2025届广西钦州市示范性高中高三开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西钦州市示范性高中2025届高三开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故选：C.2.下列四个命题中，是真命题的为（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使〖答案〗C〖解析〗由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．由于，当x=0时，不成立，故B为假命题．由于，当x=-1时，，故C为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．故选：C.3.若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，即，化简得，所以．所以．因为，所以．故选：D．4.下列命题中正确的是()A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B.对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变C.有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.若随机变量X服从正态分布，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是，众数等于中位数，故A错误；对于B，数据，如果将它们变为，其中，则平均数增加C，标准差不变，故B错误；对于C，有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故C错误；对于D，若随机变量X服从正态分布，，则，故D正确．故选：D．5.已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗A〖解析〗∵点，，∴，又∵动点满足，∴点的轨迹方程是射线：（），故选A.6.函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，函数的定义域为R，，即函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，C不满足；当时，，即有，选项D不满足，B符合题意.故选：B.7.2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，与平面平行．与平面的距离为1丈，则它的体积是（）A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如图，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，过作，交于，交于，过作，交于，交于，所以，，且四边形与四边形都是矩形；所以它的体积（立方丈），故选：B.8.若，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：由，，消去得到，令，，则，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．当时，，不成立，当时，，故的最大值为.综上所述：的最大值为．方法二：由，，可消去得到，则，令，，当时，，故的最大值为．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数则（）A.的最小正周期为10 B.的图象关于点对称C.在上有最小值 D.的图象关于直线对称〖答案〗AD〖解析〗，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，由的图象可知，在上有最大值，没有最小值，C错误.故选：AD.10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.当时，C.以线段为直径的圆与直线相切D.当最小时，切线与准线的交点坐标为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，联立，消整理得，则，代入得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B，结合A可得，，由，得，解得，，故B错误；对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，设，，在准线上的射影为，，，则，，，所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程为，联立，消整理得，则，解得，所以切线的方程为，联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．故选：ACD．11.已知函数部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数奇函数 D.函数在区间上单调递增〖答案〗AD〖解析〗根据函数的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2，对于A选项，结合五点法作图，可得，故A正确，，将函数的图象平移后得到函数的图象，则，对于B选项，由，得到的对称轴为，显然不是其对称轴，故，故B错误，对于C选项，函数显然不是奇函数，故C错误，对于D选项，，的递增区间即的递减区间，令，解得，故的递增区间是，当时，的递增区间是，故D正确，故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前n项和为，若，，则______．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，则有,解得：，所以.13.已知角的终边过点P（1，2），则___________.〖答案〗〖解析〗因为角的终边过点P（1，2），所以，所以.14.某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高一获胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位，则第一局比赛中，共有，共9个基本事件，其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共3个，所以第一局比赛高一获胜的概率为，在一场三局比赛中，共有不同种安排方法，其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）D是线段上的点，且，，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得.因为，所以，所以，即.因为，所以，即.（2）设，因为，所以.因为，所以，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，,所以.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，由，得，由，得，则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；②若，即，由，得或，由，得，则函数上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；③若，即，由在上恒成立，得在上递增，函数无极值，不合题意，所以的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，点E是的中点，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如图，因两两垂直，故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，P0,0,1，，D∴，．由（1）可知，可看成平面的一个法向量，可看成平面的一个法向量．设平面与平面的所成角为，∴，∴，∴平面与平面所成角的正弦值为．18.在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.解：（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，则的所有可能取值为2，3，4，连败两局：，可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；，；故的分布列如下：234故数学期望；（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，由，且所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；时，两种赛制甲夺冠的概率一样.19.牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是y=fx的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点x1,fx1作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列．（1）若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值；（2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．（ⅰ）设，求的〖解析〗式；（ⅱ）证明：（1）解：，所以当，所以当，所以的2次近似值为.（2）（ⅰ）解：因为二次函数有两个不等实根,所以不妨设，则，因为所以所以在横坐标为的点处的切线方程为令则即，所以.（ⅰⅰ）证明：由（ⅰ）知，所以.因为所以所以.令则，又所以，数列是公比为2的等比数列..令，则当时，，所以在单调递减，所以，即因为所以即..广西钦州市示范性高中2025届高三开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故选：C.2.下列四个命题中，是真命题的为（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使〖答案〗C〖解析〗由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．由于，当x=0时，不成立，故B为假命题．由于，当x=-1时，，故C为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．故选：C.3.若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，即，化简得，所以．所以．因为，所以．故选：D．4.下列命题中正确的是()A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B.对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变C.有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.若随机变量X服从正态分布，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是，众数等于中位数，故A错误；对于B，数据，如果将它们变为，其中，则平均数增加C，标准差不变，故B错误；对于C，有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故C错误；对于D，若随机变量X服从正态分布，，则，故D正确．故选：D．5.已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗A〖解析〗∵点，，∴，又∵动点满足，∴点的轨迹方程是射线：（），故选A.6.函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，函数的定义域为R，，即函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，C不满足；当时，，即有，选项D不满足，B符合题意.故选：B.7.2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，与平面平行．与平面的距离为1丈，则它的体积是（）A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如图，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，过作，交于，交于，过作，交于，交于，所以，，且四边形与四边形都是矩形；所以它的体积（立方丈），故选：B.8.若，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：由，，消去得到，令，，则，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．当时，，不成立，当时，，故的最大值为.综上所述：的最大值为．方法二：由，，可消去得到，则，令，，当时，，故的最大值为．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数则（）A.的最小正周期为10 B.的图象关于点对称C.在上有最小值 D.的图象关于直线对称〖答案〗AD〖解析〗，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，由的图象可知，在上有最大值，没有最小值，C错误.故选：AD.10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.当时，C.以线段为直径的圆与直线相切D.当最小时，切线与准线的交点坐标为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，联立，消整理得，则，代入得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B，结合A可得，，由，得，解得，，故B错误；对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，设，，在准线上的射影为，，，则，，，所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程为，联立，消整理得，则，解得，所以切线的方程为，联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．故选：ACD．11.已知函数部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数奇函数 D.函数在区间上单调递增〖答案〗AD〖解析〗根据函数的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2，对于A选项，结合五点法作图，可得，故A正确，，将函数的图象平移后得到函数的图象，则，对于B选项，由，得到的对称轴为，显然不是其对称轴，故，故B错误，对于C选项，函数显然不是奇函数，故C错误，对于D选项，，的递增区间即的递减区间，令，解得，故的递增区间是，当时，的递增区间是，故D正确，故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前n项和为，若，，则______．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，则有,解得：，所以.13.已知角的终边过点P（1，2），则___________.〖答案〗〖解析〗因为角的终边过点P（1，2），所以，所以.14.某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高一获胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位，则第一局比赛中，共有，共9个基本事件，其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共3个，所以第一局比赛高一获胜的概率为，在一场三局比赛中，共有不同种安排方法，其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）D是线段上的点，且，，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得.因为，所以，所以，即.因为，所以，即.（2）设，因为，所以.因为，所以，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，,所以.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，由，得，由，得，则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；②若，即，由，得或，由，得，则函数上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；③若，即，由在上恒成立，得在上递增，函数无极值，不合题意，所以的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，点E是的中点，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如图，因两两垂直，故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，P0,0,1，，D∴，．由（1）可知，可看成平面的一个法向量，可看成平面的一个法向量．设平面与平面的所成角为，∴，∴，∴平面与平面所成角的正弦值为．18.在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“