寒假作业03全等三角形的性质与判定-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业03全等三角形的性质与判定1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等.3.全等三角形的判定（1）全等三角形的判定1：边边边（SSS）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.（2）全等三角形的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.（3）全等三角形的判定3：角边角（ASA）文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.（4）全等三角形的判定4：角角边（AAS）文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.（5）直角三角形全等的判定：HL（6）文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）.1．如图的正方形网格中，点均为格点，，点在同一直线上，则下列结论不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，，，故A不符合题意，D符合题意；∵，∴，∴，，故B不符合题意；∴，∴，故C不符合题意.故选D.2．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，在和中，，∴，故选D．3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】B【解析】A、，不能构成三角形，该选项错误．B、已知两角夹边，即，三角形就确定了，该选项正确．C、边边角不能确定三角形，该选项错误．D、一角一边不能确定三角形，该选项错误．故选B．4．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】A【解析】由，可知带①去可以配一块完全一样的玻璃，故选A．5．如图，，要使，还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）【答案】（答案不唯一）【解析】添加的条件是，理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴.6．在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则．【答案】【解析】如图所示，由网格的特点可得，∴，∴，∵，∴，故答案为：．7．如图所示，已知于点D，．(1)若，，求的长；(2)求证：．【解析】（1）∵，∴，，∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．8．如图，在中，都是上的点，且．(1)求证：；(2)若，求的大小．【解析】（1），，在和中，，，．（2），，，，．9．如图，在四边形中，为上一点，，连接，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【解析】（1），，在和中，，．（2），．，．10．在中，，，直线经过点，且于点，于点．(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，若，，求的长．

图1

图2【解析】（1），，，，，．在和中，，，，，．（2），．，，，．在和中，，，，，．又，，．11．如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④【解析】，，即，在和中，，∴，，①正确；∴，由三角形的外角性质得：，，②正确；作于，于，如图所示，则，在和中，，，，∴平分，④正确；∵，∴当时，才平分，假设，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，与矛盾，∴③错误；正确的是①②④.故答案为：①②④．12．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题：（1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：已知，，P为的中点．（2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积；（3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：；（4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示）【解析】（1）延长到点E，使，连接．∵是边的中线，∴，∵，∴，∴，，∴，即，∴，故答案为：．（2）如图1，延长交延长线于点，图1图2∵，（同旁内角互补，两直线平行），，，为的中点，，，，，，∵，，∵，，∴，，，则，．（3）如图2，延长至点，使得，连接、、，∵，∴，，，，且，∴，，∵，，，，∵，，，同理可得，，，．（4）过点C作交于点M，如图3，由（3）可知，图3，，和互余，，，∴∴，又∵，∴，故答案为：．13．（1）问题背景：如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______；（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，请直接写出此时两舰艇之间的距离．【解析】（1）结论：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：.（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接．

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴.（3）如图3，连接，延长相交于点C．由题意可知，①，∵，∴②，又∵③，∴由①②③可知，符合（2）中的条件，∴结论成立，∴（海里）．答：此时两舰艇之间的距离为232海里．14．已知是经过顶点C的一条直线，．E，F分别是直线上的两点，且．(1)若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若，，则_______；_______（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段，，的数量关系的合理猜想_______（不要求证明）．(3)拓展应用：如图4，在中，，．点D在边上，，点E，F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是_______．【解析】（1）①∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案为：=，=；②添加一个关于与关系的条件：，理由如下：在中，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案为：；（2）三条线段，，的数量关系的合理猜想为：，理由如下：∵，，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案为：；（3）∵的面积为，，∴，∵，，，，∴，，在和中，，∴，即，∴，故答案为：6．15．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．求灯泡到地面的高度．【解析】根据题意得：法线垂直于平面镜，且，∴，在和中，，∴，∴.16．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，回答下列问题：(1)和__________（“是”或“不是”）兄弟三角形．(2)“取的中点P，连接，试说明．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造，并证明；②求证：．【解析】（1）∵，∴，又∵，，∴和是兄弟三角形．故答案为：是.（2）①延长至E，使，连接，如图，∵P为的中点，∴．又∵，∴，∴；②∵，∴，∴，∴．又∵，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．17．我们规定：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形四边形，如图1，四边形中，若，，则称四边形是筝形四边形．(1)如图2，筝形四边形中，，，对角线，相交于点．①求证：垂直平分；②若，求证：；(2)如图3，筝形四边形中，，，对角线，相交于点，若，求证：，互相垂直平分．【解析】（1）①，，，，，，，，，，，，故垂直平分；②由（1）得，，，，，，又，，；（2）由（1）得，，，，，，由（1）得，，，互相垂直平分．18．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E、点F在上，，，添加一个条件，不能证明的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，即，∵，∴当时，利用可得，故A不符合题意；当时，利用ASA可得，故B不符合题意；当时，利用SAS可得，故C不符合题意；当时，无法证明，故D符合题意.故选D．19．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（

）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【答案】A【解析】O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选A．20．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题中所给的作图步骤可知，是的角平分线，即．当时，又，且，所以，所以，故A选项不符合题意．当时，，又，且，所以，所以，故B选项不符合题意．当时，因为，，，所以，所以，又，所以，即．又，所以，则可证得，故C选项不符合题意．故选D．21．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；(2)在（1）的条件下，求证：．【解析】（1）根据题意，可以选择的条件