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2023-2024学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)1.(3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是A. B. C. D.2.(3分)已知,下列式子不一定成立的是A. B. C. D.3.(3分)下列命题中,逆命题是真命题的是A.两直线平行,内错角相等 B.若,那么 C.对顶角相等 D.若,那么4.(3分)等腰三角形的底角等于,则这个等腰三角形顶角的度数是A. B. C. D.5.(3分)若不等式组的解集为,则的取值范围为A. B. C. D.6.(3分)如图,中,为中点,在上,且.若,,则的长度是A.5 B.5.5 C.6 D.6.57.(3分)如图,在中,,平分,过点作,垂足为点,连接,若,,则的面积为A.1 B. C. D.8.(3分)若关于的不等式组的整数解共有4个,则的取值范围是A. B. C. D.9.(3分)如图,在中,,,,点是线段上一动点,点在线段上,当时,的最小值为A. B. C. D.10.(3分)将一个等腰三角形纸板沿垂线段,进行剪切,得到三角形①②③,再按如图2方式拼放,其中与共线.若,则的长为A. B. C. D.7二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)11.(4分)请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”:.12.(4分)直角三角形两直角边长分别为和,则斜边上的中线长为.13.(4分)把一些书分给几名同学,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本,那么这些书共有本.14.(4分)如图,在中,的中垂线交于,的中垂线交于,若,则.15.(4分)如图,点在中,,,,,则图中阴影部分的面积为.16.(4分)如图,在中,,点在内,平分,连接,把沿折叠,落在处,交于,恰有.若,,则.三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)17.(6分)(1)解不等式:;(2)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.18.(6分)如图,在的方格纸中,已知格点,请按要求画格点三角形(顶点均在小方格的顶点上).(1)在图1中画一个,使点在上,点在上;(2)在图2中画一个等腰三角形,使点在上,点在上.19.(6分)如图,在中,是边上的高.(1)若是边上的中线,,,求的长;(2)若是的平分线,,,求的大小.20.(8分)如图,是等边三角形,点是边上一点,以为边向上作等边,连结.(1)求证:.(2)若,,求的长.22.(10分)某学校为改善办学条件,计划采购、两种型号的空调,已知采购3台型空调和2台型空调,共需费用21000元;4台型空调比5台型空调的费用多5000元.(1)求型空调和型空调每台各需多少元;(2)若学校计划采购、两种型号空调共30台,且型空调的台数不少于型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过115000元,该校共有哪几种采购方案?(3)在(2)的条件下,直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?23.(10分)如图,已知在△中,,,,若动点从点开始,按的路径运动,且速度为每秒2个单位长度,设出发的时间为秒.(1)出发2秒后,求的长.(2)出发几秒钟后,恰好平分△的周长.(3)当为何值时,△为等腰三角形?24.(12分)在四边形中,和有公共顶点,且.(1)如图1,是边上的一点.若.求证:.(2)如图1,是边上的一点.若,连接、,交点为,求的度数.(3)如图2,、、三点不在一条线上,且,满足,,求的面积.
2023-2024学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)1.(3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是A. B. C. D.【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.【解答】解:选项、、的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形.选项的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形.故选:.【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.2.(3分)已知,下列式子不一定成立的是A. B. C. D.【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答.【解答】解:、不等式两边同时减去一个相同的数,不等号的方向不变,故成立,不符合题意;、不等式两边同时乘以一个相同的负数,不等号的方向改变,故成立,不符合题意;、,,;故成立,不符合题意;、,,,故不成立,符合题意;故选:.【点评】本题主要考查了不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质.不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变.不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.3.(3分)下列命题中,逆命题是真命题的是A.两直线平行,内错角相等 B.若,那么 C.对顶角相等 D.若,那么【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题,判断即可.【解答】解:、两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等,两直线平行,是真命题,符合题意;、若,那么的逆命题是若,那么,是假命题,不符合题意;、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角,是假命题,不符合题意;、若,那么的逆命题是若,那么,是假命题,不符合题意;故选:.【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.4.(3分)等腰三角形的底角等于,则这个等腰三角形顶角的度数是A. B. C. D.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定.【解答】解:等腰三角形的底角等于,,等腰三角形的顶角为,故选:.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.5.(3分)若不等式组的解集为,则的取值范围为A. B. C. D.【分析】先解不等式,然后根据解集为,可得结论.【解答】解:,不等式组的解集为,.故选:.【点评】本题考查了解一元一次不等式组,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.6.(3分)如图,中,为中点,在上,且.若,,则的长度是A.5 B.5.5 C.6 D.6.5【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出长,根据勾股定理求出即可.【解答】解:,,,为中点,,,由勾股定理得:,故选:.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用,注意:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.7.(3分)如图,在中,,平分,过点作,垂足为点,连接,若,,则的面积为A.1 B. C. D.【分析】延长交于点,可以算出,的长度,从而利用面积比得到的面积,而的面积又是面积的一半,从而求解.【解答】解:延长交于点,在中,,,,平分,且,,,,,,,.故选:.【点评】本题考查了勾股定理的应用,角平分线的定义,等腰三角形的性质与判定,三角形面积的计算,证明是解决问题的关键.8.(3分)若关于的不等式组的整数解共有4个,则的取值范围是A. B. C. D.【分析】首先确定不等式组的解集,先利用含的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于的不等式,从而求出的范围.【解答】解:由得,,,故原不等式组的解集为:,不等式组的正整数解有4个,其整数解应为:3、4、5、6,的取值范围是.故选:.【点评】本题考查解一元一次不等式组的整数解,列出关于的不等式组,再借助数轴做出正确的取舍.9.(3分)如图,在中,,,,点是线段上一动点,点在线段上,当时,的最小值为A. B. C. D.【分析】作点关于的对称点,连接交于点,则的最小值为的长,过点作于点,在△中,,,可求,在中,,所以的最小值为.【解答】解:作点关于的对称点,连接交于点,,,的最小值为的长,过点作于点,,,,,,,在△中,,,,,,,在中,,的最小值为,故选:.【点评】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握轴对称求最短距离的方法,灵活应用勾股定理是解题的关键.10.(3分)将一个等腰三角形纸板沿垂线段,进行剪切,得到三角形①②③,再按如图2方式拼放,其中与共线.若,则的长为A. B. C. D.7【分析】设为,为,为,图2中的余角为,根据题意和图形可得,设为,则,根据上式列出方程即可解答.【解答】解:如图,设为,为,为,图2中的余角为,为等腰三角形,,,,,,结合两图,可得,设为,根据勾股定理得,,解得:,,故选:.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,结合两图得到等量关系式是解题关键.二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)11.(4分)请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”:.【分析】根据“的4倍与3的和不大于2”,可得出关于的一元一次不等式,此题得解.【解答】解:根据题意得:.故答案为:.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.12.(4分)直角三角形两直角边长分别为和,则斜边上的中线长为.【分析】根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形斜边的中线的性质解答.【解答】解:由勾股定理得,斜边长为:,则斜边上的中线长为:,故答案为:.【点评】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是,,斜边长为,那么.13.(4分)把一些书分给几名同学,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本,那么这些书共有26本.【分析】设共有名学生,根据每人分3本,那么余8本,可得图书共有本,再由每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本,可得出不等式,解出即可.【解答】解:设共有名学生,则图书共有本,由题意得:,解得:,为非负整数,.这些书共有:(本.故答案为:26.【点评】本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题意,列出不等式组即可求解.14.(4分)如图,在中,的中垂线交于,的中垂线交于,若,则20.【分析】根据三角形内角和定理求出,根据线段垂直平分线的性质得出,,根据等腰三角形的性质得出,,求出,代入求出即可.【解答】解:,,的中垂线交于,的中垂线交于,,,,,,,,故答案为:20.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识点,能根据线段垂直平分线性质得出和是解此题的关键.15.(4分)如图,点在中,,,,,则图中阴影部分的面积为.【分析】根据勾股定理和,,,可以先求出的长,然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状,从而可以求出阴影部分的面积.【解答】解:,,,,,,是直角三角形,,阴影.故答案为:.【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积,解答本题的关键是求出的长.16.(4分)如图,在中,,点在内,平分,连接,把沿折叠,落在处,交于,恰有.若,,则.【分析】延长,交于点,由等腰三角形的性质可得出,,,证明是等腰直角三角形,可求出,则根据三角形面积求出的值,即可得解.【解答】解:延长,交于点,,平分,,,,,,,,,,,由折叠的性质可知,,,是等腰直角三角形,,在中,,,,,..故答案为:.【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质,折叠的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,三角形的面积等知识,正确作出辅助线是解题的关键.三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)17.(6分)(1)解不等式:;(2)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.【分析】(1)按照去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可.(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集,再表示在数轴上即可.【解答】解:(1)去括号得:,移项、合并同类项得:,系数化1得:.(2),解不等式①得:,解不等式②得:,不等式组的解集为.解集在数轴上表示如图所示.【点评】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集,正确求出每一个不等式的解集是解答此题的关键.18.(6分)如图,在的方格纸中,已知格点,请按要求画格点三角形(顶点均在小方格的顶点上).(1)在图1中画一个,使点在上,点在上;(2)在图2中画一个等腰三角形,使点在上,点在上.【分析】(1)根据直角三角形的定义画出图形;(2)根据等腰三角形的定义画出图形.【解答】解:(1)如图1中,即为所求;(2)如图2中,即为所求(答案不唯一).【点评】本题考查作图0应用与设计作图,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.19.(6分)如图,在中,是边上的高.(1)若是边上的中线,,,求的长;(2)若是的平分线,,,求的大小.【分析】(1)三角形的面积知道了,高知道了,根据三角形的面积公式,求出底边长,再根据中线性质求出的长度.(2)根据三角形内角和定理求出,再由角平分线性质求出的度数,三角形外角与内角的关系可求出的度数,在直角三角形中进而求出的大小.【解答】解:(1),,,是边上的中线,;(2),,,是的平分线,,是的一个外角,,在直角三角形中.【点评】本题考查了三角形面积、三角形内角和、外角和内角的关系,三角形中线、三角形角平分线、高,关键要掌握这些要素之间的关系进行相关的计算.20.(8分)如图,是等边三角形,点是边上一点,以为边向上作等边,连结.(1)求证:.(2)若,,求的长.【分析】(1)由和都是等边三角形,得,,,则,即可根据全等三角形的判定定理“”证明;(2)由,得,则.【解答】(1)证明:和都是等边三角形,,,,,在和中,,.(2)解:,,,,,的长是2.【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键.22.(10分)某学校为改善办学条件,计划采购、两种型号的空调,已知采购3台型空调和2台型空调,共需费用21000元;4台型空调比5台型空调的费用多5000元.(1)求型空调和型空调每台各需多少元;(2)若学校计划采购、两种型号空调共30台,且型空调的台数不少于型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过115000元,该校共有哪几种采购方案?(3)在(2)的条件下,直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?【分析】(1)根据“采购3台型空调和2台型空调,共需费用21000元;4台型空调比5台型空调的费用多5000元”可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;(3)根据题意和(2)中的结果,可以解答本题.【解答】解:(1)设型空调每台需元,型空调每台需元.由题意可列:,解得.答:型空调每台需5000元,型空调每台需3000元.(2)设采购型空调台,则采购型空调.由题意可列:,解得:.为正整数,,11,12.有三种采购方案:方案一:采购10台型空调,20台型空调;方案二:采购11台型空调,19台型空调;方案三:采购12台型空调,18台型空调;(3)设总费用为元,,当时,,当时,,当时,,费用最低的方案是采购10台型空调,20台型空调;最低费用是110000元.【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和不等式的思想解答.23.(10分)如图,已知在△中,,,,若动点从点开始,按的路径运动,且速度为每秒2个单位长度,设出发的时间为秒.(1)出发2秒后,求的长.(2)出发几秒钟后,恰好平分△的周长.(
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