2015初中数学-几何证明题

1、(2015福州)如图①，在锐角△ABC中，。、E分别为AB、BC中点，尸为AC

上一点，且/AFE=/A,OM〃EF交AC于点M.

(1)求证：DM=DA-,

(2)点G在BE上，且NBCG=/C,如图②，求证：/XDEG^/\ECF\

(3)在图②中，取CE上一点H,使NCFH=NB,若8G=1,求EH的长.

BEC

BGEC

第25题图①

第25题图②

2、(2015•益阳)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB.AP绕点A逆

时针旋转角a(0°<aW90°)得到AP”BP绕点B顺时针也旋转角a得到BP2,连

接PPi、PP2.

(1)如图1,当a=90。时,求NPiPPz的度数;

(2)如图2,当点Pz在APi的延长线上时，求证：△PBPSAPFA；

(3)如图3,过BP的中点E作L_LBP,过BP2的中点F作kJ_BPz,L与I2交于点Q,

连接PQ,求证：PiP±PQ.

3、

20.(10分)(2015♦荷泽)如图，已知4tBC=90。，。是直线.18上的点，.iD=5C.

(1)如图1,过点H作/并截取WF=8Z),连接。C、DF、CF,判断ACDF的形状

并证明；

(2)如图2,E是直线5c上一点，且CE=AD,直线WE、8相交于点尸，4ED的度数

是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.

25.（12分）（2015•重庆）在AABC中，AB=AC,ZA=60°,点D是线段BC的中点，

NEDF=120。，DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若DF1AC,垂足为F,AB=4,求BE的长；

（2）如图2,将（1）中的NEDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于

点F.求证：BE-CFJAB；

2

（3）如图3,将（2）中的/EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的

延长线相交于点F,作DN1AC于点N,若DN1AC于点N,若DN=FN,求证：BE-CF=V3

（BE-CF）.

26.(10分)(2015•常德)如图1,在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC

于O,连接DO并延长交BC于E.

(1)求证：AFOCaAEOC.

(2)将此图中的AD、BE分别延长交于点N,作EM//BC交CN于M,再连接FM即得到

图2.

求证：①且萼？|②FD=FM.

CBBN

6、(10分)(2015•无锡)如图，C为N4OB的边。4上一点，OC=6,N为边OB上异

于点O的一动点,P是线段CN上一点，过点P分别作PQ//OA交OB于点Q,PM"OB

交OA于点M.

(1)若/AOB=60。，0M=4,OQ=\,求证：CNLOB.

(2)当点N在边08上运动时,四边形OMPQ始终保持为菱形.

①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明

ONON

理由.

②设菱形。MP。的面积为S”△NOC的面积为S2,求守的取值范围.

0,

□

25.（11分）（2015•临沂）如图1,在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF,

连接AF,BE.

（1）请判断：AF与BE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直;

（2）如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF"变为"两个等腰三角形ADE和DCF,

且EA=ED=FD=FC",第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）问中的结论都能

成立吗？请直接写出你的判断.

8,（2015丹东）

在正方形ABCD中，对角线HC与BD交于点。；在RtbPMN中，NUPN=90°.

（1）如图1,若点尸与点。重合且Rl/LlD、PNL.iB,分别交AD、AB于点E、F,请

直接写出尸E与尸F的数量关系；

（2）将图1中的五仙日"绕点。顺时针旋转角度a（0。＜0：＜45。）.

。如图2,在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由；

。如图2,在旎转过程中，当时，连接E尸，若正方形的边长为2,请直接

写出线段EF的长；

。如图3,旋转后，若RtbP'N的顶点P在线段OB上移动（不与点。、B重合），当

尸时，猜想此时尸E与4•的数量关系，并给出证明；当5。=狂5尸时，请直接

写出尸E与尸F的数量关系.

图1图2图3

23.（12分）（2015•潍坊）如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD

到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连

接AG,DE.

（1）求证：DEJAGS

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点。逆时针旋转a角（CT<a<360。）得到正

方形OE'F'G',如图2.

邂旋转过程中，当④AG'是直角时，求a的度数；

密正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写

出结果不必说明理由.

1、（2015福州）

解：（1）证明：'JDM//EF,

：.NAMD=ZAFE.

'：NAFE=NA,；.NAMD=ZA.

：.DM=DA.

（2）证明：VZDGB=1800-ZB-ZBDG,

ZA=180°-ZB-ZC,

NBDG=NC,

；.NDGB=NA.

'：NA=NAFE,

，ZDGB=ZAFE.

'：ZDGE^\SQ°-ZDGB,

ZEFC=\80°-ZAFE,

：.4DGE=ZEFC.

又：DE是中位线，：.DE//AC.：.4DEB=/C.

:./\DEGs/\ECF.

（3）提示：如答图，

由tXBDGsABED,得BD2=BGBE,

由△EFHs/\ECF,得EF2=EH-EC.

由8£>=O4=r>M=ER且BE=EC,

得EH=BG=\.

2、(12分)(2015•益阳)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB.AP

绕点A逆时针旋转角a(0°VaW90°)得到AP”BP绕点B顺时针也旋转角a得

到BPz,连接PP”

(1)如图1,当a=90。时,求NPFPz的度数;

(2)如图2,当点P?在APi的延长线上时，求证：△PPPs/kBPA；

(3)如图3,过BP的中点E作1」BP,过BP?的中点F作k_LBP2,L与L交于点Q,

连接PQ,求证：P,P±PQ.

考点：几何变换综合题.

分析：(1)利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出NAPP尸/BPPL45。，进而得出答

案；

(2)根据题意得出APAPi和△PBP?均为顶角为a的等腰三角形，进而得出

ZPiPP2=ZPAP2=a,求出△PBPs^PzPA；

(3)首先连结QB,得出RtAQBE^RtAQBF,利用NPFQ=180°-ZAPPi-ZQPB

求出即可.

解答:⑴解:由旋转的性质得：AP=AP,.BP=BP2.

,/a=90°,

.•.△PAPi和△PBPz均为等腰直角三角形，

...NAPP尸NBPPz=45°,

...NPFPz=180°-NAPPi-NBPPz=90°；

(2)证明：由旋转的性质可知APAPi和△PBP?均为顶角为a的等腰三角形，

ZAPP1=ZBPP2=90°--,

2

"o

..ZPlPP2=180-(ZAPP^ZBPh)=180°-2(90°-工)=a,

2

在△PPF/naP2PA中，ZPiPP2=ZPAP2=a,

又；NPP2P产NAPzP,

...△PzPiPs/XPzPA.

(3)证明：如图,连接QB.

h分别为PB,PaB的中垂线,

.•.EB=1BP,FB=1BP.

222

又

BP=BP2,

.\EB=FB.

在RtZXQBE和RtZXQBF中，

[EB=FB,

lQB=QB，

.".RtAQBE^RtAQBF,

ZQBE=ZQBF=AzPBP2=—,

22

由中垂线性质得：QP=QB,

，/QPB=NQBE=工，

2

由（2）知/APPi=90°-―,

2

,NPFQ=180°-ZAPP）-ZQPB=180°（90°-工）--21=90°,

22

即PiP±PQ.

点评：此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性

质等知识，得出RtaQBEgRt^QBF是解题关键.

28.(10分)(2015•无锡)如图，C为NAOB的边。4上一点，OC=6,N为边。8上异

于点。的一动点,P是线段CN上一点，过点P分别作PQ〃OA交OB于点Q、PM〃OB

交OA于点M.

(1)若/4。8=60。，OM=4,02=1,求证：CNJLOB.

(2)当点N在边OB上运动时，四边形。例PQ始终保持为菱形.

①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明

ONON

理由.

S.

②设菱形0Mp。的面积为Si，的面积为S2，求的取值范围.

解答：解：(1)过户作PE_LOA于E,

'：PQ//OA,PM//OB,

四边形OMPQ为平行四边形，

，PM=OQ=I,ZPME=NA08=60°,

PE=PM”i〃60o=叵ME=1,

22

：.CE=OC-OM-ME=1,

2

.*.3""=里近，

CE3

ZPCE=30°,

：.ZCPM=90°,

又,：PM〃OB,

：.ZCNO=ZCPM=90°,