成角的为60。

C.8N〃平面ADMD.平面4>M_L平面CD"G

12.在棱长为2的正方体ABC。—A4G。中，E,尸分别为AB,的中点，则

A.BDVB.C

B.EF//平面DB]B

C.4C|J■平面8QC

D.过直线EF且与直线BR平行的平面截该正方体所得截面面积为0

三.填空题

13.已知i为虚数单位，若复数2=言:(4€m为纯虚数，则〃=—.

14.已知向量。=(2,-1),b=(-3,m),若力//5,则|4+2》|=.

15.已知单位向量d、B的夹角为120。，%+5与2M-5垂直，则攵=

16.直三棱柱ABC-A4G的各顶点都在球。的球面上，且A8=AC=1,8。=百，若球。的表面

积为20〃，则这个三棱柱的体积为一.

四.解答题

17.已知复数z为纯虚数，且二为实数.

1+/

(1)求复数z；

(2)设机eR,若复数(优+zf在复平面内对应的点位于第四象限，求机的取值范围.

18.已知z=(«?-8%+15)+(病-5m+6)i,其中i是虚数单位,相为实数.

(1)当z为纯虚数时，求机的值；

(2)当复数力在复平面内对应的点位于第二象限时，求〃?的取值范围.

19.平面内给定两个向量1=(3,1),6=(-1,2)

(1)求|3J+潺|；

(2)若®+妨)//(2H-5),求实数上的值.

20.如图，在四边形ABCQ中，他=2,PD=DC=BC=1,ABIIDC,NBCD=90°,尸为AB上的点且

AF=~,若PZ)_L平面A8C£),E为PC的中点.

2

(1)求证：£：///平面皿)；

(2)求四棱锥尸-A8CO的侧面积.

21.在AABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c,且满足一_=」.

4cosB+5sinAsin3cosC

(1)求cosA；

(2)若。=3,求8+c的最大值.

22.如图，在四棱锥P-A8CO中，四边形A8CZ)为菱形，PA^AB=2,PB=2&,ZABC=60°,且平

面PAC_L平面ABC。.

（1）证明：R4_L平面ABC。；

（2）若M是尸C上一点，且&W_LPC,求三棱锥M-BCD的体积.

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题（三）

选择题

1.已知A(—2,1),8(3,—2)两点，且羽=4万，则点P的坐标为

A.(2,1)B.(1,2)C.(2,一令D.(一(2)

【答案】C

【解析】设尸(x,y),则而=(x+2,y—1),PB=(3-x,-2-y),

•/AP=4PBf

(x+2,y-1)=4(—3—x,—2—y),即(x+2,y—1)=(12—4元,—8—4y),

..fx+2=12-4x

故《，

卜-1=-8-4y

解得x=2,y=——,

5

7

所以尸(2,-

故选C.

2.设复数z满足(1—i)z=l+i,则z等于

A.-/B.iC.-2iD.2i

【答案】B

1+/(1+/)(1+01+2/+Z221

【解析】由（l-i）z=l+i,得Z=-----=

1-z(1-I)(1+O12+12~2

故选B.

3.若复数Z满足z（l—i）=l+i,i为虚数单位，则z239

A.-21B.iC.TD.2/

【答案】C

(l+i)2

【解析】由z(l-i)=l+i,得z=

1-/(!-/)(1+/)

・z2019I•2019=I-4x504+3=

故选C.

1+产21

4.设复数z=t」,则z的虚部是

2-i

A.33.1.

B.—Ic.-D.—I

5555

【答案】A

1+产1+z。+以2+，）」+当,

【解析】复数Z=

2-i2-i(2-0(2+/)55

7

.•.Z的虚部是士.

5

故选A.

5.若单位向量万,5满足|劈+5|=20,则向量万，B夹角的余弦值为

03

AD.—cD.一|

-I5-4

【答案】A

【解析】根据题意，设向量万，5夹角为。，

门，h;二，一［2〃+勾=2\g.

22

贝”有3+5)2=4a+^+4a-^=5+4cos^=8,

2

则有cos6=—,

4

故选A.

6.已知矩形ABCD中，A8=3,AO=4,E为AB上的点，且诙=2丽，F为BC的中点，则而•诙=

A.-2B.-5C.-6D.一8

【答案】B

【解析】以点3为坐标原点，所在直线为x轴，B4所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系,

则8(0,0),A(0,3),D(4,3),£(0,2),F(2,0),AF=(2-3),DE=M,-1),

则/在=2x(T)+(—3)x(—1)=-5.

故选B.

7.已知。，b是两条直线，a,B7是三个平面，则下列命题正确的是

A.若a//a,/?///?,aIlb,则a//〃B.若a_L/?,a_La,则a///?

C.若aJ>/，a_Ly,尸则D.若a//〃，alia,则a///?

【答案】C

【解析】A.若a//a,blip,allb,则a//4，不正确，可能相交；

B.若a_L/7,a_La,则a//4或au〃，因此不正确；

C.若al/,=,则a_La,正确；

证明：设20］尸=。，=c,取Pea,过点尸分别作加_L8,"_Lc,

则加J_/，/.mLa,〃_L。，又m^n二尸，:.aLa.

D.若a///7,alia,则a//4或auQ.

故选C.

8.在四面体PABC中，PALPB,PA=PB=3,AC=2®BC=C，则该四面体外接球的表面积

为

A.12万B.14牙C.16万D.18万

【答案】D

【解析】由R4_LP3,PA=PB=3,可知AB=3&.

因为4c=26，BC=#,所以AB?=AC?+BC2,即AC_LBC.

设4?的中点为。，则OA=OB=OC=OP=迪，

2

即四面体的外接球半径为逑，外接球表面积为18〃.

2

故选D.

多选题

9.已知向量1=(2,1),万=(—3,1),则

A.(a+b)//a

B.向量方在向量5上的投影向量为

2

C.［与S-5)的夹角余弦值为当

D.若寸=((，一半)，则万_Le

【答案】BCD

【解析】对于A,向量2=(2,1),5=(-3,1),所以］+5=(-1,2),且-1X1-2X2=-5N0,所以6+5与万

不平行，A错误；

对于3,向量］在向量5上的投影向量为|a|cos®•-5=工§石=—^石=-■,所以5正确；

\b\\b\2102

对于C,因为乙一5=(5,0),所以cos<万，a-b>==_J2_=ljl,所以C正确；

\a\x\d-b|V5x55

对于c,因为^=(t，-平)，所以ai=2x(+1x(-竽)=0,所以万_L^,选项0正确.

故选BCD.

3

10.在AA/C中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若acosA=Z?cos5,且c=2,sinC=-,

则A/U3C的面积为

21

3c

--6

A.33D.

【解析】由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcos8,

即sin2A=sin2B,

・.,A,Be（0,乃）,

jr

..A=8或A+B=—，

2

3

又sinC=—，...A=8,

5

当C为锐角时,vsinC=",

「4

cosC——，

5

cC

c2-2-

-=-=-

2ab

，\ABC中边上的高为3,

S=—x2x3=3；

2

当C为钝角时，

■「3「4

,/sinC=—,/.cosC=——

55

Cc

212-

-

ab=a=-

/.AA8C中AB边上的高为’,

3

^111

S=—x2x—=一.

233

故选AC.

11.如图，在长方体A8CO—A4G0中，AA=AB=49BC=2,M,N分别为棱£4，CQ的中点,

则下列说法正确的是（）

A.A、M、N、3四点共面B.直线BN与qM所成角的为60。

C.BN//平面ADA/D.平面平面CDQG

【答案】

【解析】对于A,A、B、M在平面A8G2内，N在平面43GA外，故A错误；

对于8.如图，取CD中点E，连接BE,NE,可得BE//BM,NEBN为直线BN与B^M所成角,

由题意可得A8EN为边长为2拉的等边三角形，则NEBN=60。，故3正确；

对于C,若BN//平面4W，又BC//平面ADM，则平面5CG4//平面4W,

而平面8CG线〃平面A3QA，矛盾，故C错误；

对于。，在长方体A8a>-AB|GA中，ADJ_平面C£)AG,ADu平面ADM，.•.平面43M_L平面C£>AG，

故。正确.

故选：BD.

12.在棱长为2的正方体ABC。—A4GA中，E,尸分别为AB,AA的中点，则

A.BDA.B.C

B.七尸//平面。片8

C.AC；，平面4RC

D.过直线EF且与直线BR平行的平面截该正方体所得截面面积为V2

【答案】BC

【解析】对于A,「BC/M,。，.•.N4QB是与所成角（或所成角）的补角，

­.■\D=BD=\B,..NA£>B=60。，..5。与8（不垂直，故A错误；

对于3,取AZ）中点G,连接FG,EG,则EG//BO,FGUBB、,

•.•£Gp）FG=G...平面EFG//平面。，

防u平面EFG,EF//平面。耳8,故3正确；

对于C,•：AC工，A4,_LgR,AGp|A4,=A，

AG、A4,u平面AA,C,,

BlDl±平面AAG,ACtu平面AAG，ACt1B.D,,

同理4G_L$C,

•••g.n4c=4，B,DrB°u平面BQC,

.•.4。1，平面8℃,故C正确；

对于。，取4片中点打，连接方H、EH,

则切//8Q,GF//BBt,

-.■FH^GF=F,月=4，平面EHFG//平面BBQQ,

•.•BD、u平面BBRD,EFu平面EHFG,

过直线即且与直线8鼻平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

•••GF=2,GE=-BD=-V4+4=V2,

22

过直线M且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为S=2应，故O错误.

故选BC.

三.填空题

13.己知i为虚数单位，若复数2=言/(。€穴)为纯虚数，则4=

【答案】-2

(a-Q(1+2Z)_(a+2)+(2a-l)z

【解析】z岩(l-2z)(l+2z)-5-

因为z为纯虚数，所以〃+2=。，得。=—2.

故答案为：—2.

14.已知向量亍=(2,—1),5=(—3,加)，若,贝iJ|M+2b|=

【答案】26

【解析】-.-a//b,:.2m-3=0,解得相=3,则5=(-3,),

22

a+2b=(-4,2),

\a+2b\=yf(-A)2+21=2A/5.

故答案为：2行.

15.已知单位向量4、5的夹角为120。，奶+5与2万-方垂直，则左=

【答案】-

5

【解析】根据题意，单位向量1、B的夹角为120。，则①5=-1，

2

若姐+5与2”5垂直，则(%+5).3-5)=2l+g-l=0,

解可得：k=~,

5

故答案为：—.

5

16.直三棱柱ABC-AB。的各顶点都在球。的球面上，且A8=AC=I,BC=6,若球。的表面积为20万,

则这个三棱柱的体积为一.

【答案】旧

［解析］设MBC和4A8c的外心分别为q、5,连接002，

可得外接球的球心。为002的中点，连接。4、OB、OC、01A、O、B、OtC,

AB2+AC2-BC2

\ABC中，cosA=

2ABAC2

•・•Aw(0,4)，A=—»

3

根据正弦定理‘得MBC外接圆半径。0=焉=】

•.,球。的表面积为20*4乃/?2=20万，R=#),

中，=-。闱=2,可得002=200=4,

直三棱柱ABC-的底面积SMBC=gAB-ACsing=手，

/.直三棱柱ABC-AMG的体积为SMBC.X002=6-

17.己知复数z为纯虚数，且上心为实数.

1+z

(1)求复数z；

(2)设，”eR,若复数(〃?+z)2在复平面内对应的点位于第四象限，求机的取值范围.

【答案】(1)z=-2i；(2)(2,-Ko).

【解析】(1)设z=bi,人。0,则三匚=3^/2+(2+划,

l+i\+i2

-^为实数，."=-2,即z=-2i.

l+z

(2)(m+z)2=(m-2i)2=nr-4-4mi,

由题知52-4>0且-4机<0,

解得m>2.

的取值范围是(2,+oo).

18.已知z=(加2-8w?+15)+(M-5〃?+6»,其中i是虚数单位，m为实数.

(1)当z为纯虚数时，求机的值；

(2)当复数力在复平面内对应的点位于第二象限时，求机的取值范围.

【答案】(1)机=5；(2)(TO,2)U(5,+00).

【解析】(1)•./为纯虚数，

[W—8%+15=0*2zg,

，<,，解得根=5；

-5m+6^0

(2)z[j=~(m2-5/w+6)+(AM2-8m+l5)i在复平面内对应的点位于第二象限,

I-w2+5/n-6<0一

,解得"Z<2或机>5.

[疗-8〃?+15>0

的取值范围是(-8,2)U(5,+oo).

19.平面内给定两个向量(3,1),5=(-1,2)

(1)求|3商+25|；

(2)若0+防)//(26-5),求实数出的值.

【答案】(1)7及；⑵k=--.

2

【解析】(1)由条件知：32+26=(7,7),

ife|3a+2^|=V72+72=7\/2.

(2)方+防=(3,1)+七(-1,2)=(3-2,1+2左)，25-6=(7,0).

,/(a-^-kb)//(2a-b),

「.(3-幻田一7(1+2幻=0,

解得A=-L

2

20.如图，在四边形43CQ中，AB^2,PD=DC=BC=1,ABI/DC,ZBCD=90°,尸为Afi上的点且

AF=~,若平面ABC。，E为PC的中点.

2

(1)求证：EF//平面始。；

(2)求四棱锥P-A8C。的侧面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)拽土L.

2

【解析】(1)证明：取C。的中点为H，连结EH,FH,

因为E为PC的中点，所以EH//PD,

又因为PDu平面Q4£),平面皿)，所以EH//平面P4。，

又因为CO=1,ABHDC,AF=-,所以。”//A尸，DH^AF=-,

22

所以四边形是平行四边形，所以尸”//4。，

又因为ADu平面上4Q,尸平面皿),所以广"〃平面RW，

又切EH.FHu平面EFH，所以平面PA。//平面所H,

乂因为EFu平面EEH,所以EF//平面皿＞；

(2)解：因为NBCZ)=90。，所以CO_L8C,

又因为PDL平面ABC。，所以POJLBC,

又=PD,CDu平面PDC,所以BC_L平面POC,

又PCu平面PDC,所以PC_L8C,

所以APDC,AWM，APCB为直角三角形，

因为AB=2,DC=BC=\,AB!IDC,ZBCD=90°,

所以PC=0,AD=4i,PA=0,PB=£,

所以&PBC=，S&PDC=3，SAPDA=近，

所以四棱锥P-AB8的侧面积为曰+六日+亚=4应+1

-2~

,口田口5。cos8-4〃

21.在AABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，J1满足--------------

4cosZ?+5sinAsinBcosC

(1)求cosA；

（2）若。=3,求b+c,的最大值.

【答案】（1）cosA=-±（2）x/i0.

［解析］（1）因为一5a—.

4cosB+5sinAsinB