第9讲　运动的合成与分解

第9讲运动的合成与分解小船过河问题与切割玻璃问题的区别1小船在200m宽的河中横渡,水流速度为2m/s,船在静水中的速度是4m/s,要使小船到达正对岸,应如何行驶?2宽9m的成型玻璃以2m/s的速度连续不断地向前行进,在切割工序处,金刚割刀的速度为10m/s,为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形,金刚割刀的轨道应如何控制?[解析]这是两道经典题,但大多数学生搞不清这两道题在解法上有什么区别.如例1的解法如下:要使小船垂直过河,即合速度应垂直于河岸,如图甲所示,则cosθ=v所以θ=60°,即航向与河岸上游成60°角.对例2的解法,多数学生认为与例1的解法相同,即合速度应垂直于玻璃板,如图乙所示,则cosθ=v即θ=arccos15实际上,例1的解法正确,例2的解法错误,例2的正确解法如下:由题目条件知,割刀运动的速度是实际的速度,所以为合速度,其分速度的效果恰好相对玻璃垂直切割.设割刀的速度v2的方向与玻璃板速度v1的方向的夹角为θ,如图丙所示,要保证割下矩形的玻璃板,由v2是合速度,得v1=v2cosθ所以cosθ=v即θ=arccos1要割下矩形板,割刀速度方向与玻璃板速度所成角度θ=arccos15这两道题看起来非常相似,解法上却有很大区别,为什么呢?这也是很多学生的疑点,分析可知,关键是找合速度的问题,例2中割刀运动的速度v2为什么是合速度?原来,割刀是由机器控制速度方向,它不会随玻璃行进的方向的改变而改变,也就是割刀运动的实际速度,所以为合速度.而例1中船行进的方向会随水流速度的改变而改变,故v船不是合速度,这就是两道题的区别.曲线运动的条件与轨迹分析1.(多选)如图为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图,已知在B点的速度方向与加速度方向相互垂直,则下列说法中正确的是 (AC)A.在D点的速度比在C点的速度大B.在A点的加速度与速度方向间的夹角小于90°C.在A点的加速度和在D点的加速度相等D.从A到D过程中,加速度与速度的夹角先增大后减小[解析]质点做匀变速曲线运动,合力的大小与方向均不变,加速度不变,故C正确;由B点的速度方向与加速度方向相互垂直可知,合力方向与B点切线垂直且向下,故质点由C到D的过程中,合力做正功,速度增大,A正确;A点的加速度方向与过A点的切线即速度方向的夹角大于90°,B错误;从A到D过程中,加速度与速度方向间的夹角一直变小,D错误.2.一小球受到外力作用在竖直平面内运动,轨迹的频闪照片如图所示,AB为水平直线,D为轨迹的最低点.不计空气阻力,下列说法正确的是 (C)A.在AB段时小球受到的合力大于0B.在BD段小球受到的合力等于0C.在D点时小球处于超重状态D.EF段时小球受到的合力方向可能竖直向上[解析]由图可知,在AB段时小球做匀速直线运动,所受合力为零,故A错误;由运动轨迹可知,小球在BD段的速度先增大后减小,则小球所受到的合力不为零,故B错误;由图可知,在D点时小球所受的合力向上,则加速度向上,故小球处于超重状态,故C正确;由图可知,小球在EF段时竖直方向的分速度不变,水平方向的分速度减小,则受到的合力方向为水平向左,故D错误.运动的合成与分解3.质量为m=2kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处,先用沿x轴正方向的力F1=8N作用2s,然后撤去F1,再用沿y轴正方向的力F2=10N作用2s,则物体在这4s内的轨迹为 (D)[解析]物体在F1的作用下由静止开始从坐标系的原点O沿x轴正方向做匀加速直线运动,加速度a1=F1m=4m/s2,2s末的速度为v1=a1t1=8m/s,位移x1=12a1t12=8m,到2s末撤去F1,再受到沿y轴正方向的力F2的作用,在F2作用的2s内,物体在x轴正方向做匀速直线运动,x2=v1t2=16m,在y轴正方向做匀加速直线运动,加速度a2=F2m=5m/s2,方向向上,竖直方向的位移y=12a2t22=10m,4.2022年10月20日杭州学军中学第60届田径运动会隆重举行,各班进行入场式表演时,无人机从地面开始起飞,在空中进行跟踪拍摄.若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图所示,则无人机 (C)A.在0~t1的时间内,运动轨迹为曲线B.在t1~t2的时间内,运动轨迹为直线C.在t1~t2的时间内,速度均匀变化D.在t3时刻的加速度方向竖直向上[解析]在0~t1的时间内,无人机沿x方向和y方向均做初速度为零的匀加速直线运动,其合运动仍是直线运动,故A错误;在t1~t2的时间内,无人机的加速度沿y轴负向,但初速度为t1时刻的末速度,方向不是沿y轴方向,初速度和加速度不共线,因此运动轨迹应是曲线,故B错误;在t1~t2的时间内,无人机加速度沿y轴负向,且为定值,因此其速度均匀变化,故C正确;在t3时刻,无人机有x轴负方向和y轴正方向的加速度分量,合加速度方向不是竖直向上,故D错误.小船渡河问题5.如图所示,直线AB和CD表示笔直且彼此平行的河岸,若河水不流动,小船船头垂直于河岸由A点匀速驶向对岸,小船的运动轨迹为直线P.若河水以稳定的速度沿平行于河岸方向流动,且整个河流中水的流速处处相等,现仍保持小船船头垂直于河岸由A点匀加速驶向对岸,则小船实际运动的轨迹可能是图中的(D)A.直线P B.曲线Q C.直线R D.曲线S[解析]小船在流动的河水中行驶时,同时参与两个方向的分运动,一是沿水流方向的匀速运动,二是沿垂直于河岸方向的匀加速运动.小船沿垂直于河岸方向具有加速度,由牛顿第二定律可知,小船所受的合力沿该方向,根据曲线运动的加速度方向指向轨迹凹侧可知,轨迹可能是曲线S.6.如图所示,河宽为d,河水的流速v水恒定,船在静水中的速度v静的大小不变,船从河岸的A点沿虚线轨迹运动,匀速到达河对岸的B点,v水、v静与虚线的夹角分别为α、β,下列说法正确的是 (D)A.几个物理量的关系为v水cosα=v静cosβB.船的实际运行速度v=v水sinα+v静sinβC.渡河时间与河水的流速v水有关D.当α+β=60°时,渡河的时间为2[解析]v水、v静的合速度即船的实际运行速度,沿虚线所在的方向,把v水、v静分别沿着虚线和垂直于虚线所在的方向正交分解,则有v水sinα=v静sinβ,船的实际运行速度v=v水cosα+v静cosβ,A、B错误;渡河的时间t=dv静sinα+β,由v静、α、β、d几个量共同决定的,与v水无关,C错误;当α+β=60°时,7.为了跟踪拍摄飞行中的炮弹,获得炮弹的高清画面,科学家通过电脑控制一面旋转的镜子使炮弹的像一直和摄像机镜头在一条直线上,如图所示,水平飞行的炮弹的速度为v,与摄像机的竖直距离为d,镜子的入射光和反射光之间的夹角为θ,则此时镜子旋转角速度ω的大小为(C)A.vsinθ2C.vsin2[解析]炮弹的速度可以分解成以O为圆心的切向速度和径向速度,当镜子的角速度为ω时,实际炮弹的角速度为2ω,半径r=dsinθ,根据速度的合成与分解有vsinθ=2ω×dsinθ,可得ω=“关联速度”类问题8.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为（D）A.vsinβC.vcosβ[解析]将重物与小车的速度分别沿细绳方向和垂直细绳方向分解，如图甲、乙所示.设小车的速度为v车，沿细绳方向的分速度为v3＝v车cosα，重物M速度沿细绳方向的分速度v1＝vcosβ。由于细绳不可伸长，小车和重物沿细绳方向的速度相等，即v车cosα＝vcosβ，解得v车＝vcosβcosα9.如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点).将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角,球B的速度大小为v2,则 (C)A.v2=12v1 B.v2=2vC.v2=v1 D.v2=3v1[解析]球A与球形容器球心等高,速度v1方向竖直向下,速度分解如图所示,有v11=v1sin30°=12v1,球B此时速度方向与杆成α=60°角,因此v21=v2cos60°=12v2,沿杆方向两球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C10.曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(A)A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动