2023-2024学年福建省三明市四地四校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市四地四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列元素与集合的关系中，正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示全体实数组成的集合，则，故A错误；表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C.2.幂函数的图象过点,则该幂函数的〖解析〗式为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设幂函数为.故选：B.3.命题“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.命题的否定为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由命题“”是存在量词命题，则它的否定是全称量词命题：.故选：A.5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）.A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗对于A选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项A错误；对于B选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项B错误；对于C选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项C错误；对于D选项：因为的定义域为，值域为，而的定义域为，值域为，与表示的是同一个函数，故选项D正确.故选：D.6.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；对于选项D：当时，，故选项D错误.故选：B.7.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的〖解析〗式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于，当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB；当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D；而C选项满足上述条件.故选：C.8.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗根据题意知、2为方程的解且，所以，代入不等式得，又，所以，解得或.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，若，则实数a的值为（）A. B. C. D.0〖答案〗ABD〖解析〗因，且，当时，，符合题意；当时，，又，所以或，解得或，综上，或或.故选：ABD.10.下列函数中最小值为2的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，当时，，故A不符题意；对于B，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为2，故B符合题意；对于C，，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，故C不符题意；对于D，，当时，函数取得最小值2，故D符合题意.故选：BD.11.函数的图象如图，则（）A.B.函数的定义域为C.函数的值域为D.对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应〖答案〗ACD〖解析〗由图像可知，当时，，所以，A对；由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对；当时，只有时才有对应的与之对应，D对.故选：ACD.12.已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）A.增区间为和 B.有3个根C.的解集为 D.时，〖答案〗ABC〖解析〗由是定义在的奇函数知，当时，，所以，D错误；由上可知，由可得或或，故B正确；由，时，对称轴为，时，的对称轴为，结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确；由，可得或，解得或，故C正确．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为_____________.〖答案〗〖解析〗由题要使得有意义，则，故且，从而的定义域为.故〖答案〗为：.14.计算：______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗为：.15.若函数为奇函数，则实数a值为___________．〖答案〗5〖解析〗由题意，即，所以恒成立，所以，即．故〖答案〗为：5.16.用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为___________．〖答案〗〖解析〗设窗户的长为米，则宽为米，面积为.则，当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时宽为，所以窗户的长与宽之比为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）因为，所以.（2）因为，所以当时，有，则，所以.18.已知函数．（1）当时，解不等式;（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解：（1）当时，即，解方程，即，得，∴不等式的解集为或.（2）若不等式的解集是R，则，解得，故实数a的取值范围是．19.已知函数．（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．解：（1）图象如图所示.（2）由的〖解析〗式可知，定义域为R，由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．20.（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值.解：（1）因为，所以，由基本不等式可得：，当且仅当即时取到最小值8.（2）因为，所以，当且仅当时，即时，取到最小值9.21.某公司生产某种产品每年需要固定投资40万元，此外每生产1件该产品还需要额外增加投资1万元，已知年销售总收入R（单位：万元）关于年产量（单位：件）满足函数：，记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润=年销售总收入-年总投资）．（1）求y（万元）关于x（件）的函数关系式；（2）该公司的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值．解：（1）当时，，当时，，故.（2）当时，，当时，，又时，，所以，当时，，又，所以，年产量为12件时，取得最大年利润104万元.22.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）证明：函数在上是减函数；（3）解关于x不等式．解：（1）因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数.（2）设，且则，因为，且，所以，，又，，所以，即，所以，在上是减函数．（3）由，得，又因为是偶函数，所以，得到又因，且在上为减函数，所以，即，即，解得，或，所以，不等式的解集是或.福建省三明市四地四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列元素与集合的关系中，正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示全体实数组成的集合，则，故A错误；表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C.2.幂函数的图象过点,则该幂函数的〖解析〗式为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设幂函数为.故选：B.3.命题“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.命题的否定为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由命题“”是存在量词命题，则它的否定是全称量词命题：.故选：A.5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）.A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗对于A选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项A错误；对于B选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项B错误；对于C选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项C错误；对于D选项：因为的定义域为，值域为，而的定义域为，值域为，与表示的是同一个函数，故选项D正确.故选：D.6.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；对于选项D：当时，，故选项D错误.故选：B.7.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的〖解析〗式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于，当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB；当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D；而C选项满足上述条件.故选：C.8.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗根据题意知、2为方程的解且，所以，代入不等式得，又，所以，解得或.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，若，则实数a的值为（）A. B. C. D.0〖答案〗ABD〖解析〗因，且，当时，，符合题意；当时，，又，所以或，解得或，综上，或或.故选：ABD.10.下列函数中最小值为2的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，当时，，故A不符题意；对于B，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为2，故B符合题意；对于C，，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，故C不符题意；对于D，，当时，函数取得最小值2，故D符合题意.故选：BD.11.函数的图象如图，则（）A.B.函数的定义域为C.函数的值域为D.对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应〖答案〗ACD〖解析〗由图像可知，当时，，所以，A对；由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对；当时，只有时才有对应的与之对应，D对.故选：ACD.12.已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）A.增区间为和 B.有3个根C.的解集为 D.时，〖答案〗ABC〖解析〗由是定义在的奇函数知，当时，，所以，D错误；由上可知，由可得或或，故B正确；由，时，对称轴为，时，的对称轴为，结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确；由，可得或，解得或，故C正确．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为_____________.〖答案〗〖解析〗由题要使得有意义，则，故且，从而的定义域为.故〖答案〗为：.14.计算：______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗为：.15.若函数为奇函数，则实数a值为___________．〖答案〗5〖解析〗由题意，即，所以恒成立，所以，即．故〖答案〗为：5.16.用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为___________．〖答案〗〖解析〗设窗户的长为米，则宽为米，面积为.则，当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时宽为，所以窗户的长与宽之比为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）因为，所以.（2）因为，所以当时，有，则，所以.18.已知函数．（1）当时，解不等式;（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解：（1）当时，即，解方程，即，得，∴不等式的解集为或.（2）若不等式的解集是R，则，解得，故实数a的取值范围是．19.已知函数．（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．解：（1）图象如图所示.（2）由的〖解析〗式可知，定义域为R，由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．20.（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值.解：（1）因为，所以，由基本不等式可得：，当且仅当即时取到最小值8.（2）因为，所以，当且仅当时，即时，取到最小值9.21.某公司生产某种产品每年需要固定投资40万元，此外每生产1件该产品还需要额外增加投资1万元，已知年销售总收入R（单位：万元）关于年产量（单位：件）满足函数：，记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润=年销售总收