2020-2021学年江苏省南通市海安某中学高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学

试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A,B是全集U的两个子集，则“AUB”是“ACCu8=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

)

3.（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了

“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体

系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植

研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为

（x-100）1

f（x）=一―一200—,x€（-8,XQ）,则下列说法正确的是（）

10V2K

A.该地水稻的平均株高为lOOon

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在\20cm以上的概率比株高在70c”?以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（10（）,110）（单位：cm）的概率一样

大

4.（5分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是

中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群

随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,

5,5,7,…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（）

A.39B.45C.48D.51

5.（5分）设向量之=（1,0）,（工，-1）,则下列结论正确的是（）

22

A.|；|=lbB,返C.（a~b）-LbD.a〃b

2

02

6.（5分）已知a=cosl°-sinl,b=272cos22.5°c-l+tanl,则小儿

I-tanl

c的大小顺序为（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.（5分）己知抛物线C：丁=©的焦点为凡其准线/与x轴相交于点M,过点例作斜率

为人的直线与抛物线C相交于A,B两点，若N4尸B=60°,则A=（）

A.+AB.±返C.+返D.土返

24-22

8.（5分）3。打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末

状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造

型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直

接制造，特别是一些高价值应用（比如微关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用3D

打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正

方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为母线

与底面所成角的正切值为加.打印所用原料密度为Ig/cwA不考虑打印损耗，制作该模

型所需原料的质量约为（取精确到0.1）（）

A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）下列结论中正确的有（）

A.若a,为正实数，a¥b,贝ij匕+。区

B.若三>则a>b

22

cc

C.若mb,〃?为正实数，a<b,则三也<且

b+mb

D.当x>0时，x+2的最小值为2料

X

10.（5分）关于函数/（x）=|sinjt|+|cosx|（x€R），如下结论中正确的是（）

A.函数/（x）的周期是事

B.函数/（x）的值域是［0,V21

C.函数/（x）的图象关于直线x=n对称

D.函数/'（X）在（三，竺）上递增

24

22

11.（5分）已知双曲线C：A_-2_=l（«>0,b>0）的右顶点、右焦点分别为A,F,

2,2

ab

过点A的直线，与C的一条渐近线交于点Q,直线。尸与C的一个交点为B,AQ-AB=

AQ-FB,且前=3而，则下列结论正确的是（）

A.直线/与x轴垂直

B.C的离心率为生医

3_

C.C的渐近线方程为y=±±叵

9

D.\FQ\=\OF］（其中O为坐标原点）

12.（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口

袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复〃（«GN*）次这样的操作，记甲口袋中黑球

个数为X,”恰有2个黑球的概率为P，”恰有1个黑球的概率为孙”则下列结论正确的是

（）

A167

P2育^2^7

B.数列｛2p“+qu1｝是等比数列

C.X”的数学期望E（Xn）=l+（方）n（〃€N*）

D.数列仍”｝的通项公式为pn工（二）n_L（L）nJ（„GN*）

n109235

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差52

14.（5分）已知复数z对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述

--「一2

如下（i为虚数单位）：甲：z+z=2；乙：z-z=-2V3i；丙：z・z=4；T：=1——,在

z2

甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=.

15.（5分）已知圆Ci：7+9+2^-8y+8=0,若圆C2与圆Ci关于直线y=-x+2对称，且

与直线/：mx+y+m-2=0交于A、B两点，贝口4用的取值范围是.

16.（5分）已知三棱锥P-A8C内接于表面积为36n的球中，面租8_1面48<7,

I,PB工BC,ZAPB=\20°,则三棱锥P-A8c体积为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①S”="2+〃，②“3+45=16,53+55=42,③0±1=三包，$7=56这三个条件

ann

中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”数列｛为｝为等比数列，—，b\=a\,历=上1.求

2

数列｛_1_+小｝的前n项和Tn.

5n

18.（12分）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、

咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，

增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有

居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一

个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个.已知这6个问题中，甲能正

确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为2,甲、乙两人对每个问题的

3

回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由

乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.

(1)求甲、乙两人共答对2个问题的概率；

(2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；

(3)求乙答对题目数的分布列和期望.

19.(12分)如图，在梯形ABCD中，已知AD〃BC,AD=\,2^/10，ZCAD^^L,

tanZA£)C=-2,求：

(1)CO的长；

(2)/\BCD的面积.

20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,A。〃BC,ZADC=ZB4B=90°,BC=CD=1AD.E

2

为棱4。的中点，异面直线以与CO所成的角为90°.

(I)在平面以8内找一点使得直线CM〃平面P8E,并说明理由；

(II)若二面角P-CC-A的大小为45°,求直线％与平面PCE所成角的正弦值.

22_

21.(12分)椭圆E：%+J=I的离心率工，长轴端点和短轴端点的距离为由.

a2b22

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)点P是圆/+/=，(r>0)上异于点A(-r,0)和8(r,0)的任一点，直线AP

与椭圆E交于点M,N,直线BP与椭圆E交于点S,T.设。为坐标原点，直线OM,

ON,OS,。7的斜率分别为hw，koN，kos，koT.问:是否存在常数r,使得

=垢5+&07恒成立？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由.

22.(12分)已知函数/(x)—X---minx,g(x)=x+』-Unx)m,其中x>0,，托R.

XX

(I)若函数f(x)无极值，求用的取值范围；

(II)当"?取(1)中的最大值时，求函数g(x)的最小值；

(III)若不等式(1+工)"-"We对任意的〃6N*恒成立，求实数〃的取值范围.

n

2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A,B是全集U的两个子集,贝U“AUB”是“AnCuB=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由韦恩图可知

AUBnACCuB=0,

反之也可得出4nCu8=0=AU2

二“4U8”是“ACCuB=0”的充要条件

【解答】解：由题意，/(-X)=2」3・cos(-X)=-fG),函数是奇函数，排除A,

2-x-l

B;

x-0+,f(x)f+8,排除D.

故选：C.

3.(5分)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了

“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体

系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植

研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：c/n)服从正态分布，其密度曲线函数为

(x-100)z

f(x)=-―一200—,xt(-8,*Q),则下列说法正确的是()

10V2H

A.该地水稻的平均株高为IOOCTO

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70c〃z以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样

大

【解答】解：由正态分布密度曲线函数为

(x-100)Z

x『-8,g),

得|1=100>。=10.

...该地水稻的平均株高为E(X)=100a",故A正确；

该地水稻株高的标准差。=10,方差为100,故5错误；

'：P(X>120)=A[1-P(LL-2O<x<u+2o)J=A(I-0.9544)=0.0228,

22

P(X<70)=A[|-P(n-3o<X<n+3o)]=A(1-0.9974)=0.0013,

22

随机测量一株水稻，其株高在120c/n以上的概率比株高在70c机以下的概率大，故C

正确；

P(80<X<90)=A[P(p-2o<X<n+2o)-P(R-o<X<u+。)]

2

=A(0.9544-0.6826)=0.1359,

2

P（100<X<110）=』[P（H-。<X<H+O）]=Ax0.6826=0.3413.

22

，随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（单位：加）的概率不一样

大,

故。错误.

故选：AC.

4.（5分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是

中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群

随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,

5,5,7,…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（）

A.39B.45C.48D.51

【解答】解：设该数列为｛斯卜由题意得，。5,。6,…成等差数列，公差d=2,45=5,

设塔群共有〃层，则1+3+3+5+5（n-I）+（n-4）（n-5）X9=IQ8>

2

解得,71=12,

故最下面三层的塔数之和为。10+。11+02=3。11=3（5+2X6）=51.

故选：D.

5.（5分）设向量之=（1,0）,b=（X1）,则下列结论正确的是（）

22

A.Ial=lblB.W返c.（a-b）±bD.a^b

2

【解答】解：对于4：••响量彳=（1，0）,b=（X工），.•.0=1,亩=返，故A错

222

误，

对于8：a«b=lxA+0xA=A,故8错误，

222

对于C：（a_b）*b—（―，-A）=工1=0,（a-b）-Lb>故C正

222244

确，

对于D：...1XJL-0XJL=」_W0,，之不平行于总故。错误

222

故选：c.

6.（5分）已知a=cosl°-sinl0,b=272cos222.5°-瓜则a,b,

I-tanl

c的大小顺序为（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【解答】解：•；a=cosl°-sinl°,

；.a=&sin（45°-1°）=V^sin44°<1

b=2V2cos22.5°2_&=&COS45。=1

又：c=l+tanl°

1-tanl0

.,.<?=tan（45°+1°）=tan46°>1

可得a<b<c

故选:B.

7.(5分)已知抛物线C：J=4x的焦点为凡其准线/与x轴相交于点M,过点M作斜率

为女的直线与抛物线C相交于A,B两点，若/AFB=60°,则Z=()

A.±AB.土返C.+返D.土瓜

24~22

【解答】解：抛物线V=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-l,M(-1,0),

过点M作斜率为4的直线方程设为y=k(x+1),联立抛物线方程，可得

F/+(2^-4)x+F=0,k手0,

设A（xi，yi）,B（X2,”），可得依同=加+1,\BF\=x2+l,

则4=（22-4）2-4/>o,即-ivy1,且依o,

4

川+元2=-----2,X\X2=1»

k2

可得|AB尸五市|XLX2|=GHJ（X]+X2）2-4XIX2=

1-k4

k2

在△AFB中，由余弦定理可得HB|2=|AF|2+|8砰-2\AF\'\BF]-cos600

=（X|+1）2+（X2+1）2-2（xi+1）（X2+1）,—=（JC1+X2）2+（X1+X2）-2=（_A_-2）2+

乙9ki2

（_L_2）.2=16.12=16（1-1?）

V~2~4T274，

kkkk

解得&=±通,

2

故选：D.

8.（5分）3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末

状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造

型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直

接制造，特别是一些高价值应用（比如微关节、牙齿或一些飞机零部件等）.己知利用3D

打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正

方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10近河,母线

与底面所成角的正切值为，5.打印所用原料密度为\gk后,不考虑打印损耗，制作该模

精确到0.1）（）

C.398.3gD.357.3g

【解答】解：如图，是几何体的轴截面

•圆锥底面直径为，半径为

•.•母线与底面所成角的正切值为我，...圆锥的高为10cm,

返

2&10-a

设正方体的棱长为a,则―,■解得〃=5.

5近~10

，该模型的体积丫=〈冗X（5如）2X10-53&用-125（/）・

OO

制作该模型所需原料的质量约为（迎三一125）X1=500兀-125加398.3（g）・

33

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)下列结论中正确的有()

A.若a,b为正实数，aWb,贝!jQ'/v/b+Q序

B.若则

22

C.若“，b,”为正实数，a<b,则至也《旦

b+mb

D.当x>0时，x+2的最小值为2M

【解答】解：对于选项A：若a,6为正实数，a于b,因为(aW)-(c^b+ab2)=(a

-b)2(a+b)>0,HPai+b3>a2b+ab2,故4错误；

对于选项B：因为2〉包，所以二一—L=总土>0,又因为J>0,所以>0,

22222

即。>匕，故B正确；

对于选项C：若小4，〃为正实数，a<b,则>0,即空也>旦，故

b+mbb(b+m)b+mb

C错误；

对于选项当x>0时，x+2》2c=2圾，故。正确.

故选：BD.

10.(5分)关于函数f(x)=|sirir|+|cosx|(xGR),如下结论中正确的是()

A.函数/(x)的周期是三

函数/(x)的值域是［0,V21

函数f(x)的图象关于直线x=n对称

函数/(x)在(工，竺)上递增

24

、TTTT

当2k兀+■5~<x42k兀+兀，k€Z,f(x)=sinx-cosx^/2sin(x--

当2k兀+兀<x42k冗耳二，k€Z,f(x)=_sinx_cosx=^/^sin(x+^_)，

当2k兀+^-<x42k冗+2冗，k€Z,f(x)=-sinx+cosx=5/2sin(x—

作出函数/(x)的图象如图：

函数f（x）的周期是三，故A正确；

2

函数/（x）的值域是[1,a],故B错误；

函数f（x）的图象关于直线x=K对称，故C正确;

函数/G）在（子，等）上递增，故O正确.

故选：ACD.

11.（5分）己知双曲线C：（«>0,/?>0）的右顶点、右焦点分别为A,F,

2,2

ab

过点A的直线/与。的一条渐近线交于点Q,直线QF与C的一个交点为5,AQ・AB=

AQ'FB.且配=3而，则下列结论正确的是（）

A.直线/与x轴垂直

B.C的离心率为2个而

3_

C.C的渐近线方程为、=±2叵

9

D.\FQ\=\OF\（其中0为坐标原点）

【解答】解：由双曲线的方程可得A（a,0）,设尸（c,0）,由而•瓦=瓦•而,

可得与•（语丽）=AQ,AF=0,所以/垂直于x轴，即/：x=a,故A正确；

设8（xo,/），由前=3而，所以（c-孙-泗）=2（4-c,b）,

所以xo=3c-2a,y()=-2'即B(3c-2〃，-2b),

22

因为8（刈，加）在双曲线上，所以（3c-2a）_（-2b）=1，

2,2

ab

整理可得9c2-\2ac-a2=0,

由e=£,可得9e2-12e-1=0,解得6=竺区（负的舍去），故B正确；

a3

由史=e2-l=（兰逅）2一1=运

a239

即有双曲线的渐近线的斜率的平方为延■,故C错误；

9

不妨设。在第一象限，则Q（〃，b）,

所以IPQFlFA|2+|AQ|2=Y（c-a）2+b2汽。分故。错误

故选：AB.

12.（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口

袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n（nGN*）次这样的操作，记甲口袋中黑球

个数为X,”恰有2个黑球的概率为p”，恰有1个黑球的概率为孙，则下列结论正确的是

（）

A167

P2亍^2^7

B.数列｛2.+%-1｝是等比数列

C.为的数学期望£篁/=1+（方）11（〃6*）

D.数列｛p“｝的通项公式为pnq-（二）n_L（L）nJ（nGN*）

n109235

【解答】解：（1）由题意可知：21=工，卬=2,

33

贝ijp2=1]3X—q.^—：

3P1334127

^2=—p+（—x--Ax—）q^—•故A错误；

3Pl133334127

由题意可知：pn+i^pn+fx/q/Pn帝/

+=

^n+i卷。n+等xy+fxf）qnfd-Pn-qn）'/qn管

两式相加可得:

2Pn+l(2Pn+qn)项，

••,2pn+qn=/(2PnT+qnT)卷’

.'.2p,i+qn-(2p“-1+4"-1-1),

3

•••2p]+q「i=l,•••数列｛2p"+%「1｝是首项为工，公比为」的等比数列，故8正确;

333

:数列｛2p“+q“-1｝是首项为工，公比为工的等比数列，

33

：.2pn+qn-1=(A)",即2加"=(A)"+1,

33

：.E(X«)=2p"+g”+0X(1-pn-qn)=(A)«+l,(”CN*),故C正确；

若数列｛〃｝的通项公式为Pn工(二)n_L(L)n』(〃6N*),

n109235

则pi=w_x(」)」x!a=ow工，故。错误.

10、9，2353

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)若一组样本数据2,3,7,8,。的平均数为5,则该组数据的方差s2=空.

一5一

【解答】解：•.•数据2,3,7,8,。的平均数为5,

二2+3+7+8+。=25,解得a=5,

...方差$2=』[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=空.

55

故答案为：26.

5

14.(5分)已知复数z对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述

___2

如下(i为虚数单位)：甲：z+z=2；乙：z-z=-2底i；丙：z-z=4；T：=2-=^—,在

z2

甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=LJ

【解答】解：设z=a+6i,5!%=。-〃，

甲：由z+z=2=2。，即。=1；

乙：由z-z=-2匾i=2Z?i,BPb--V3；

丙：由Z・2=4=6?+/；

2皿.22

由马一_得但=年==三_,

22

z2a-bia+b2

21

所以a+b=2f

若b=-如,则j+3=2显然不成立，

故丙丁不能同时成立，乙丁不能同时成立，且甲乙丙可以知二推一,

所以甲丁正确，此时。=1,b=-1,z=l-i.

15.(5分)已知圆jr+y2+2x-8)H-8=0,若圆C2与圆CI关于直线y=-x+2对称，且

与直线/：必+)，+次-2=0交于A、8两点，则L48I的取值范围是_12放，61.

【解答】解：化圆。：/+)?+2x-8y+8=0为(x+1)2+()，-4)2=9,

可得圆心Cl(-1,4),半径门=3.

设Ci关于直线y=-x+2的对称点Ci（〃，/?）,

b-4

则上+1,解得卜=-2,即C2（-2,3）,

b+4=_a-lIb=3

22

...圆C2的方程为（x+2）2+（厂3）2=9.

由直线/：rwc+y+m-2=0,即优（x+1）+y-2=0,

得卜+1=°,解得卜=-l.

ly-2=0ly=2

.•.直线/过定点尸（-1,2）,

把P代入圆C2的方程，可知点P在圆内，则当AB与C2P垂直时最小，

由IC2P|=4(一2+1)2+区-2)2=-可得|C2Plm1nx何02V?

|。2尸］〃心=6.

的取值范围是［20,6］.

故答案为：［2诉，6］.

16.(5分)已知三棱锥P-A8C内接于表面积为36Tl的球中，面面ABC,PA=PB=

1,PBLBC,ZAPB=l20°,则三棱锥P-ABC体积为逅.

-3-

【解答】解：如图，

取A8的中点。，连接PO,取4c的中点凡连接OR

"：PA=PB,：.AB±PD,

又平面％B_L平面ABC,平面物BCI平面ABC=A3,

平面ABC,则尸。J_BC,

又PB-LBC,PDCPB=P,...BCl,平面以B,得BC_LA8,

:.F为AABC的外心，又△mB的外心在PD的延长线上，

球心O满足OF_L平面ABC,OE_L平面PAB,

"：PA=PB=\,ZAPS=120°,可得P£)=』，AB=M，

在△以8中，由正弦定理求得PE=1,

•.•三棱锥P-ABC内接于表面积为36Tt的球，；.OP=3,

求得EO=O尸=2后，贝|J8C=S，

三棱锥P-ABC体积为V=1x—XV3XW2X上巫,

3223

故答案为：逅.

3

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①S"="2+〃，②。3+“5=16,S3+S5=42,③0!!=生1,$7=56这三个条件

中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

a,ac

设等差数列｛“"｝的前”项和为S”数列｛与｝为等比数列，—，bi=ai，历=—L2.求

2

数列｛J一+仇｝的前〃项和T,,.

Sn

【解答】解:选①：

当n—1时，=Si=2,当时，-1=2〃，又〃=1辆足所以cin

=2".设｛尻｝的公比为q,又因为a「2,a2=4,由b]=a]，b22产，得加=2,

q=2,所以b=2”；

n

由数歹(J｛5｝的前n项和为2；2；1=291-2,又可知亡二11^11

n2+n-n(n+1)-nn+T

数列合｝的前〃项和为i蒋总卷+…△一11

=1-

n+1n+1

故中2E2+1一*=2加一告

选②:

2aJ6d=16,a।=2

设公差为d,由aq+a.16,S0+Sc=42,得解得w

•j00D8aj+13d=42,d=2,

所以2设｛bn]的公比为又因为

an=2n,Sn=n+nq

==

ai2,&2=4,由b[=的，b2~5"^"'得"=2，夕=2,所以b=2以

x乙ixCtyn

n+l

由数列｛为｝的前〃项和为之2二2班1-2，又可知」-=■11^11

1-2n2+nn(n+l)"nn+l'

数列Q｝的前〃项和为+・.._1=1七故

Snnn+l

中小2+磊_9n+l]

*-n+i-r

选③:

由也皿，得当，1,所以与，即」=a|n，S7=744=28,“=56,所

n1

annn+lnn1

2

以ai=2,所以aQZn,Sn=n+n-

设｛5｝的公比为4，

又因为a[=2,a2=4,由b[=a[b2=a1；2,得b=2,q=2,所以匕小2凡

n+1又可知。1

由数列｛为｝的前n项和为Nj?_=2-2,

2

Snn+nn(n+l)nn+l

数歹ij上的前〃项和为「4」+...」二^=i」_,

Sn223nn+ln+l

故Tn=2/1-2+b2*1-士_

nn+ln+l

18.（12分）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、

咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，

增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有

居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一

个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个.已知这6个问题中，甲能正

确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为2,甲、乙两人对每个问题的

3

回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由

乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.

（1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；

（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由;

（3）求乙答对题目数的分布列和期望.

【解答】解：（1）甲、乙共答对2个问题分别为：两人共答6题，甲答对2个，乙答对0

个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个.

所以甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：

3

p等江消）噂朝《父白尸诗

（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”

两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为1：0,2：0,3：0,2：],3：1,3：2

六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为1：1,2：2,3：3三种情况，所以甲

的

概

获

胜

1221

CCCC3

42/2O1121

PXX,/-xCX-X-

=3-C3XIz)+3

C333

6

3223

^x[c°（f）+cjxfx（f）+c2x（|）xl+c3（|）x1]m，

A

设乙获胜为事件3,则A,3为对立事件，

所以P（A）+P（B）=1,P（B）=1-P（A）-77T>P（A）>

405

所以乙胜出的可能性更大.

（3）设学生乙答对的题数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

p(x=o)=c：(y)3=yy

,1,2

c；+c：LL