充分条件与必要条件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版必修第一册1.4充分条件与必要条件思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则（4）若是空集，则A与B均是空集。命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。定义一般地,如果既有p

q

，又有q

p

就记作

p

q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q)

即：如果p

q,那么p与q互为充要条件.上思考中，命题（1）、（4）中，p与q互为充要条件.一般地，(1)若p

q,但q

p，则称p是q的(2)若p

q，但q

p，则称p是q的；(3)若p

q，且q

p，则称p是q的充分不必要条件；必要不充分条件既不充分也不必要条件．例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要条件。（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即，所以P是q的充要条件。探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。例4：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p:d=r,q:

l与⊙O相切.证明：如图所示.（1）充分性（pq）：作OP⊥l于点P,则OP=d，若d=r，则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O

的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切.PQlO（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则，因此，d=OP=r.由（1）（2）可得，d=r是直线l与相切的充要条件。达标检测B1．若A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件3．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．4．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围2.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y是x2＝y2的_____________条件（2）ab=0是a=0的________________条件（3）x2>1是x<1的__________________条件（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件充分不必要必要不充分既不充分又不必要充要3.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0．（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．把x=1代入方程的左边，得a12+b1+c=a+b+c．∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根．综合（1）（2）知命题成立

课堂小结

（3）判别技巧：

①可先简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；（1）充分条件、必要条件