2025届河南省五育联盟-巅峰计划高三上学期第一次综合检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省五育联盟——巅峰计划2025届高三上学期第一次综合检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，且在复平面内对应的点关于原点的对称点位于第二象限，则的可能取值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，即.在复平面内对应的点关于原点的对称点为，所以，即.由选项可知，B正确，ACD错误；故选：B.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若直线与直线垂直，则，即，解得或，因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.3.已知向量，则的最大值为（）A.6 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，由，得，因为，所以当时，取得最大值，且最大值为.故选：C.4.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，所以，则，当且仅当时，即等号成立，故当时，取到最小值.故的最小值为.故选：C.5.过原点的直线与曲线都相切，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，由得，设过原点的直线分别与曲线相切于点Ax1,则由导数几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，所以，所以，所以，即，代入得.故选：D.6.根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（）A.存在和，使得不变B.存在和，使得变为原来的2倍C.若，则最多可变为原来的2倍D.若，则最多可变为原来的2倍〖答案〗D〖解析〗因为，所以当不变，与均变为原来的2倍时，，对于A，若不变，则，所以，因为，所以上式无解，所以不存在和，使得不变，所以A错误，对于B，若变为原来的2倍，则，所以，当，时，，所以，所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误，对于C，若，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误，对于D，由，得，因为，当且仅当，即时取等号，所以，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确.故选：D.7.已知定义域为的函数满足：①对任意，有恒成立；②若，则．下列说法不正确的是（）A.在上是严格增函数 B.若，则C.函数经过原点 D.函数的图象与轴重合〖答案〗A〖解析〗对于A：不妨设，满足题设条件，但此时在上是严格减函数，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：令，，故C正确；对于D：，即，函数的图象与轴重合，故D正确；故选：A.8.已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设中斜边为，，则，则，，对折叠后的四面体，有，，，则，对折叠后的四面体，作于点，由为中点，则，则，故，，对折叠后的四面体，作于点，有，由，则，整理得，又，则，则有，，由，则，，故，，即.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A.定义域为B.C.与正切函数有相同的对称中心D.将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象〖答案〗BCD〖解析〗对于A：由正切函数的定义域可知，即，所以余切函数定义域为，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为的对称中心为，令，解得，由，可知，即的对称中心为，故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；的图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BCD.10.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由题设，不超过40的素数有共12个，从中任意取两个不同的素数、：有11个，有10个，有9个，有8个，有7个，有6个，有5个，有4个，有3个，有2个，有1个，所以共有个样本点；共5个样本点；共4个样本点；共11个样本点；所以，显然，.故选：ABC.11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（）A.曲线的图象关于原点对称B.曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，即方程成立，可得成立，即点关于原点的对称点也适合曲线方程，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；B项，方程可化为，令，则方程，由判别式，可得，若是整数，则.令，，解得或3或，有三个整点，，；令，，解得或5，此时无整点；所以曲线共经过3个整点，故B错误；C项，设曲线C上任一点，当为原点时，到原点的距离为，满足题意；当不为原点时，，则由可得，，所以点到原点的距离，且；综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确；D项，直线恒过原点，且曲线C经过，则直线与曲线至少一个公共点，又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.联立，消得，当时，方程仅一解，满足题意；当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；综上，，解得或，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有________种．〖答案〗〖解析〗5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种，共种；综上所述：共种.13.已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为______．〖答案〗〖解析〗由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上，设的中垂线，中点为，设直线与椭圆交点，联立消得，，由韦达定理得，，故，又点在直线上，则，解得，联立，解得，所以所求圆的圆心为.14.已知且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗，则，，令，则，由，，知，即恒成立，又由，即当且仅当时等号成立，由，故当时等号取到，所以，当，即时，取最小值，且最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包．方案一4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；方案二员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5，每个红包的金额均为a元．已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为元.（1）求的分布列；（2）若，求值．解：（1）甲通过方案一抽取红包，由题意得的所有可能取值为.所以，，，，，所以的分布列为：600800100012001400乙通过方案二抽取红包，由题意得的所有可能取值为，所以，，，，，所以的分布列为：0（2）由（1）分布列可得．乙通过方案二抽取红包，抽取次，记抽中元红包的次数为，则，由题意知，则，所以，又，所以，解得．16.如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．解：（1）由题意知；设点到平面的距离为，，解得：，即点到平面的距离为.（2）取的中点，连接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；三棱锥为直三棱柱，平面，又平面，；，平面，平面，平面，则，且.以为坐标原点，以正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知，点到平面的距离为，则，，，，，，，，，，，，，设平面的法向量m=x,y,z则，解得，令，得，；设平面的法向量n=a,b,c则，解得，令，得，；，设平面与平面夹角为，则则平面与平面夹角的正弦值为.17.已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求曲线M的方程；（2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（2）设，，显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为，联立，整理得，其中，由韦达定理得：，，所以的面积，当时，，所以的面积的最小值为.18.已知函数，圆．（1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；（2）若曲线与圆C恰有三条公切线．(i)求b的取值范围；(ii)证明：曲线上存在点，对任意，．解：（1）设f(x)的切线的切点为，∵，∴切线斜率为，∴切线方程为，即，当b＝1时，圆的圆心为，半径为，当f(x)的切线也是圆的切线时，，即，易知是该方程的一个根，此时切线方程为．（2）(i)设曲线与圆公切线的方程为(显然，l斜率存在)，∵与曲线相切，故，∴切点为，，即，即，∵与圆相切，∴，即，∴，令，则，设，则，易证明：lnx≤x-1①当时，∵在上单调递增，在上单调递减；∴，∵，，；∴存在，，使得．∴，，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；∵，且，又∵，且，∴存在，使得，∴当时，曲线与圆恰有三条公切线；②当时，∵；∴存在，使得，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；∴，且，∴不可能存在三个零点；③当时，；∴在上单调递减，最多一个零点；∴最多一个极值点，不可能有三个零点；综上，若曲线与圆恰有三条公切线，则的取值范围为．(ii)函数的零点，即方程的解，即曲线和曲线交点的横坐标，结合图象，显然存在，使得成立，∴对任意恒成立．19.约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数有个正约数，即为.（1）当时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；（2）当时，若构成等比数列，求正整数；（3）当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．解：（1）存在.若为质数，则正整数的所有正约数为，它们构成等比数列，满足题意.比如：为16的所有约数，它们构成等比数列；为27的所有约数，它们构成等比数列；为25的所有约数，它们构成等比数列.故为满足题意的正整数.（2）由题意，的所有正约数为，且，则有是的最小约数，本身是的最大约数，即，.，至少个约数，即除外，至少还有个约数，则可写成两个约数之积的形式，所以，由构成等比数列，可知，，化简可得，则，又是正整数，因此可知是完全平方数，且是正整数a的最小非1的正约数，设，其中，由是的正约数，则是的一个正约数，故，所以，故若构成等比数列，则该等比数列的首项为，公比为，且,则，因此.（3）当时，若是的所有正约数的一个排列，则，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.下面用反证法证明.证明：假设，，，⋯，是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．由是任意正整数的最小正约数，由，知，其中，由，则（），所以不是的正约数，所以b是奇数，且任意偶数都不是的正约数，所以为奇数，，故是偶数，又是的正约数，故是偶数，所以的所有正约数中最大的两个为，即，则有，可知的最大正约数为，由任意正整数的最大正约数是其本身，故，因为a有k（）个正约数，且，即至少有个正约数，则的次大正约数，且，则至少存在一个除本身外大于的正约数，而由是奇数，有除外的最小正约数，可得，则有，即奇数的所有正约数中，不存在除本身外大于的正约数，这与“至少存在一个除本身外大于的正约数”矛盾.因此假设不成立，即，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.河南省五育联盟——巅峰计划2025届高三上学期第一次综合检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，且在复平面内对应的点关于原点的对称点位于第二象限，则的可能取值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，即.在复平面内对应的点关于原点的对称点为，所以，即.由选项可知，B正确，ACD错误；故选：B.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若直线与直线垂直，则，即，解得或，因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.3.已知向量，则的最大值为（）A.6 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，由，得，因为，所以当时，取得最大值，且最大值为.故选：C.4.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，所以，则，当且仅当时，即等号成立，故当时，取到最小值.故的最小值为.故选：C.5.过原点的直线与曲线都相切，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，由得，设过原点的直线分别与曲线相切于点Ax1,则由导数几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，所以，所以，所以，即，代入得.故选：D.6.根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（）A.存在和，使得不变B.存在和，使得变为原来的2倍C.若，则最多可变为原来的2倍D.若，则最多可变为原来的2倍〖答案〗D〖解析〗因为，所以当不变，与均变为原来的2倍时，，对于A，若不变，则，所以，因为，所以上式无解，所以不存在和，使得不变，所以A错误，对于B，若变为原来的2倍，则，所以，当，时，，所以，所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误，对于C，若，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误，对于D，由，得，因为，当且仅当，即时取等号，所以，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确.故选：D.7.已知定义域为的函数满足：①对任意，有恒成立；②若，则．下列说法不正确的是（）A.在上是严格增函数 B.若，则C.函数经过原点 D.函数的图象与轴重合〖答案〗A〖解析〗对于A：不妨设，满足题设条件，但此时在上是严格减函数，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：令，，故C正确；对于D：，即，函数的图象与轴重合，故D正确；故选：A.8.已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设中斜边为，，则，则，，对折叠后的四面体，有，，，则，对折叠后的四面体，作于点，由为中点，则，则，故，，对折叠后的四面体，作于点，有，由，则，整理得，又，则，则有，，由，则，，故，，即.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A.定义域为B.C.与正切函数有相同的对称中心D.将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象〖答案〗BCD〖解析〗对于A：由正切函数的定义域可知，即，所以余切函数定义域为，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为的对称中心为，令，解得，由，可知，即的对称中心为，故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；的图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BCD.10.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由题设，不超过40的素数有共12个，从中任意取两个不同的素数、：有11个，有10个，有9个，有8个，有7个，有6个，有5个，有4个，有3个，有2个，有1个，所以共有个样本点；共5个样本点；共4个样本点；共11个样本点；所以，显然，.故选：ABC.11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（）A.曲线的图象关于原点对称B.曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，即方程成立，可得成立，即点关于原点的对称点也适合曲线方程，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；B项，方程可化为，令，则方程，由判别式，可得，若是整数，则.令，，解得或3或，有三个整点，，；令，，解得或5，此时无整点；所以曲线共经过3个整点，故B错误；C项，设曲线C上任一点，当为原点时，到原点的距离为，满足题意；当不为原点时，，则由可得，，所以点到原点的距离，且；综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确；D项，直线恒过原点，且曲线C经过，则直线与曲线至少一个公共点，又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.联立，消得，当时，方程仅一解，满足题意；当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；综上，，解得或，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有________种．〖答案〗〖解析〗5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种，共种；综上所述：共种.13.已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为______．〖答案〗〖解析〗由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上，设的中垂线，中点为，设直线与椭圆交点，联立消得，，由韦达定理得，，故，又点在直线上，则，解得，联立，解得，所以所求圆的圆心为.14.已知且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗，则，，令，则，由，，知，即恒成立，又由，即当且仅当时等号成立，由，故当时等号取到，所以，当，即时，取最小值，且最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包．方案一4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；方案二员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5，每个红包的金额均为a元．已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为元.（1）求的分布列；（2）若，求值．解：（1）甲通过方案一抽取红包，由题意得的所有可能取值为.所以，，，，，所以的分布列为：600800100012001400乙通过方案二抽取红包，由题意得的所有可能取值为，所以，，，，，所以的分布列为：0（2）由（1）分布列可得．乙通过方案二抽取红包，抽取次，记抽中元红包的次数为，则，由题意知，则，所以，又，所以，解得．16.如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．解：（1）由题意知；设点到平面的距离为，，解得：，即点到平面的距离为.（2）取的中点，连接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；三棱锥为直三棱柱，平面，又平面，；，平面，平面，平面，则，且.以为坐标原点，以正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知，点到平面的距离为，则，，，，，，，，，，，，，设平面的法向量m=x,y,z则，解得，令，得，；设平面的法向量n=a,b,c则，解得，令，得，；，设平面与平面夹角为，则则平面与平面夹角的正弦值为.17.已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求曲线M的方程；（2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（2）设，，显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为，联立，整理得，其中，由韦达定理得：，，所以的面积，当时，，所以的面积的最小值为.18.已知函数，圆．（1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；（2）若曲线与圆C恰有三条公切线．(i)求b的取值范围；(ii)证明：曲线上存在点，对任意，．解：（1）设f(x)的切线的切点为，∵，∴切线斜率为，∴切线方程为，即，当b＝1时，圆的圆心为，半径为，当f(x)的切线也是圆的切线时，，即，易知是该方程的一个根，此时切线方程为．（2）(i)设曲线与圆公切线的方程为(显然，l斜率存在)，∵与曲线相切，故，∴切点为，，即，即，∵与圆相切，∴，即，∴，令，则，设，则，易证明：lnx≤x-1①当时