电子技术基础（第五版）课件 第8章 数字电路基础知识

课题八数字电路基础知识8.1数制和编码8.2逻辑代数课题小结

8.1数制和编码

8.1.1计数体制

1.十进制数

在十进制中，用0，1，2，…，9这10个不同的数码按照一定的规律排列起来表示数值的大小，其计数规律是“逢十进一”。十进制数是以10为基数的计数体制。当数码处于不同的位置时，它所表示的数值也不相同。例如，十进制数785可表示成

括号加下标“D”表示十进制数。等式右边中的102，101，100，…标明数码在该位的“权”。不难看出各数位表示的数值就是该位数码(系数)乘以相应的权。按此规律，任意一个十进制数(N)D都可以写成按权展开式

式中，Ki

代表第i位的系数，可取0~9这10个数码中的任一个；10i为第i位的权；n为原数的位数。本书只讲整数的数制。关于小数数制，请阅读其他资料。

2.二进制数

二进制数是以2为基数的计数体制。它只有0和1两个数码，采用“逢二进一”的计数规律。任意一个二进制数(N)B都可以写成按权展开式

式中，下标“B”表示二进制数；Ki表示第i位的系数，只能取0或1；2i为第i位的权；n为原数总位数。

从以上可知，二进制数比较简单，只有0和1两个数码，并且算术运算也很简单，所以二进制数在数字电路中得到广泛应用。但是二进制数也有缺点：用二进制表示一个数时，位数多，读写不方便，而且也难记忆。

3.八进制数

八进制数是以8为基数的计数体制，它用0，1，2，…，7这8个数码表示数值的大小，采用“逢八进一”的计数规律。三位二进制码可用一位八进制码表示。任意一个八进制数(N)O可写成按权展开式

式中，下标“O”表示八进制数，Ki

表示第i位的系数，可取0~7这8个数；8i为第i位的权；n为原数总位数。

4.十六进制数

十六进制数是以16为基数的计数体制，它用0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F这16个数码表示数值的大小，采用“逢十六进一”的计数规律。四位二进制码可用一位十六进制码表示。任意一个十六进制数(N)H可以写成按权展开式

表8.1为几种计数体制对照表。

8.1.2数制转换

1.二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数

将一个二进制、八进制或十六进制数转换成十进制数，只要写出该进制数的按权展开式，然后按十进制数的计数规律相加，就可得到所求的十进制数。

2.十进制正整数转换为二进制、八进制、十六进制数

在将十进制数转换成二进制、八进制、十六进制数时，分别采用“除2取余法”、“除8取余法”、“除16取余法”，便可求得二、八、十六进制数的各位数码Kn-1，Kn-2，…，K1，K0。

例8.6将(139)D转换成十六进制数。

3.八进制数、十六进制数与二进制数的相互转换

因为23=8，所以对三位的二进制数来讲，从000~111共有8种组合状态，我们可以分别用这8种状态来表示八进制数码0，1，2，…，7。这样，每一位八进制数正好相当于三位二进制数。反过来，每三位二进制数又相当于一位八进制数。

同理，24=16，四位二进制数共有16种组合状态，可以分别用来表示十六进制的16个数码。这样，每一位十六进制数正好相当于四位二进制数。反过来，每四位二进制数等值为一位十六进制数。

8.1.3编码

在二进制数字系统中，每一位数只有0或1两个数码，只限于表达两个不同的信号。如果用若干位二进制数码来表示数字、文字符号以及其他不同的事物，我们称这种二进制码为代码。赋予每个代码以固定的含义的过程，就称为编码。

1.二进制编码

一位二进制代码可以表示两个信号。二位二进制代码可以表示四个信号。以此类推，n位二进制代码可以表示2n个不同的信号。将具有特定含义的信号用二进制代码来表示的

过程称为二进制编码。

2.二～十进制编码

所谓二～十进制编码，就是用四位二进制代码来表示一位十进制数码，简称BCD码。由于四位二进制码有0000，0001，…，1111等16种不同的组合状态，故可以选择其中任意10个状态以代表十进制中0~9的10个数码，其余6种组合是无效的。因此，按选取方式的不同，可以得到不同的二十进制编码。最常用的是8421码。

这种编码是选用四位二进制码的前10个代码0000~1001来表示十进制的这10个数码。此编码的特点如下：

(1)这种编码实际上就是四位二进制数前10个代码按其自然顺序所对应的十进制数，十进制数每一位的表示和通常的二进制相同。例如，十进制数845的8421码形式为

(2)它是一种有权码。四位二进制编码中由高位到低位的权依次是23，22，21，20(即8，4，2，1)，故称为8421码。在8421码这类有权码中，如果将其二进制码乘以其对应的权后求和，就是该编码所表示的十进制数。例如：

(3)在这种编码中，1010~1111这6种组合状态是不允许出现的，称为禁止码。8421码是最基本的和最常用的，因此必须熟记。其他编码还有2421码、5421码等，见表8.2。

8.2逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家乔治·布尔在1847年首先创立的。逻辑代数是研究逻辑函数与逻辑变量之间规律的一门应用数学，是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。

8.2.1基本概念、基本逻辑运算

1.逻辑变量与逻辑函数

逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数，它和普通代数一样有自变量和因变量。虽然自变量都可用字母A，B，C，…来表示，但是只有两种取值，即0和1。这里的0和1不代表数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。例如，用“1”和“0”表示事物的“真”与“假”，电位的“高”与“低”，脉冲的“有”与“无”，开关的“闭合”与“断开”等。这种仅有两个取值的自变量具有二值性，称为逻辑变量。

如果逻辑变量A，B，C，…的取值确定之后，逻辑函数Y的值也被唯一地确定了，那么，我们称Y是A，B，C，…的逻辑函数，写作

2.基本逻辑运算

所谓逻辑，是指“条件”与“结果”的关系。在数字电路中，利用输入信号反映“条件”，用输出信号反映“结果”，从而输入和输出之间就存在一定的因果关系，我们称它为逻辑关系。在逻辑代数中，有与逻辑、或逻辑、非逻辑三种基本逻辑关系，相应的基本逻辑运算为与、或、非，对应的门电路有与门、或门、非门。

1)与逻辑(与运算、逻辑乘)

当决定一件事情的所有条件都具备时，这件事情才能实现，这种因果关系称为与逻辑，也称为与运算或逻辑乘。

如图8.1(a)所示的开关电路中，只有当开关A和B都闭合时，灯Y才会亮。显然对灯Y来说，开关A和B闭合是“灯Y亮”的所有条件，所以Y与A和B属于与逻辑。其逻辑表达式为

式中的“·”表示与逻辑的运算符号，在不至于混淆的情况下，可以省略不写。与逻辑的逻辑符号如图8.1(b)所示。图8.1与逻辑关系

与逻辑的运算规则：

与逻辑还可以用真值表来表示。所谓真值表，就是将逻辑变量各种可能取值的组合及其相应逻辑函数值列成的表格。例如，在图8.1(a)中，假设开关闭合为1、开关断开为0，灯亮为1、灯灭为0，则可列出其真值表，如表8.3所示

如果一个电路的输入、输出端能实现与逻辑，则此电路称为“与门”电路，简称“与门”。“与门”的符号也就是与逻辑的符号

根据与门的逻辑功能，还可画出其波形图，如图8.2所示。图8.2与门波形图

2)或逻辑(或运算、逻辑加)

当决定一件事情的所有条件中只要有一条具备时，这件事情就能实现，这种因果关系称为或逻辑，也称为或运算或逻辑加。

如图8.3(a)所示的开关电路中，开关A和B中只要有一个闭合，灯Y就会亮，则Y与A和B的关系属于或逻辑。其逻辑表达式为

式中的“+”表示或逻辑的运算符号。或逻辑的逻辑符号如图8.3(b)所示。图8.3或逻辑关系

或逻辑的运算规则：

或逻辑真值表如表8.4所示。

我们把输入、输出端能实现或逻辑的电路称为“或门”。其符号也采用或逻辑的符号。工作波形如图8.4所示。图8.4或门波形图

3)非逻辑(非运算、逻辑反)

条件的具备与事情的实现刚好相反，这种因果关系称为非逻辑，也称为非运算或逻辑反。

如图8.5(a)所示的开关电路中，当开关A闭合时，灯Y就不会亮；当开关A断开时，灯Y就会亮，则Y与A的关系属于非逻辑。其逻辑表达式为

式中，字母A上方的横线表示“非逻辑”读作“非”，即

读作“A非”。非逻辑的逻辑符号如图8.5(b)所示。图8.5非逻辑关系

非逻辑的运算规则：

非逻辑真值表如表8.5所示。

我们把输入、输出端能实现非逻辑的电路称为“非门”。非门的符号也就是非逻辑的符号。非门工作波形如图8.6所示。图8.6非门波形图

3.常用复合逻辑

基本逻辑的简单组合称复合逻辑，实现复合逻辑的电路称“复合门”电路。

1)与非逻辑

与非逻辑是“与”逻辑和“非”逻辑的组合，先“与”再“非”。其真值表如表8.6所示，逻辑函数表达式为

我们把输入、输出能实现与非逻辑的电路，称为“与非门”电路，如图8.7所示。“与非门”的符号、逻辑功能和与非逻辑符号相同。图8.7与非逻辑符号

2)或非逻辑

或非逻辑是“或”逻辑和“非”逻辑的组合，先“或”再“非”。其真值表如表8.7所示，逻辑表达式为

我们把输入、输出能实现或非逻辑的电路称为“或非门”，如图8.8所示，“或非门”的符号和逻辑功能与或非逻辑的符号相同。图8.8或非逻辑符号

3)与或非逻辑

与或非逻辑是“与”、“或”、“非”三种基本逻辑的组合，先“与”再“或”最后“非”。其逻辑表达式为

实现与或非逻辑的电路称为“与或非门”，如图8.9所示，“与或非门”符号和与或非逻辑的符号相同。图8.9与或非逻辑符号

4)异或逻辑及同或逻辑

异或逻辑及同或逻辑属于两个变量的逻辑函数。

当两个输入变量A、B的取值不同时，输出变量Y为1；当A、B的取值相同时，输出变量Y为0。这种逻辑关系称为异或逻辑，其真值表如表8.8所示，逻辑表达式为

式中，符号“⊕”表示“异或运算”，读作“异或”。异或逻辑符号如图8.10所示。图8.10异或逻辑符号

实现异或逻辑的电路称为“异或门”，“异或门”的符号与异或逻辑的符号相同。

当两个输入变量A、B的取值相同时，输出变量Y为1；当A、B的取值不同时，输出变量Y为0。这种逻辑关系称为同或逻辑，其真值表如表8.9所示，逻辑表达式为

式中，符号“☉”表示“同或运算”，读作“同或”。同或逻辑符号如图8.11所示。图8.11同或逻辑符号

从异或逻辑真值表与同或逻辑真值表对照中，可以看出异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即

实现同或逻辑的电路称为“同或门”，“同或门”的符号与同或逻辑的符号相同。

5)正、负逻辑

在逻辑电路中有两种逻辑体制：用“1”表示高电位、“0”表示低电位的，称为正逻辑体制(简称正逻辑)；用“1”表示低电位、“0”表示高电位的，称为负逻辑体制(简称负逻辑)。

8.2.2逻辑代数的基本定律和基本规则

1.逻辑函数的相等

假设有两个含有n个变量的逻辑函数Y1和Y2，如果对应于n个变量的所有取值的组合，输出函数Y1和Y2的值相等，则称Y1和Y2这两个逻辑函数相等。换言之，两个相等的逻辑函数具有相同的真值表。

2.基本定律

根据基本逻辑运算，可推导出逻辑代数的基本定律，如表8.11所示。这些公式的正确性可以借助真值表来验证。

表8.11中的反演律又称德·摩根定律，并可得出推论

表8.11中的包含律又可称为多余项定律，即

3.基本规则

逻辑代数中以下三个基本规则是十分重要的。

1)代入规则

在任何一个含有变量X(假设某变量)的等式中，如果将等式两边所有出现变量X的位置都以一个逻辑函数Y代之，则此等式仍然成立。

3)对偶规则

如果将任何一个逻辑函数Y中的“·”变“+”、“+”变“·”，“0”变“1”、“1”变“0”，所有的变量保持不变，这样所得到的新的函数式就是原逻辑函数Y的对偶式，记作Y'。

由原式求对偶式时，要注意原式中的运算顺序。

8.2.3逻辑函数的代数法化简

1.化简的意义和最简的概念

1)化简的意义

对于同一个逻辑函数，如果表达式不同，实现它的逻辑元件也不同。

图8.12逻辑电路图

2)最简的概念

一个给定的逻辑函数，其真值表是唯一的，但其表达式可以有许多不同的形式。

图8.13是根据上述五种表达式画出的逻辑图。１

最简“与或”式的标准是：

(1)乘积项的个数最少；

(2)每一个乘积项中变量的个数最少。

2.代数法化简

代数法化简也称公式法化简，就是利用逻辑代数的基本公式和常用公式来简化逻辑函数。

1)并项法

8.2.4逻辑函数的卡诺图法化简

卡诺图是按一定规则画出来的方框图，也是逻辑函数的一种表示方法。它可以直观而方便地化简逻辑函数。

1.逻辑函数的最小项

1)最小项的定义

在逻辑函数中，设有n个逻辑变量，由这n个逻辑变量所组成的乘积项(与项)中的每个变量只是以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么我们把这个乘积项称为n个变量的一个最小项。

2)最小项的性质

为了分析最小项的性质，列出三变量所有最小项的真值表，如表8.12所示。由表8.12可知，最小项具有下列性质：

(1)对于任意一个最小项，有且仅有一组变量的取值使它的值等于1；

(2)任意两个不同最小项的乘积恒为0；

(3)n变量的所有最小项之和恒为1。

3)最小项编号

n个变量有2n个最小项。为了叙述和书写方便，通常对最小项进行编号。最小项用“mi”表示，并按如下方法确定下标“i”的值：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值的组合当成二进制数，与其相应的十进制数就是i的值。

2.逻辑函数的标准式——最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的表达式就是最小项表达式。而且这种形式是唯一的。

从任何一个逻辑函数表达式转化为最小项表达式的方法如下：

(1)由真值表求得最小项表达式。

(2)由一般逻辑函数式求得最小项表达式。

首先利用公式将表达式变换成一般与或式，再采用配项法，将每个乘积项(与项)都变为最小项。

3.卡诺图

1)卡诺图的组成及特点

卡诺图是逻辑函数的一种表示方式，是根据真值表按一定的规则画出来的一种方块图。此规则就是使逻辑相邻的关系表现为几何位置上的相邻，利用卡诺图使化简工作变得直观。

所谓逻辑相邻，是指两个最小项中除了一个变量取值不同外，其余的都相同，那么这两个最小项具有逻辑上的相邻性。

所谓几何相邻，是指在卡诺图中排列位置相邻的那些最小项。

要把逻辑相邻用几何相邻实现，在排列卡诺图上输入变量的取值顺序时，就不要按自然二进制顺序排列，而应对排列顺序进行适当调整。对行或列是两个变量的情况，自变量取值按00，01，11，10排列；对行或列是三个变量的情况，自变量取值按000，001，011，010，110，111，101，100排列。

n个变量的逻辑函数，具有2n个最小项，对应的卡诺图也应有2n个小方格。二变量的最小项有22=4个，其对应的二变量卡诺图由4个小方格组成，并对应表示4个最小项m0~m3，如

图8.14所示。图8.14二变量卡诺图

n个变量的逻辑函数，具有2n个最小项，对应的卡诺图也应有2n个小方格。二变量的最小项有22=4个，其对应的二变量卡诺图由4个小方格组成，并对应表示4个最小项m0~m3，如图8.14所示。图8.14二变量卡诺图

三变量的最小项有23=8个，对应的三变量卡诺图由8个小方格组成，并对应表示8个最小项，如图8.15所示图8.15三变量卡诺图

四变量最小项的个数为24=16个，对应的四变量卡诺图由16个小方格组成，并对应表示16个最小项，如图8.16所示。图8.16四变量卡诺图

由卡诺图的组成可知，卡诺图具有如下特点：

(1)n变量的卡诺图具有2n个小方格，分别表示2n个最小项。每个原变量和反变量总是各占整个卡诺图区域的一半。

(2)在卡诺图中，任意相邻小方格所表示的最小项都仅有一个变量不同，即这两个最小项具有“相邻性”。相邻的小方格数是随着变量的增加而增加的，且等于变量个数n。

2)用卡诺图表示逻辑函数

一个逻辑函数Y不仅可以用逻辑表达式、真值表、逻辑图来表示，而且还可以用卡诺图表示。其基本方法是：根据给定逻辑函数画出对应的卡诺图框，按构成逻辑函数最小项的下标在相应的方格中填写“1”，其余的方格填写“0”，便得到相应逻辑函数的卡诺图。

由已知逻辑函数画卡诺图时，通常有下列三种情况：

(1)给出的是逻辑函数的真值表。具体画法是先画与给定函数变量数相同的卡诺图，然后根据真值表来填写每一个方格的值，也就是在相应的变量取值组合的每一小方格中，函数值为1的填上“1”，为0的填上“0”，就可以得到函数的卡诺图。

例8.11已知逻辑函数Y的真值表如表8.14所示，画出Y的卡诺图。

解先画出A、B、C三变量的卡诺图，然后按每一小方格所代表的变量取值，将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方格中，即得函数Y的卡诺图，如图8.17所示。图8.17例8.11的卡诺图

(2)给出的是逻辑函数最小项表达式。把逻辑函数的最小项填入相应变量的卡诺图中，也就是将表达式中所包含的最小项在对应的小方格中填入“1”，其他的小方格填入“0”，这样所得到的图形就是逻辑函数的卡诺图。

例8.12试画出函数

Y(A，B，C，D)=∑m(0，1，3，5，6，8，10，11，15)的卡诺图。

解先画出四变量卡诺图，然后在对应于m0、m1、m3、m5、m6、m8、m10、m11、m15的小方格中填入“1”，其他的小方格填入“0”，如图8.18所示。图8.18例8.12的卡诺图

(3)给出的是一般逻辑函数表达式。先将一般逻辑函数表达式变换为与或表达式，然后再变换为最小项表达式，则可得到相应的卡诺图。

际上，我们在根据一般逻辑表达式画卡诺图时，常常可以从一般“与或”式直接画卡诺图。其方法是：把每一个乘积项所包含的那些最小项所对应的小方格都填上“1”，其余的填“0”，就可以直接得到函数的卡诺图。图8.19例8.13的卡诺图

需要指出的是：

①在填写“1”时，有些小方格出现重复，根据1+1=1的原则，只保留一个“1”即可；

②在卡诺图中，只要填函数值为“1”的小方格，函数值为“0”的可以不填；

③上面画的是函数Y的卡诺图。若要画Y的卡诺图，则要将Y中的各个最小项用“0”填写，其余填写“1

图8.20、图8.21、图8.22分别画出了相邻2个小方格的最小项、相邻4个小方格的最小项、相邻8个小方格的最小项合并的情况。图8.202个最小项的合并图8.214个最小项的合并图8.228个最小项的合并

2)利用卡诺图化简逻辑函数

一般按以下三个步骤进行：

(1)画出逻辑函数的卡诺图；

(2)按合并最小项的规律合并最小项，将可以合并的最小项分别用包围圈(复合圈)圈出来；

(3)将每个包围圈所得的乘积项相加，就可得到逻辑函数最简“与或”表达式。图8.23例8.14的卡诺图图8.24例8.15的卡诺图

复合最小项应遵循的原则是：

①按合并最小项的规律，对函数所有的最小项画包围圈；

②包围圈的个数要最少，使得函数化简后的乘积项最少；

③一般情况下，应使每个包围圈尽可能大，则每个乘积项中变量的个数最少；

④最小项可以被重复使用，但每一个包围圈至少要有一个新的最小项(尚未被圈过)。

需要指出的是：用卡诺图化简逻辑函数时，由于对最小项画包围圈的方式不同，得到的最简“与或”式往往也不同。

卡诺图法化简逻辑函数的优点是简单、直观、容易掌握，但不适用于五变量以上逻辑函数的化简。

5.具有无关项的逻辑函数的化简

1)无关项

在前面所讨论的逻辑函数中，我们认为逻辑变量的取值是独立的，不受其他变量取值的制约。但是，在某些实际问题的逻辑关系中，变量和变量之间存在一定的制约关系，即对应于n个输入变量的某些取值，不一定所有的变量取值组合都会出现，函数仅与其中的一部分有关，与另一部分无关，通常将那些与函数逻辑值无关的最小