高考数学（理）一轮讲义第49讲　直线与圆圆与圆的位置关系

第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2016·全国卷Ⅱ，42016·全国卷Ⅲ，162015·重庆卷，82015·江苏卷，10圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题．但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程，数形结合及转化与化归思想的应用.分值：5分1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：__相交__、__相切__、__相离__．(2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离__d>r1＋r2____无解__外切__d＝r1＋r2____一组实数解__相交|r1－r2|<d<r1＋r2__两组不同的实数解__内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)__一组实数解__内含__0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)____无解__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程．(×)(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)解析(1)正确．直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交．(2)错误．因为除外切外，还可能内切．(3)错误．因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含．(4)错误．只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程．(5)正确．由已知可得O，P，A，B四点共圆，其方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)))2，即x2＋y2－x0x－y0y＝0，①又圆O方程为x2＋y2＝r2，②②－①得x0x＋y0y＝r2，而两圆相交于A，B两点，故直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(B)A．相切 B．相交但直线不过圆心C．相交且直线过圆心 D．相离解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\f(|2×1－2－5|,\r(22＋1))＝eq\r(5)<eq\r(6)，且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．3．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(B)A．相离 B．相交C．外切 D．内切解析圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝eq\r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为(D)A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－eq\r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq\r(3)＝0，∴eq\f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(\r(3),3).∴切线方程为y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.5．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(3).解析如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OC⊥AB，|OA|＝2eq\r(2)，|OC|＝eq\f(|0－2×0＋5|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)，∴|AC|＝eq\r(8－5)＝eq\r(3)，∴|AB|＝2|AC|＝2eq\r(3).一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式．【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A)A．相交 B．相切C．相离 D．不确定(2)若直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)恰有一个公共点，则b的取值范围是(D)A．b∈(－1,1] B．b＝－eq\r(2)C．b＝±eq\r(2) D．b∈(－1,1]或b＝－eq\r(2)解析(1)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直线l与圆相交．(2)由x＝eq\r(1－y2)知，曲线表示半圆(如图所示)，当－1<b≤1时，直线y＝x＋b与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时eq\f(|b|,\r(2))＝1(b<－1)，解得b＝－eq\r(2).二弦长问题求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑弦心距、垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．【例2】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)).解析(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由题设得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.三圆的切线问题求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．【例3】已知点P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解析由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.四圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．【例4】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1.(1)若圆C1与圆C2外切，求ab的最大值；(2)若圆C1与圆C2内切，求ab的最大值；(3)若圆C1与圆C2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆C1与圆C2有四条公切线，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．解析(1)由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为eq\f(9,4).(2)由C1与C2内切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1，即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b时等号成立，可知ab的最大值为eq\f(1,4).(3)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程(4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离，故eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3.∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．1．(2018·广东揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k>0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，则k的取值范围是(B)A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，2eq\r(2))C．[eq\r(2)，＋∞) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析由已知得圆心到直线的距离小于半径，即eq\f(|k|,\r(2))，又k>0，故0<k<2eq\r(2).①如图，取AB的中点为M，则由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|得2|Oeq\o(M,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|2Meq\o(B,\s\up6(→))|，即|eq\o(OM,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(BM,\s\up6(→))|，即∠MBO≥eq\f(π,6)，因为|OB|＝2，eq\f(|OM|,|OB|)＝sin∠MBO≥sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，所以|OM|≥1，即eq\f(|k|,\r(2))≥1，所以k≥eq\r(2).②综合①②得，eq\r(2)≤k<2eq\r(2)，故选B．2．若直线x－y＝2被圆(x－1)2＋(y＋a)2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为(D)A．－2或6 B．0或4C．－1或eq\r(3) D．－1或3解析圆心坐标为(1，－a)，弦长为2eq\r(2)，∴圆心到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，即eq\r(2)＝eq\f(|1＋a－2|,\r(2))，∴|a－1|＝2，∴a＝－1或3，故选D．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝__1__.解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y＝eq\f(1,a).又a>0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.4．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值为3eq\r(5)－3－eq\r(6).解析圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝6.|PQ|min＝两圆圆心距－R－r(R，r分别为两圆半径)，圆心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5)，∴|PQ|min＝3eq\r(5)－3－eq\r(6).易错点缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解．【例1】在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为________．解析因为与点A(2,2)的距离为1的直线都是以点A(2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点B(m,0)的距离为3的直线都是以点B(m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆A与B有两条公切线，也即两圆相交，所以2＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＜4，解得2－2eq\r(3)＜m＜2或2＜m＜2＋2eq\r(3).答案(2－2eq\r(3)，2)∪(2,2＋2eq\r(3))【跟踪训练1】在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2解析由mx－y－2m－1＝0可得m(x－2)＝y＋1，易知该直线过定点(2，－1)，当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.课时达标第49讲[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现．一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(A)A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2解析由圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B)A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r(17)，则R－r<eq\r(17)<R＋r，所以两圆相交，故选B．3．过点P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为(A)A．±eq\f(\r(2),4) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\f(\r(3),3)解析由题意，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.由点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2k－3－2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(3,\r(k2＋1)).由圆的性质可得d2＋12＝r2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(k2＋1))))2＋12＝9，解得k2＝eq\f(1,8)，即k＝±eq\f(\r(2),4).4．已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得AM⊥MB，则实数t的取值范围为(C)A．[－2.6] B．[－3,5]C．[2,6] D．[3,5]解析过M作⊙C的切线，两切点为E，F，当且仅当∠EMF≥90°时，圆C上才存在使MA⊥MB的两点A，B，若∠EMF＝90°，则四边形CEMF是正方形，|MC|＝2eq\r(5)，即(5－1)2＋(t－4)2＝20，解得t＝2或t＝6，故2≤t≤6.5．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0解析依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.易知定点P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.6．圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(A)A．5eq\r(2)－4 B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．eq\r(17)解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝eq\r(2－32＋－3－42)＝5eq\r(2).而|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.二、填空题7．若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则k的值是__±eq\f(\r(3),3)___.解析因为直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，所以圆心(2,0)到直线的距离d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝r＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3).8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P作圆C的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是__[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]__.解析圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离不大于2eq\r(2)”，故eq\f(|3k|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2)，解得－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2).9．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CD))＝__4__.解析圆心(0,0)到直线x－eq\r(3)y＋6＝0的距离d＝eq\f(6,\r(1＋3))＝3，|AB|＝2eq\r(12－32)＝2eq\r(3)，过C作CE⊥BD于E，因为直线l的倾斜角为30°，所以|CD|＝eq\f(|CE|,cos30°)＝eq\f(|AB|,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.三、解答题10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．解析(1)由圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，知圆C的圆心为(0,4)，半径为2.若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.11．已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为2eq\r(2)，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．解析设圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，∵圆心(2，－1)到直线x－y－1＝0的距离d＝eq\r(2)，∴r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))2＝4，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,x－22＋