2020-2021学年江苏省常州某中学高二年级上册期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.以下判断正确的是（）

A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B.命题EN,x3>x2n的否定是a3x€N,x3<

C."a=1"是函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为兀的必要不充分条件

D.“b=0”是“函数人乃=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件

2.数列｛即｝满足an=4an_i+3,且%=0,则此数列的第5项是（）

A.15B.255C.16D.36

3.已知各项不为0的等差数列｛斯｝的前"项和为Sn，若。5=2。2，则詈=（）

a2

A.4B.162C.9D.12

4.已知正方体48<7。一41当（71。1的棱长为2,点尸在平面BCGBi内，A

,八

且DiP_L4Ci，则线段的长度的最小值为（）/

D.2V6

5.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要

求，

甲：我不坐座位号为1和2的座位；

乙：我不坐座位号为1和4的座位；

丙：我的要求和乙一样；

T：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.

那么坐在座位号为3的座位上的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.如图，在△力BC中，荏=3正，BE=3BM.则彳而=（）卜

A.IAB+^AC

B.-AB+-AC

24

C.—AB4—AC

36

D.-AB+-AC

43

2

7.设数列IglOO,lg(100smJ,lg(100sin5,……，lg(100sinnTJ)…的前〃项和为Sn,那么数

列{S"中最大的项是()

A.13B.14C.S13D.S14

8.△力BC中，AB=6,AC=8,Z.BAC=90°,△ABC所在平面a外一点尸到点A、B、C的距离都

是13,则P到平面a的距离为()

A.7B.9C.12D.13

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.己知空间向量五=(一2,—1,1),方=(3,4,5)，则下列结论正确的是()

A.(2a+h)//aB.5|a|=V3|K|

C.51(5a+6b)D.方与石夹角的余弦值为一直

6

10.下列说法正确的是()

A.过直线/外一点尸，有且仅有一个平面与/垂直

B.空间中不共面的四点能确定无数多个球

C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面

D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内

11.狄利克雷函数f(x)=c是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数/(X),下列

命题中真命题的有()

A.对任意xeR,都有/[/(x)]=1

B.对任意xGR,都有/(-X)+/(x)=0

C.若a<0,b>1,则有{x|f(x)>a}={x|/(x)<b}

D.存在三个点Z(xi，/(xi)),e(x2J(x2)).C(x3J(x3)),使得△ABC为等腰三角形

12.关于下列命题，正确的是()

A.若点(2,1)在圆/+y2+kx+2y+k2-15=0外，则k>2或k<-4

B.已知圆M-.(x+cosd)2+(y-sindy=1与直线y=kx,对于任意的。GR,总存在kGR使

直线与圆恒相切

C.已知圆M：(x+cos。)？+(y-sin。)？=1与直线y=for,对于任意的k6R,总存在。eR使

直线与圆恒相切

D.已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA、P8是圆C：/+/一=i的两条切

线，A、B是切点,则四边形PACB的面积的最小值为遥

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在数列{%}中，%=2,即+]=即+2*,则氏=.

14.下列函数为偶函数，且在冤*1确|上单调递增的函数是一.

①理娥=斓②.赤礴=泊*③浦=%,;④箕礴=旭司

15.直线由+劭+。=0与圆=4相交于材、N两点，若U?=#+/?，，则

0M.0N=-(其中O为坐标原点)

827

16.在一和——之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为.

32

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合4={x|2Wx46,xeR},B=(x\-1<x<5,x&R),全集U=R.

(1)求4n(CuB)；

(2)若集合C={x|x<a,xCR},AClC=0,求实数”的取值范围.

(3)若集合D={x|m+1<x<2m—l,x6R},BnD。。，求实数，〃的取值范围.

18.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节

能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一

年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动

车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{aj,每年发放的电动型汽车牌照数

为构成数列{%},完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

Q1=10a2=9.5a3=----------=----------

瓦=2Z72==------%=------

(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

19.在正方体4BC0-4181cl5中，。是底面ABCD对角线的交点.

(I)求证：BD_L平面4CG&；

(口)求直线与平面4CG4L所成的角.

20.己知等差数列｛a"的公差为2,且%-1,a2-l,a4-l成等比数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设b(nGN*),数列｛为｝的前〃项和Sn,求使当<；成立的最大正整数n的值.

anttn+i7

21.如图，正三棱柱4BC-力HQ中，AB=4,44=3VLM,N分别是棱&Q,

AC的中点，E在侧棱上，且&E=2EA.

⑴求证：平面MEBJL平面BEN；

(2)求平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值.

22.在数列｛6｝中，的=1,a4=7,an+2-2an+1+an=0(n6N*)

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)若%=6*),求数列｛%｝的前〃项和立•

十an)

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的转化及充分必要条件的概念

及应用，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题.

4命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方是正数”，是全称命题，可判断4

B,写出命题“Vxe/v,x3>x2"的否定，可判断B；

C,利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；

D,利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D.

解：对于A,命题“负数的平方是正数”是全称命题，故4错误；

对于B,命题/>刀2”的否定是，匕xGN,x3<x2),,故B错误；

对于C,a=l时，函数/'(x)=cos?%—si/x=cos2x的最小正周期为7=§=兀，充分性成立；

27r

反之，若函数f(%)=cos2ax—sin2ax=COS2QX的最小正周期T=—=兀，则a=±1,必要性不成

立；

所以“a=1”是函数/(%)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为"的充分不必要条件，故C错误；

对于b=0时，函数/(-%)=Q/+c=/(%),y=/(%)是偶函数，充分性成立；反之，若函数

/(%)=ax2+bx+c是偶函数，/(-%)=/(%),解得a=0,即必要性成立；

所以“z?=o”是“函数/(切二0^+力工+0是偶函数”的充要条件，故。正确.

故选：D.

2.答案：B

解析：解：的=4%+3=3

a3=4a2+3=4x3+3=15

a4=4G3+3=4x154-3=63

a5=4a4+3=4x63+3=255

故选艮

分别令几=2,3,4,5代入递推公式计算即可.

本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题.

3.答案：C

解析：解:由啜=合3（。1+。6）__3（。2+曲）_3（。2+2。2）=9.

aa

0222

故选：C.

利用等差数列通项公式和前〃项和公式即可得出.

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基

础题.

4.答案：B

解析:解：连接&G、BR、CDi、BR,

因为4BC。一481。101为正方体，所以44i_L平面必&的以，

所以4418也，8也1.4传1，所以为。1_L平面44Q,

所以4cl1&Di，同理4cl1BC所以4G1平面B1CD1，

又D]P1AC]，所以AC】_L平面当名尸，

又因为平面B[CDiC平面占。小丰0,所以平面为。以=平面当。/,

从而PeBiC,因为△BWiC为正三角形,

所以。止最小值为2应'-y=V6.

故选：B.

根据直线与平面位置关系定理求解即可.

本题考查了直线与平面位置关系，考查了正方体的基本性质，属于中档题.

5.答案：C

解析：

本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，难度较易，属于基础题，先阅读再进行简单的合情推

理得：乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样：可得：坐在座位号为3的座位

上的是乙或丙，

①若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座

位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，

②若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座

位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，得解.

解：由已知乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；

可得：坐在座位号为3的座位上的是乙或丙，

①若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座

位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，

②若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座

位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，

综合①②得：坐在座位号为3的座位上的是丙，

故选C.

6.答案：A

解析：解：因为前=3而，

即有丽==^（AE-AB）,

因为近=3正，

所以荏=?而，

4

则的=式荏-确=式萍一砌=萍一浑，

所以宿=而+丽=2荏+工前，

34

故选：A.

根据条件而=*荏一四），结合荏=3就，代入化筒可得而=；而号话，再由向量加法法则

可得答案

本题考查平面向量基本定理，属于基础题.

7.答案：D

解析：解：该数列的第k项为：ak=lg（100si/TW）=2-4k-l）仞2,

所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2,

要使前k项的和最大，必须前％项都是正数或0,

而从第k+1项起以后都是负数，

2-l(fc-l)/52>0

因此，上应适合下列条件:

2-^klg2<0

解得上＜心1+晟

由keN*,所以k=14,

取k=14,前14项的和Si4=14=7（2+2-争。2）»14.30.

故选：D.

根据题意得该数列的第k项的通项依，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2.要使前k项的和

最大，必须前％项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数，得到以20且耿+i<0,解得女

的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前左项和的公式得到和的最大值即可.

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及对数的运算性质，考查转化思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

8.答案：C

解析：解：•；Rt△ABC^.AB=6,AC=8,Z.A=90°,

BC=V62+82=10.

•••△ABC所在平面a外的一点P到三个顶点A、8、C的

距离都为13,

点P在a内的射影是O,

-AO=BO=CO,

的外心是O,故。是3C的中点,

AO=BO=CO=5,

PO=V132-52=12.

故选：C.

由中，AB=6,AC=8,乙4=90。，知BC=10,由△4BC所在平面a外的一点P到三个

顶点A、&C的距离都为13,点P在a内的射影是O,知的外心是。，故。是BC的中点，

AO=BO=CO=5,由此能求出尸O.

本题考查点、线、面间距离的计算，是中档题.解题的关键步骤是准确判断出ABC的外心是。，

即。是BC的中点.

9.答案：BCD

解析：解:因为2日+石=(―1,2,7)，2=(—2,—1,1),而卷中5力孑故A不正确；

因为|引=遍，|K|=5V2.所以5|矶=同办故B正确；

因为五•(5祝+6石)=5层+6五•方=0，故C正确；

又cos(五,b)=-产=-更,故。正确.

y6x5v26

故选：BCD.

直接利用已知空间向量的坐标，利用平行向量、向量的模、垂直向量、向量的夹角公式对四个选项

逐一判断即可.

本题考查了空间向量的综合应用，涉及了空间向量的平行于垂直、空间向量的模、空间向量夹角公

式的应用，属于基础题.

10.答案：ACD

解析：解：过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直，显然成立，故选项A正确；

因为任意三个不共线的点可以确定一个平面，那么空间中任意四个不共面的点连线可构成一个三棱

锥，只能确定一个外切球，故选项B错误；

根据线面垂直的判定，可知一条线垂直一个平面内的两条相交直线，则这条线和平面垂直，故选项

C正确；

过A点作直线a的垂线可作出无数条，这无数条直线都相交于A点，则这无数条直线共面，这个平

面垂直”，故选项。正确.

故选：ACD.

由线面垂直的判定和空间中点的位置关系，逐一判断各个选项即可.

本题考查了空间中线面垂直的判定以及空间中点的位置关系.

11.答案：ACD

解析：

本题考查狄利克雷函数，考查计算能力.

根据题意，结合狄利克雷函数的特性，逐项进行分析判断即可.

解：当x6Q,则/'(X)=1,/(I)=1,则/[/(X)]=1,

当XWCRQ,则f(x)=0,/(0)=1,贝疗[/(%)]=1,

即对任意X6R,都有=故A正确，

当xeQ,则一xeQ,则f(-x)=1,/(x)=1,止匕时/(-x)=/(x),

当XWCRQ，则一X€CRQ，则/(一X)=0,/(x)=0,此时/x)=/(x),

即恒有/(-%)=/(工),即函数/(x)是偶函数，故B错误,

•••/(x)>0,/(%)<1恒成立，

・••对任意a<0，b>l,都有{x，(x)>a}={x|f(x)<b}=R,故C正确，

对于。选项，取4(0,1)、B(低0)、C(-A/3,0).则|AB|=|AC|=2,\BC\=2^/3,

△ABC为等腰三角形，。选项正确.

故选：ACD.

12.答案：ACD

解析：解：对于A：圆/+、2+收+2)/+1-15=0的圆心坐标为(一三一1),半径为［V64—3H,

由于点(2,1)在圆外，故J(2+§2+(i+i)2>|V64-3fc2,解得k>2或k<-4,故A正确；

对于8：圆M：(%+cos。)？+(y-sinO)2=1的圆心坐标为(—cos。,sin。)，半径为1,

圆心到直线y=kx的距离d=|"誓野|=|窖+卷吗当sin0=0,即cos。=±1时，d=

/Vl+k2vl+k2vl+k2

等瞿与黑<1,故不存在keR使直线与圆恒相切，故8错误；

vl+fczvl+fcz

对于C：对任意的keR,令cosJ=sine=^==,则d=1,即对任意的keR,总存在0eR,

使直线与圆相切，故C正确；

对于D：圆C：/+丫2一2y=1的圆心为(0,1)半径为四，圆心(0,1)到直线2%+y+4=0的距离d=

京=遮，所以|PC|的最小值为4，

|P4|的最小值为=V5-2=V3,四边形PACB的面积的最小值为2x|xV2xV3=V6,故。正确.

故选：ACD.

直接利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式的应

用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形的

面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

13.答案：2n

解析：

本题主要考查利用递推公式，结合累加法求数列的通项公式.

解：一：叫“=皆”二绳、=豌帮辆-碱品辆-崎杵…扪瓢-：维京

=2+2+22+-+2n-1=2n,

故答案为2n.

14.答案：③

解析：试题分析：对于函数①例喻=3在町町上单调递减，对于函数②,施礴=品产在町尊

上单调递减的奇函数，对于函数④典或=幄司在脸上无定义，故函数为偶函数，且在悔

FT常

上单调递增的函数为③踊淄=_i

考点：本题考查了函数的性质

点评：掌握常见函数的图象和性质是解决此类问题的常见方法，属基础题

15.答案：-2.

解析：圆「+j，=4的圆心为麒晶顾，半径度，=富圆心到直线口x++的=0的距离为

感=―,因为=才+京，所以越盛=力厚=1又因为谶$=谭=香，所以

=—(S懑=-11＞近电睡激=锹吧，=编—？.所以

日赚去笔作

w'.®W骸］，I磷I座£微嫄=-露故加,祕=-2.

16.答案：216

解析：本题考查等比数列的性质

设插入的三个数分别为£*玳得，则/=帽；

因为髀渴W等成等比数列，则有冉副等=魏；

又因为瓢=叫需，所以朋:浑圆，所以涉=阖

所以士萨=敲婚

即插入的3个数乘积为耍5上阅嫡

17.答案：解：(1)•••B=卜|-1<x<5,xeR),

•••CuB={x|x<-1或x>5},

vA={x\2<x<6,xER},

・•・AA(QB)={x[5<x<6]；

(2)vA={x\2<x<6,x6/?),C={x\x<a,x6/?},AQC=0f

.•・实数〃的取值范围是aW2；

(3)B={x\—1<x<5,xE/?},D={x\m4-1<%<2m—l,xG/?},且Bn。H0,

.rm+1<2m—1成盘+1<2m—1

'l-l<m+l<5叫-1<2m-l<5"

解得：2VmV4或2Vm<3,

则实数m的范围是2<m<4.

解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

(1)由全集U及8,求出3的补集，找出A与8补集的交集即可；

(2)由A与C的交集为空集，确定出〃的范围即可；

(3)根据3与。的交集不为空集，确定出机的范围即可.

18.答案:9；8.5；3；4.5；6.75

解析：解：(1)

Q1=10a2=9.5=9。4=8.5

瓦=2尻=b=6.75

3b3~4.54—

.・,（2分）

当1Wn420且九WN*,Qn=10+（几一1）x（-0.5）=-0.5n+10.5：

当n>21且九6N*,an=0.

-0.5n+10.5,14nW20且nWN*一八、

...（5分）

0,n>21且nG/V*

而。4+匕4=15.25>15

2•g）n-i,1<n<4S.n6/V*八

2,・・・（8分）

•*,bn=

6.75,n>5且九6/V*

（2）当n=4时,Sn=%+&+。3+。4+瓦+82+医+速=53.25.

当5Wn工21时，Sn=（4+a?+…+Qn）+（瓦+%+坛+/+为+…+%）=1。九H—y~~,

（-0.5）+2|1~1）4'+6.75（n-4）

1-5

=-in2+17n-予“（11分）

由%2200得一"2+i7n-：N200,即M-68n+843W0,得34-SnS21…（13分）

44

.•.到2029年累积发放汽车牌照超过200万张....（14分）

（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5

万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这

一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得一：/+1771-日Z200,即可得出结论.

本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题

的能力，属于中档题.

19.答案：（I）证明：•••ABC。-4/1G5是正方体，

二CG，平面ABCD,

BD1CG

•••4BCC是正方形，:BD1AC

又AC,CGu平面ACCiAi，且4cnCQ=C,

•••BD_L平面（6分）

（H）解：在正方体力BCD-4B1GD1中，

•••AArABCD,.-.AA11BD,

又在正方形A8CD中，AC1BD,

ACnAAX=A,BDJ"平面

NBGO为直线BQ与平面ZCG4所成的角，

由题意知NBG。=30°,

•••直线BQ与平面4CCi公所成角为30。.（12分）

解析：（I）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD1CG，3。，4。可得8。，

平面4CG&.

（H）由已知得4公＞1■BD,AC1BD,从而BDJ"平面3。。为直线与平面“。出所成的

角，由此能求出直线BG与平面4CCi4所成角.

本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，考查数形结合、化归与转

化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

20.答案：解：(1)等差数列｛册｝的公差为2,可设d=2,且由一1,a2-l,。4一1成等比数列，

可得(。2-1尸=(%-1)(。4一1)，

即为(%+2—I)2=—1)(%+6—1),

解得名=3,

则0n=34-2(n-1)=2n+1；

i=______-______=—(___-_____工)

n

I'-anan+1-(2n+l)(2n+3)-2^2n+l2n+3，'

-+—-----)=i(i--

5572n+l2n+3722n+3

由Sn<；，即/一熹)<2,

化为2九+3<21,即几V9,

可得〃的最大值为8.

解析：(1)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；

(2)求得当=(2n+i：2n+3)=**_*),由数列的裂项相消求和可得先，解不等式可得所求最大

值.

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和

运算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)证明：••・在正本棱柱4BC-4抠£中，44J_平面ABC,BNu

平面ABC,

・•・AA11BN,

••,N是棱4c的中点，△ABC为正三角形，•••BN_LAC,

•­•AA1CtAC=A,•••BN1平面A&GC,MEu平面A41GC,•••BN1ME,

"AB=4,AAr=3V2.ArE=2EA,EA=V2.A、E=2也,

:.处=处=近,