2025届河北省邯郸市魏县高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市魏县2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由解得，因为，，所以.故选：B.2.已知复数，复数满足，则（）A.B.复数在复平面内所对应的点的坐标是C.D.复数在复平面内所对应的点为，则〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，又，A错误；对应的点的坐标为，B错误；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，又，因此，C正确；对应的点的坐标为，因此，D错误，故选：C．3.已知向量满足，则（）A.5 B. C. D.20〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以.故选：C.4.若，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨设，则，当且仅当，即时取等号.故选：D.5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，高为，所以两个圆锥体积的最大值为．方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，因此一个圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以两个圆锥体积的最大值为．，故选：A．6.若，则的大小关系为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，且，所以，所以，因为，，所以，所以，故选：D．7.已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为角终边上一点，所以而，且当时，，所以，故选:D．8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④〖答案〗A〖解析〗由题意可知，则，，则①正确；显然，故②正确；因为，经过数字5的路线共有条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条.则，故③正确；同理可得即有，故④错误.故选:A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若一组数据的方差为0.2，则的方差为1B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关D.若变量，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，的方差为，故A错误；对于B，这组数据从小到大排列：46，60，62，68，70，73，74，78，82，84，又，第8位数字是78，第9位数字是82，故这组数据的第80百分位数是，故B正确；对于C，样本相关系数的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确，故选:BCD．10.已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（）A.B.在区间上的最大值和最小值之和为C.为的极小值点D.方程有两个不同的根（e为自然对数的底）〖答案〗BC〖解析〗对于选项A：由题意可知：函数的定义域为0,+∞，且，则，解得，所以，故A错误；对于选项C：因为，，令f'x<0，解得；令f'可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，则为的极小值点，故C正确；对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确；对于选项D：令，整理可得，令，因为函数与在区间0,+∞内单调递增，则在区间0,+∞内单调递增，且，所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误.故选：BC．11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（）A. B.C.的最大值为 D.当时，与曲线只有一个交点〖答案〗ACD〖解析〗根据双纽线的定义可得，，则，将点代入方程可得，因此A正确；根据三角形的等面积法可知，，即，即，因此B错误；因为，所以，由余弦定理可得，，则，所以的最大值为，因此C正确；由化简可得与曲线一定有公共点，则，当实数时，，该方程无解，则与曲线只有一个公共点，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，，由题得，∴，整理得，即，∴，，即．13.已知，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗，当且仅当，即，即当时等号成立.14.若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．〖答案〗或〖解析〗设直线与曲线相切于，当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为，即，该方程即为直线的方程，因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，当时，，同理可求得直线的方程为，故直线的方程为或．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．解：（1）由，及正弦定理得，因，代入可得，，因为，所以，又，所以．（2）由（1）得，因为，所以．由，可得．又，可得，即．由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，由，可得，所以，所以的面积的最小值为．16.已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．解：（1）的圆心，半径，如图，由中垂线的性质得，所以，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为，则，所以，所以点的轨迹方程为．（2）设直线的方程为，联立得①，如图，设，显然，所以，且．因为，所以直线的方程为，令，得②，将代入②，得，故直线过定点，即定点．17.如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．（1）当时，试确定点的位置并证明；（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）在中，，由余弦定理得，则，有，又平面平面，平面平面，平面，则平面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，由，得，解得，即，所以当时，点为线段的中点．（2）由（1）可得，设平面的法向量为，则，取，得，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知函数.（1）若，求的值；（2）证明：当时，成立.（1）解：解法一：由，得，又，所以是的极小值点，故，而，故，若，则，当；当，所以在单调递减，在单调递增，故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，解法二：由，得，又，当时，有恒成立，所以在上单调递减，又，则不成立，当时，令，得，则时，有时，有，即在单调递减，在单调递增，所以最小值为，，函数在单调递减，单调递增，，当且仅当取等号，故；（2）证明：当时，，设，当时，，又由（1）知，故，当时，，设，则，则在单调递增，，所以，则在单调递增，，综上，，即当时，.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点处，且．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率；（ⅲ）已知，若，求；（2）已知是关于的连续函数．（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求关于的表达式．解：（1）（ⅰ）设事件：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件：“这个人在第5步掉入陷阱”，则他在5步内掉入陷阱的概率．（ⅱ）他从1,0开始，最终掉入陷阱的概率为，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由2,0先到达1,0处，而这个概率和他从1,0开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以，由此可得（舍去）或．（ⅲ）由（ⅱ）可知，，方法一：由，得，所以是以为首项，为公比的等比数列，则．则累加得，所以．方法二：由，得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．（２）（ⅰ）由题意得，当时，；当时，．（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由2,0先到达1,0处，而这个概率和他从1,0开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以，即，得或．因为是关于的连续函数，所以当时，，当时，．所以河北省邯郸市魏县2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由解得，因为，，所以.故选：B.2.已知复数，复数满足，则（）A.B.复数在复平面内所对应的点的坐标是C.D.复数在复平面内所对应的点为，则〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，又，A错误；对应的点的坐标为，B错误；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，又，因此，C正确；对应的点的坐标为，因此，D错误，故选：C．3.已知向量满足，则（）A.5 B. C. D.20〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以.故选：C.4.若，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨设，则，当且仅当，即时取等号.故选：D.5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，高为，所以两个圆锥体积的最大值为．方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，因此一个圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以两个圆锥体积的最大值为．，故选：A．6.若，则的大小关系为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，且，所以，所以，因为，，所以，所以，故选：D．7.已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为角终边上一点，所以而，且当时，，所以，故选:D．8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④〖答案〗A〖解析〗由题意可知，则，，则①正确；显然，故②正确；因为，经过数字5的路线共有条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条.则，故③正确；同理可得即有，故④错误.故选:A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若一组数据的方差为0.2，则的方差为1B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关D.若变量，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，的方差为，故A错误；对于B，这组数据从小到大排列：46，60，62，68，70，73，74，78，82，84，又，第8位数字是78，第9位数字是82，故这组数据的第80百分位数是，故B正确；对于C，样本相关系数的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确，故选:BCD．10.已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（）A.B.在区间上的最大值和最小值之和为C.为的极小值点D.方程有两个不同的根（e为自然对数的底）〖答案〗BC〖解析〗对于选项A：由题意可知：函数的定义域为0,+∞，且，则，解得，所以，故A错误；对于选项C：因为，，令f'x<0，解得；令f'可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，则为的极小值点，故C正确；对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确；对于选项D：令，整理可得，令，因为函数与在区间0,+∞内单调递增，则在区间0,+∞内单调递增，且，所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误.故选：BC．11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（）A. B.C.的最大值为 D.当时，与曲线只有一个交点〖答案〗ACD〖解析〗根据双纽线的定义可得，，则，将点代入方程可得，因此A正确；根据三角形的等面积法可知，，即，即，因此B错误；因为，所以，由余弦定理可得，，则，所以的最大值为，因此C正确；由化简可得与曲线一定有公共点，则，当实数时，，该方程无解，则与曲线只有一个公共点，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，，由题得，∴，整理得，即，∴，，即．13.已知，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗，当且仅当，即，即当时等号成立.14.若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．〖答案〗或〖解析〗设直线与曲线相切于，当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为，即，该方程即为直线的方程，因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，当时，，同理可求得直线的方程为，故直线的方程为或．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．解：（1）由，及正弦定理得，因，代入可得，，因为，所以，又，所以．（2）由（1）得，因为，所以．由，可得．又，可得，即．由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，由，可得，所以，所以的面积的最小值为．16.已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．解：（1）的圆心，半径，如图，由中垂线的性质得，所以，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为，则，所以，所以点的轨迹方程为．（2）设直线的方程为，联立得①，如图，设，显然，所以，且．因为，所以直线的方程为，令，得②，将代入②，得，故直线过定点，即定点．17.如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．（1）当时，试确定点的位置并证明；（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）在中，，由余弦定理得，则，有，又平面平面，平面平面，平面，则平面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，由，得，解得，即，所以当时，点为线段的中点．（2）由（1）可得，设平面的法向量为，则，取，得，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知函数.（1）若，求的值；（2）证明：当时，成立.（1）解：解法一：由，得，又，所以是的极小值点，故，而，故，若，则，当；当，所以在单调递减，在单调递增，故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，解法二：由，得，又，当时，有恒成立，所以在上单调递减，又，则不成立，当时，令，得，则时，有时，有，即在单调递减，在单调递增，所以最小值为，，函数在单调递减，单调递增，，当且仅当取等号，故；（2）证明：当时，，设，当时，，又由（1）知，故，当时，，设，则，则在单调递增，，所以，则在单调递增，，综上，，即当时，.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡