【五年中考+一年模拟】 几何与圆中档题-2023年温州中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题20几何与圆中档题

1.(2022•温州)如图，在AA8C中，于点。，E,F分别是AC,AB的中点,

O是小的中点，EO的延长线交线段3。于点G,连结。E,EF,FG.

(1)求证：四边形是平行四边形.

(2)当4)=5,tanNE£>C=*时，求FG的长.

2

【详解】(I)证明：E,F分别是4C,45的中点,

.♦.防是AABC的中位线，

:.EF//BC,

:.AEFO=Z.GDO,

O是"'的中点，

.\OF=OD,

在AOEF和XOGD中，

Z.EFO=ZGDO

"OF=OD,

NEOF=NGOD

\OEF=AOGD(ASA),

:.EF=GD,

：.四边形ZJEFG是平行四边形.

(2)解：ADXBC.

:.ZADC^90°,

E是AC的中点，

:.DE=-AC=CE,

2

:.ZC=ZEDC,

An5

/.tanC=——=tanZEZX;="

CD2

即---=一，

CD2

:.CD=2,

：.AC=yjAD2+CD2=yj52+22=729,

.-.DE=-AC=-,

22

由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，

,一则

..FG=DE=-----.

2

2.（2021•温州）如图，在.A8CD中，E,尸是对角线3。上的两点（点石在点尸左侧）,

且NA£B=NC立＞=90。.

（1）求证：四边形AEC厂是平行四边形；

3

（2）当AB=5,tanZAB£=-,N8E=ZE4F时，求的长.

4

【答案】(1)见解析；(2)6+V13

【详解】(1)证明：ZAEB=NCFD=90。,

:.AE±BD,CF.LBD,

:.AE//CFf

四边形ABC。是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.ZABE=/CDF,

在AA庞:和ACO产中，

NAEB=NCFD

<NABE=NCDF,

AB=CD

.\AABE=^CDF(AAS),

：.AE=CF,

.•・四边形AECF是平行四边形；

3AF

（2）解：在RtAABE中，tanZA5£=—=——，

4BE

设AE=3a,则应：=4a,

由勾股定理得：（3tz）2+（W=52,

解得：4=1或々=—1（舍去），

.•.AE=3,BE=4,

由（1）得：四边形AECF是平行四边形，

:,ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

.NCBE=NEAF,

:.ZECF=/CBE,

/.tanNCBE=tanZ.ECF,

CFEF

•.,■=----，

BFCF

:.CF2=EFxBF,

设£F=x,则BF=x+4,

32=x（x+4）,

解得：x=>/i_5-2或x=-2,（舍去），

即£尸=而一2,

由（1）得：/^ABE=ACDF,

：.BE=DF=4,

：.BD=BE+EF+DF=4+y[\3-2+4=6+.

3.（2020•温州）如图，C,D为。上两点，且在直径A3两侧，连接CD交A8于点E,

G是4c上一点，ZADC=^G.

（1）求证：Z1=Z2.

（2）点C关于OG的对称点为尸，连接CN.当点F落在直径他上时，CF=10,

tanZl=-,求O的半径.

5_

【答案】（1）见解析；（2）—

4

【详解】（1）ZADC=Z.G,

AC=AD,

AB为O的直径，

BC—BD,

/.Z1=Z2；

（2）如图，连接OF,

G

AC=ADfAB是一O的直径,

:.AB±CD,CE=DE,

/.FD=FC=10,

・点、C,尸关于OG对称，

/.DC=DF=\0,

:.DE=5,

八2

tanZl=—,

5

/.EB—DE-tanZ1=2,

Z1=Z2,

八2

tanZ2=—,

5

..DE25

AE=-----=—,

tanZ22

29

...AB=AE+EB=—,

2

o的半径为”.

4.（2019•温州）如图，在AABC中，NS4C=90。，点E在BC边上，且C4=CE,过A,

C,£三点的。交至于另一点尸，作直径A。，连接。E并延长交他于点G,连接C£>,

CF.

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形.

求:O的直径长.

【答案】（1）见解析；（2）3石

【详解】（1）证明：连接AE,

ABAC=90°，

，C尸是O的直径，

AC=EC,

AC=CE,

.\CF±AE,

AD是_O的直径，

/.ZA£D=90°,

即GO_LAE,

:.CF//DG,

是。的直径，

/.ZACD=90°,

ZACD+N班。=180。，

:.AB//CD,

二.四边形DC尸G是平行四边形;

(2)解：由CD=—A5,

8

设CD=3x,AB=8%,

CD-FG=3x，

ZAOF=/COD,

/.AF=CD=3x，

/.BG=8x—3x—3x=2x,

GE//CF,

BEBG2

耘一定一晨

BE=4,

/.AC=CE=6,

一.BC=6+4=10,

・•・AB=V102-62=8=8X,

x=1,

在RtAACF中，AF=3,AC=6,

.♦.CF=5/32+62=34,

即；。的直径长为3档.

5.(2018•温州)如图，。是AABC的8c边上一点，连接A£),作AAB£)的外接圆，将AAZ5C

沿直线折叠，点。的对应点E落在O上.

(1)求证：AE=AB.

(2)若NC4B=9O°,cosZADB=-,BE=2,求BC的长.

3

C

【答案】（1）见解析；（2）BC=3及

【详解】（1）由折叠的性质可知，AADE=AA1XJ,

:.ZAED=ZACD,AE=AC,

ZABD=ZAED,

:.ZABD=ZACD，

AB=AC,

AE=AB；

(2)如图，过A作于点〃，

c

AB=AE,BE=2,

:.BH=EH=1,

ZABE=ZAEB=ZADB,cosZADB=-,

3

/.cosZABE=cosZADB=-,

3

BH1

/.------=—.

AB3

/.AC=AB=3,

NBAC=90。，AC=AB,

BC=3夜.

6.（2022•鹿城区校级一模）如图，AB是。的直径，弦C£>_LA8于点E,G是劣弧AC

上一点，AG,DC的延长线交于点尸.

（1）求证：ZFGC=ZAGD.

（2）若G是AC的中点，CE=-CF=2,求G/的长.

3

【答案】（1）见解析；（2）6/=亚

10

【详解】（1）证明：如图1,连接AC,

A

B

AB是。的直径，弦C£>_LAB,

AD=AC,

AD=AC，

：.ZADC=ZACD,

・点A、D、C>G在二。上,

/.NFGC=ZADC,

.ZAGD=ZACD,

:.ZFGC=ZAGD；

(2)解：如图，过点G作/于点H.

ZZMG+ZDCG=180°,ZDCG+ZFCG=180。，

・•.ZDAC=NFCG,

AG=GCf

/.AG=CG,

ZAGD=/FGC,

ADAG=AFCG(ASA)，

,\CF=AD=3,DG=FG,

GH工DF,

:.DH=FH,

AB±CD,

DE=EC=2,

/.DF=2+2+3=7,

：.DH=HF=35,

AE=y/AD2-DE2=732-22^75,

AFVAE?+EF?=J（逐4+5」=回，

GH//AE,

.GFFH

~FA~~EF'

,GF_3.5

'.而一5'

10

7.（2022•温州一模）如图，四边形ABCD内接于O,AEJ_CB的延长线于点£,连结AC,

BD,AB平分NEBD,

（1）求证：AC=AD.

（2）当3为AC的中点，BC=3BE,AD=6时，求C£＞的长.

E——

【答案】（1）见解析；（2）4

【详解】（1）证明：-四边形ABCD内接于O,

.•.NADC+NABC=180。，

ZABE+ZABC=180°,

:.ZABE=ZADC,

AB平分NDBE,

：.ZABE=ZDBA,

.\ZADC=ZDBA,

.ZACD=4DBA,

ZADC=ZACD,

...AC=AD；

（2）解：过A作AF_LCD于F,

A

E~-------

3为AC的中点，

AB=BC，

BC=3BE,

AB=3BE，

,四边形ABC。是二O的内接四边形，

:.ZADF=ZABE,

ZAFD=ZAEB=90°,

AABE^AADF，

.DFBE1

…AD-Afi-3'

AD=6，

:.DF=2,

AC=AD,

.\CD=2DF=4.

8.(2022•平阳县一模)数学家庞斯莱发明过一种玩具(如图1),这种玩具用七根小棍做成,

各结点均可活动，AD=AF,CD=DE=EF=FC,且OC<A尸一CF.使用时，将A,O

钉牢在平板上，使A,O间的距离等于木棍X的长，绕点O转动点C,则点C在O上

运动，点E在直线BG上运动，BGLAB.图2是该玩具转动过程中的一幅示意图.

(1)判断点A,C,E在同一条直线上吗？请说明理由，

(2)当点O,C,尸在同一条直线上时.

①求证：CD//AB.

②若OC=2,CD=3,tanZOAC=-,求8E的长.

2

【答案】（1）见解析；（2）4

【详解】（1）解：点A,C,£在同一条直线上，理由如下:

CD=DE=EF=CF,

四边形CDE尸是菱形，

：.CELFD,OF=OD,

.•.NR7E=90。，

AF=AD,

AOLFD,

ZAO尸=90。，

ZAO尸+NR7£=180。,

・•・点A,C,f在同一条直线上;

①证明：四边形CDE厂是菱形,

:.CF=CD,AEYFD,

:.NCFD=NCDF,

AM是直径，

：.AE±CM,

:.FD//CM,

:.ZOCM=ZCFD,ZFDC=ZDCM,

:.ZDCM=/OCM，

OC=OM,

:.NOCM=NOMC,

ZDCM=NOMC，

:.CD//AB；

②解：延长£D与AB交于点N,

设BN=x,BE=y,

四边形CD£尸是菱形，

:.FO//EN,ED=CD,

:.AECD=/CED,

CD//AB,

••・四边形CQVD是平行四边形，

:.ZECD=4CAB,

；.CD=ON=3,NCAB=NCED,

AN=EN,

OC=OA=2f

：.EN=AN=AO+ON=2+3=5,

:.AB=5+x，

BEI

在RtAAEB中，tanZOAC=—二一,

AB2

•.•y—_—i>

5+x2

二.x=2y-5,

在RtAEBN中，EN2=BE2+BN2,

.-.52=/+（2y-5）2,

解得，X=。（舍去），>2=4,

:.BE=4.

9.（2022•乐清市一模）如图，将矩形MNPQ按照图1方式剪成4个直角三角形，再将这4

个直角三角形按照图2方式无缝拼接成连结。G,BE.

（1）求证：四边形DE3G为平行四边形；

（2）当AE=3,A£）=5,NFAB=NGDE,求8E的长.

【答案】（1）见解析；（2）x/5

【详解】（1）证明：-由题意可得NAED=NC"E>=NBGC=N4/8=/?TN

:.DE//BG,

ED=BG

.•.四边形。为平行四边形；

(2)解：AE=3,A£)=5,ZAED=90°

:.ED=yjAD2-AE2=>/52-32=4

:.AF=4,EF=\,

・四边形。旗G是平行四边形，

/GDE=NEBG,

•:占AB=/GDE,

/FAB=/EBG,

MEBSMBA,

：.EFxAF=BF2,

:.BF=2,

BE=VfF2+BF2=+2?=亚.

D

10.（2022•瓯海区一模）如图，四边形A3C。内接于，O,AC是.。的直径，作■DEMBC,

交30的延长线于点£,且BE平分NAfiZ）.

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形：

3

（2）若4）=8,tanZBDE=-,求AC的长与，3CDE的周长.

【答案】（1）见解析；（2）4G+12

【详解】证明：（1）延长交4）于点尸，交:jO于点G,

:.ZABG=ZDBG,

AG—DG9

BE是。的直径，

..BG上AD,

.\ABFD=90°，

AC是O的直径，

:,ZADC=90°.

.•.NB/D+NADC=180°,

:.BE//CD.

DE/IBC,

.・.四边形是平行四边形；

解：（2）DEHBC,

:.ZBDE=NCBD,

・.NCBD=NCAD,

:.ZBDE=ZCAD,

AC为。的直径，

:.ZADC=90°f

3CD

在RtAACD中，tanACAD=tanZBDE=-=—,

48

CD=6»

：.AC=>J62+82=10,

:.OA=OC=OH=5,

OF是AAC£）的中位线，

；.OF=3,

BF=OB+OF=3+5=8,

在RtABDF中，8£>=加+不=4百,

班'是4）的垂直平分线，

AB=BD=4上,

在RtAABC中，BC=M_（4舟=26,

CBCDE=（275+6）x2=475+12.

11.（2022•瑞安市一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD平分NAC3交AB于点。,

交O于点、E,以03为直径作，O交8c于点F,连结BE,EF.

（1）证明：ZA=ZBEF.

（2）若AC=4,tanZB£F=4,求EF的长.

【详解】（1）证明：连接。尸,

E

BD足。的直径,

.\ZDFB=90°，

.ZACB=90。,

;.ZACB=ZDFB=90。,

・•.AC//DF,

：.ZA=&DB,

ZFDB=ZBEF,

:.ZA=ZBEF；

（2）解：过点石作E771.BC,垂足为“，

E

CD平分ZACB,

ZACD=/DCB=-ZACB=45°,

2

NCDF=90。-ZDCB=45。,

:.CF=DF,

设CF=DF=x,

ZA=ZBEF,

tanA=tanZBEF=4,

.\BC=ACtanA=4x4=16,

；.BF=BC-CF=16-x，

ZACF=ZDFB=90。,

MCBS/^DFB，

.ACBC

而一而’

416

—=-----

x16-x

16

:.x=——

5

经检验，工=3是原方程的根,

5

BD是_O的直径,

.\ZBED=90°,

ZEBC=90。一ZDCB=45。，

:.EC=EB,

EH工BC,

：.CH=BH=-BC=3，

2

:.EH=LBC=8,

2

:.FH=CH-CF=—,

5

EF=\lFH2+EH2=^(y)2+82=|V34«

.•.EF的长为1庖.

12.(2022•龙港市一模)如图，A5是半圆。的直径，半径OCLAB,。是OC延长线上

任意一点，DE切半圆。于点E,连结AE,交OC于点、F.

(1)求证：DE=DF.

(2)若8=2,tanNAb0=3,求砂的长.

【答案】（1）见解析；（2）二以

5

【详解】（1）证明：连接OE,

OE=OA,

...ZA=NOEA,

DE切半圆。于点E,

.•.zr应o=90。，

.・.ZDEF+ZAEO=90°,

OC±AB,

.*.ZAOC=90°,

/.ZA+ZAFO=90o,

:.ZAFO=ADEF，

,ZAFO=ZDFE,

:.ZDFE=ZDEF,

；.DF=DE：

r)A

(2)解：tanZAFO=—=3,

OF

设OA=3x，OF=x，

OC=OA=3x，

/.DF=2+2x,

Z£>EO=90°,

OE2+DE2=OD2,

9/+(2+2x)2=(2+3x3,

.,.x=l,x=0(不合题意舍去),

:.DE=4,OE=3,OD=5,

过£作_L8于〃，

Si1MsoJEAOj=2-DEOE=2-EHOD,

L〃DEOE3x412

OD55

.\OH=>JOE2-EH2

5

5

/.EF=y/EH2+HF2=生回.

5

D

13.（2022•苍南县一模）如图，A3是：O的直径，点。在,：。上，A石是:。的切线，BE

平分NAB。交AC于点。，交。于点尸.

（1）求证：AD=AE.

（2）若AB=8,AD=6,求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）—

25

【详解】（1）证明：4?是；O的直径,

/.ZACB=90%

ZCBD+NCDB=90°,

BE平分ZABC,

.・./CBD=NEBA,

M是。的切线，

:.ZBAE=90°，

.•.ZES4+ZE=90。，

NCDB=/E,

又：ZCDB=ZEDAf

.\ZE=ZED4,

AE=AD；

(2)解：由(1)知：AE=AD,

A8=8,AD=6,AE是＜。的切线,

:.AE=6,ZBAE=9Q°,

:.ZBAE=NBCD,

BE平分ZABC,

/./CBD=ZABE,

.-.AEAB^ADCB,

AEAB

..-------=--------9

CDCB

即£=_^-----,

CD^AB--AC2

AC=AD+CD,

68

CD^82-[6+CD）2’

47

解得C£>=-6（不合题意，舍去）或8=—,

25

即CD的长是空.

25

14.(2022•温州模拟)如图，A48c内接于O,直径即交A3于点M,延长EF与过点

C的切线交于点。.己知NABC与/。互余.

(1)求证：ACA.EF.

(2)连结EB,当Z4BE=60。，tanZBME=—,£>E=12时，求O的半径和BE的长.

2

【详解】(1)证明：连接OA、OC,如图:

CDO相切于点C,

.\OC±CD,

・•.NOCD=90。，

ZD+NDOC=90。,

Z£>+ZABC=90°,

ZABC=ZDOC,

••・ZABC2ZAOC,

2

/.ZDOC=-ZAOC,

2

「.OF平分NAOC,

AF=CF,

・・."_LAC,即ACJ.£F；

（2）解：连接。4、OC、AF.设AC、£F交于点G,如图:

ZAB£=60。，

ZAOE=2ZAB£=2x60°=120°,

・•.ZAOF=180O-ZAOE，=180°-120°=60°，

由（1）知。尸平分NAOC,

・・.NCOF=ZAOF=60。,

NOC£）=90。，

・•・ND=90。—NZXTC=90。—60。=30°,

:.OD=2OC、

OE=OC,DE=12,

,.EO+DO=\2,即OC+20c=12,

・.OC=4,

。的半径为4,

,\OA=OF=OE=4,EF=OE+OF=4+4=8,

NAO尸=60。，

.•.AAO尸是等边三角形，

.\AF=4,

由（1）知AC_L£F于G,

:.ZAGF=ZAGM=90°,

•✓AAG.℃FG

sin/AFG-，cos=，

AFAF

，AG=AF-sinZAFG=4xcos600=2,

在RtAAMG中，

tanZ.AMG=tanZBME=—,tanZAMG-,

2MG

.AG

.1MG=2AG=-1=x26=4,

AM=\lAG2+MG2=7（2^）2+42=277,

:.ME=EF-GF-MG=8-2-4=2,

根据圆周角的性质可得：ZBEM=ZEAM,ZEBM=ZAFM,

:.gEMs^FAM，

BEEMUllBE2

FAAM4277

..BE-------.

7

15.（2022•温州模拟）如图，点C,。在以AB为直径的半圆。上，AD=BC,切线DE交

AC的延长线于点E,连接OC.

（1）求证：ZACO=AECD.

（2）若NCDE=45。，DE=4,求直径钻的长.

【答案】（1）见解析；（2）AB=4\/2

【详解】证明：（1）如图，连接OD，

AC=BD，

ZAOC=/BOD,

OA=OC=OD,

:,ZOAC=ZOCA,/OCD=NODC,

ZAOC+ABOD+Z.COD=180°=NOCD+ZODC+ZCOD，

/./OCD=ZAOC,

AO//CD,

:.ZECD=ZCAO,

:.ZACO=ZECD；

(2)DE是：O切线，

ZEDO=90°,

NCDE=45。,

/.ZCDO=45°,

二ZAOC=45°=ZOCD，

・•・ZCCD=90°,

CD=>J2OC，

ZAOC=ZCDF=45°,ZACO=ZECD,

:2OCs.DC,

:•匹=匹=近,

AOCO

AO=—=2>/2,

72

.\AB=442.

16.(2022•温州模拟)如图，在AABC中，AB=AC,以钻为直径作。分别交AC,BC

于点。，E,连结EO并延长交」。于点F,连结AF.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)连结DE,若△<?£>£的面积为20,cosZF=—,求二。的直径.

C

D

—---]B

Z/O/

J

【答案】（1）见解析；（2）5V10

【详解】（1）AB和所为O直径，

:.AB=EF.

AB=AC,

AC=EF,NC=NA8C.

OE=OB，

ZABC=ZOEB,

:.NC=NOEB,

AC//EF,

四边形ACEF为平行四边形.

（2）由平行四边形ACE/得NC=NF.连结班＞,AE,

AB为O直径，

.\ZADB=90°.

cosZ.F=,

，设CD=x,则C3=6,

/.BD=2x.

回为直径，

/.AE±BC,

AB=AC,

1.E为BC中点,

•*SgcD=2sApc£=40,

・•・-x-2x=40,

2

%>0,

x=2A/10.

:.CD=2回,BC=&=10夜，84=2x=4厢，

AB=———=-^=5y/2xy/5=5y/W,

cosZABEcosC

.•.一O的直径为5加.

17.（2022•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在4）,CD边上，且DE=DF,

连结EF并延长EF交BC的延长线于点G.

（1）求证：ZG=—ZA.

2

1n/7

（2）连结BE,BF,当NEBF=NA,tan/G=一时，求"的值.

2CG

【答案】（1）见解析；（2）-

3

【详解】（1）证明：-四边形ABCD是菱形,

/.ZA=ZDC4,ADIIBC,

:,ZDEF=ZGf

DE=DF,

:.ZDEF=ZDFE,

ZDFE=/CFG,

:.4CFG=4G,

ZDG4.NG+NC尸G,

.・.ZDC4=2NG,

「.ZA=2NG,

ZG=-ZA；

2

(2)解：连结3。交£F于点G,交AC于点〃，

D

四边形ABCD是菱形，

：.ZEDB=ZFDB,AC±BD,DH=-BD,

DE=DF,BD=BD,

:.垃)EBM^DFB(SAS),

..NDBE=/DBF△NEBF,EB=EF,

ZEBF=ZA,

ZDBE=ZDBF=-ZA,

2

ZG=-ZA,

2

..NG=/DBE,

DE=DF,EB=BF,

.•.BO是即的垂直平分线,

:.BD±EFf

:.^EGD=ZEGB=90°,

tanZG=—1,

/.tanZDEF=-=-,tanZEBD=—=-

EG2BG2

设。G=a,EG=2a,BG=2EG=4a,

，BD=DG+BG=5a,

:.DH=-BD=2.5a,

2

:.GH=DH-DG=i.5a,

ACA.BD.EhBD,

:.EF//AC,

DEDG_a_2

AEGH1.5。3

AD/IBC,

••・四边形ACGE是平行四边形,

AE=CG，

.DE2

~CG~3,

.•.匹的值为2.

CG3

18.(2022•永嘉县模拟)如图，在A43C中，AC=6,48=8,3C=10,点P在边AC上

运动，PE//BC,交AB于点E,以4为半径的。交边4C于点Q,延长交C于点、F,

GF上EF,交AC延长线于点G.

(1)求证：ZG=ZB.

【答案】（1）见解析；（2）5T

15

【详解】（1）证明：AC=6,A8=8,BC=\0,

:.AC2+AB2=BC2,

/.ZA=90°,

GF工EF,

.・.ZGfP=ZA=90°,

PE!IBC,

:.NGPF=ZACB,

ZG=ZB；

（2）解：作C"_L/V”于点"，连接CF,如图：

B

CQ=4,PC=PQ,

pc=PQ=2f

PE/IBC,

NCPH=ZBCA,

/.tanZCP//=tanZBC4,即空=空，

PHAC

CH84

■-——=一,

PH63

4

;.CH=-PH,

3

222

在RtACPH中，CH+PH=CPt

.\(-W/)2+P//2=22,

3

解得产〃（负值已舍去）,

5

•••仁

在RtACHF中,

6+4历

PF=PH+FH=

5

在RtAGPF中，tanZGPF=—=-,

PF3

加处里224+16⑨

315

答：GF的长为小臀.

19.（2022•鹿城区校级二模）如图，在O中，弦CD垂直平分半径Q4于8,点£是圆上

一点，连结AE交线段BC于E,过点E作，O的切线交QC的延长线于点P,已知。，O,

E三点共线.

（1）求证：AC=CE.

（2）若CP=2,求APEF的面积.

A[-B0]

A—,

【答案】（1）见解析；（2）473

【详解】（1）证明：连接DE,AC,OC,CE,如图所示:

弦8垂直平分半径。4,

.".CA=CO，

OC=OA,

.•.A4OC是等边三角形，

/.ZAOC=60%NOC8=30°,

D,O,石三点共线，

.•.DE为直径,

.\ZDCE=90°,

・•.ZOCE=60°,

OC=OE,

「.△COE为等边三角形，

/.NCOS=60。，

二.ZAOC=ZCOE,

AC=CE.

（2）解：.点£作（O的切线交。。的延长线于点尸,

.•."£『二90。，

NCEP=30。,

CP=2,

tanZCEP=—=—,

CE3

:.CE=2y/3,

■.ZAOE=120°,OA=OE,

:.ZOEA=30°,

.•.ZAEC=30°,

:.CF=PC=2,

二.APE/的面积=1X4X2G=4>Q.

2

20.（2022•温州模拟）如图，AD是RtAABC斜边3c上的中线，E是AD的中点，过点A

作A尸//8。交8E的延长线于点F,连结CF.

（1）求证：四边形ADCF为菱形；

【详解】（1）证明：E是4）的中点,

/.AE=DE，

AF//BC,

:.ZAFE=ZDBE,

在AAEF和ADEB中，

ZAFE=NDBE

<ZAEF=ZDEB,

AE=DE

:.^AEF=ADEB（AAS）,

:.AF=DB,

四边形ADCF是平行四边形，

ZBAC=9O°,。是8C的中点，

/.AD=-BC=CD,

2

.•・四边形ADb是菱形;

(2)解：E是4)的中点，AE=A,tanZABC=-,

3

AD=2y/l3,BC=4屈,

设A8=3x,AC=2x,

由勾股定理得：(2x)2+3)2=«炳2,

解得：x=4»

:,AB=n.AC=8,

。是的中点，

•・S菱形ADCF=25必8=SAABC=—AB-AC=—xl2x8=48,

21.(2022•文成县一模)如图，在四边形A5C。中，DA=DC,ZADC=ZB=90°,过点。

作。石_LAB于£.

(1)求证：DE=BE.

(2)连结AC交。石于点尸，若tanNADE=l，4)=15,求小的长.

2

【答案】（1）见解析；（2）5右

【详解】（1）证明：过点。作。GJ_3C,交的延长线于点G,如图所示:

DE1.AB,ZB=90。，DG工BC,

.\ZDEA=ZDEB=ZB=ZBGD=9O09

四边形。旗G是矩形，

:.ZEDG=90°,DG=BE,

••.NEDC+NCDG=90。,

ZADC=90°f

.•.NEDC+ZAr>£=90。，

.•.ZADE=NCDG,

在AADE•和ACDG中，

/ADE=ZCDG

<NOE4=NDGC=90。，

DA=DC

/.MD£^ACDG(A4S),

:.DE=DG,

DE=BE；

⑵解：tanZADE=-,ZDEA=90°,

2

AE1

---=一，

DE2

：.DE^2AE,

在RtAAED中，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2,

即AE2+(2AE)2=152,

解得：AE=3\f5,

:.DE=2AE=6出,

由(1)得：AADE=ACDG,四边形£)EBG是矩形，DE=BE，

.,・四边形AE3G是正方形，AE=CG=3/,

BE=BG=DE=645,

:.BC=BG-CG=6亚-3亚=3亚,AB=AE+BE=34+6有=9框,

FELAB,BCrAB,

:.FE//CB,

AAEF^AABC，

,AE_EF

丽一茄’

3亚一EF

即访一访‘

解得：EF=y[5,

DF=DE-EF=6y/5-45=5yf5,

即DF的长是575.

22.(2022•瑞安市二模)如图，AABC内接于:O,AB为直径，NACB的平分线分别交至

于点。，交O于点E,过点E作O的切线，交CE的平行线A尸于点F.

(1)求证：四边形ADE厂为平行四边形.

7

(2)若tanNC4B=—,AF=5,求四边形ADE厂的面积.

3

【答案】（1）见解析；（2）—

13

【详解】（1）证明：连接OE,如图1,

ZACS=90。，

ZACB的平分线交O7点石，

/.ZACE=/BCE=45。,

:.ZAOE=2ZACE=90°

£F为一。的切线，

.\OELEF,

:.EF/IAB,

AF//CE,

：.EF//AD,AF//DE,

四边形AD所为平行四边形；

（2）解：如图2,过点。作。M_LAC于点DNLBC干点、N,连接。石,

CE平分NAC8,DMLAC,DNLBC,

:.DM=DN,

.-ACDMAC2

Jgpc=2tanZCAB=——=-,

SABDC',BC♦DNBCAC3

2

SAAOC_4D

-R

AD3

-----=—,

BD2

设AP=3f,则=AB=5t,

:.OE=OB=-AB^-t,OD=OB-BD=-t-2t=-t,

2222

,四边形ABC。是平行四边形，

.-.DE=AF=5,

在RtAODE中，

OE2+ODr=DE2,即(|fy+(gr)2=52,

解得：产=竺,

13

四边形4)防的面积=45.0E=3，.9U竺/=g*竺=胆.

2221313

23.(2022•瓯海区模拟)如图，在RtAABC中，ABAC=90°,以43为一边构造ABDE,

DA//BC,连结EC交A4的延长线于点尸，DFA.EC,延长E4交8C于点G.

(1)求证：点A是EG的中点.

(2)若tanZABC=‘，DA=6,求3c的长.

2

【答案】（1）见解析；（2）10

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形,

.BD//AE,BD=AE,

:.BDHAG,

DA//BG,

四边形ADBG是平行四边形，

:.BD=AG，

AE=AG,

・•・点A是的中点；

（2）解：・四边形4）8G是平行四边形，

:.BG=DA=69

DA/IBC,DFLEC,

・•.BC±EC,

••.ZECG=90。，

由（1）可知，点A是EG的中点，

AC=-EG=AG,

2

/.ZACG=ZAGC,

ZBAC=90°,

.\ZBAC=ZECG,

:.\BAC^\ECG,

ACCG

----=-----,

ABCE

tanZABC=—=-,

AB2

CG1

——=—，

CE2

设AC=a,则AB=2a,EG=2AC=2a,

设CG=6,则CE=»，

CE2+CG2=EG2,

即（2力2+从=Qa）2,

,2后

..b=-----a,

5

AB2+AC-=BC-,

即（24）2+/=（6+亭”）2,

解得：a=2#>,

2fs

.­.BC=6+^-x2x/5=10.

24.(2022•鹿城区二模)如图，AABC内接于O(AC>BC),AB是O的直径，E,C,

。是一。上的点，EC=CB=BD,连结£»分别交AC,居于点尸，G.

(1)求证：/^EFA^ABCA.

(2)若3C=5,BG=4,求4?的长.

【详解】(1)证明：EC=CB=BD,

ZEAC=ZBAC，ZE=NCBA,

(2)解：AB为O直径，

ZACB=90°.

NEFA^NBCA.

EFBC

:.ZEFA=ZC=90°

fAE-AB'

又•.ZCAE=ZCAB,AF=AF，

:.^AEF^MFG(ASA),

:.AE=AG,EF=FG.

ZAEG=ZABD,ZAGE=ZBGD,

:.MJEG^ADBG,

3。_AE_5

BG~EG~4"

设所=FG=2x,AE=AG=5x,

.\AB=5x+4f

BCEF52

"AE-5X4-4-5'

17

x=—，

10

/.AE=5x=—.

2

25.(2022•鹿城区校级二模)如图，是0。的直径，弦CD_L4?于点石，尸是A3上

一点，连结4尸并延长，与C。的延长线交于点G.连结电＞,FC,AC.

(1)求证：ZDFG=ZAFC.

(2)若尸是AO的中点，CE=LDG=2,求G/的长.

【答案】（1）见解析；（2）-

8

【详解】（1）证明：AB是二。的直径，弦CDJLA3,

AC=AD,

:.ZAFC=ZACD,

四边形ACDF内接于O,

ZACD+NAFD=180。，

ZDFG+ZAFD=180°,

.・.ZDFG=ZACD=ZAFC；

（2）解：尸是AO的中点，

AF=FD,

.\AF=FD,

四边形ACM内接于O,

/.NC4F+NCD尸=180。，

ZFDG+ZCE>F=180°»

:.ZFDG=ZCAF,

由（1）,得ZDFG=ZAFC,

:.ACAF=AGDF（ASA）,

:.CF=FG,

CE=-DG=2,

3

/.AC=DG=6,

AB是।。的直径，弦CE>_LAB,

DE=CE=2，

AE=VAC2-C£2=472,CG=CE+DE+DG=IQ，EG=ED+DG=8.

AG=\lAE2+EG2=476,

GH=-CG=5,FH//AE,

2

FGGH5

AG-EG-8

.CF-5在

..Crr=-----

2

26.（2022•苍南县二模）如图，在O的内接A48C中，AB=AC,直径4）交8c于点E,

连结C£）.

(1)求证：AACES&CDE.

(2)若=AD=1O,求AC的长.

【答案】（1）见解析；（2）4右

连接03,OC,

AB=AC,OB=OC,

A3是BC的垂直平分线，

/.ZA£C=ZDEC=90°,BE=EC,

AB=AC,

AB=AC，

:.ZACE=ZADC.

/.AACE^ACDE.;

(2)解：BE=EC=-BC,AE=BC,

2

,\CE=-AE.

2

CE1

tanZC4E=—=-,

AE2

AT＞是_。的直径，

/.ZACD=90°,

CD1

在RtAACD,tanZCAD=——=一，

AC2

设CD=a>AC=2a，

AC2+CD2=AD2,

（2a）2+fz2=100,

:.a=2旧或a=-2后（舍去），

AC=2a=4>/5,

r.AC的长为4K.

27.（2022•龙湾区模拟）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3C.点A,C落在一O

上，他的延长线交。于点O,作直径£尸交BC于点E,CG切。于点C,交AF的

延长线于点G.

（1）求证：四边形ECGF为平行四边形.

（2）若AB=6,BD=2,求FG的长.

D

【答案】（I）见解析；（2）5

【详解】（1）证明：ZAfiC=90°,AB=BC.

/.ZfiAC=ZACB=45°,

.・.ZDOC=2ZBAC=90°，

CG马。相切于点C,

ZOCG=90°,

/.ZDOC=ZOCG=90°,

:.EF//CG，

DF是_O的直径，

.•.ZZMF=90。，

.\ZDAF+ZABC=180°,

:.FGHBC，

/.四边形ECGF为平行四边形；

(2)解：ZDBC=ZDAF=90°,ZD=ZD,

:.NDBEs/SDAF，

•DBDE21

一诙一加—2+6-"

:.DE=-DF,

4

：.DE=LOD,

2

/.DE=OE,

设则CE=8C—8E=6—x,

在RtADBE中，DE2=DB2+BE2=4+x2,

OE2=DE2=4+x2,

OC=OD=2OE,

OC2=(2OE)2=4OE2=16+4x2,

在RtAEOC中，OE2+OC2=EC2,

4+x2+16+4x2=(6-x)2,

x=l或x=T(舍去)，

:,EC=6—x=5,

・四边形ECG/为平行四边形，

:.FG=EC=5,

.•.FG的长为5.

28.(2022•龙港市模拟)如图，在A4BC中，。为的中点，点E在4)的延长线上，使

Zl=Zfi4Z).

(1)求证：CE=AB.

(2)若AB=6,BC=2"T,tanNl=2也，求名侬■的值.

s

2MBe

【答案】(1)见解析；(2)—

10

【详解】(1)证明：过点8作3G1.AE于G,过点C作B_LAE,交AE延长线于尸，

如图所示：

则ZCFD=ABGD=ZBGA=90°,

。为8c中点，

/.CD=BD9

在ACDF和ABDG中，

NCFD=NBGD

<ZCDF=ZBDG,

CD=BD

:.ACDF=M3DG(AAS),

:.CF=BG,

在△C£F和ABAG中，

ZCFE=NBGA

<Zl=ZBAG,

CF=BG

/.ACEF=ABAG(A4S),

:.CE=AB；

(2)解：Zft4G=Zl,

/.tanZBAG=tanN1=2夜,

/.tanZBAG=—=272，

AG

设AG二％,则3G=2岳，

222

在RtABGA中，AG+BG=ABf

即X?+(20X)2=62,

解得：x=2(负值己舍去)，

ACEF=ABAG，

：.EF=AG=2,CF=BG=4近,

BD=LBC=、2向=向,

22

在RtABDG中，由勾股定理得：DG=NB»-心=小雨了一(4回2=3,

\CEF=^BAG,

:.DF=DG,

DE=DF-EF=DF-EF=3-