2024-2025学年安徽省鼎尖教育高二上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省鼎尖教育2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，所以.故选：C.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，因为，即，即，所以，解得，即，所以.故选：B.3.已知平面向量，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则有若，则有，或，解得：或，显然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要条件，故选：A.4.腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，所以腰鼓的体积.故选：D.5.函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即，故选：A.6.正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正六边形六个顶点中任取四个点，不同方法共有种方法，在如图所示正六边形中，显然四边形、、、、、是等腰梯形，共个，因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是，故选：D.7.是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗C〖解析〗因为，即，所以，又，所以，所以.故选：C.8.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则 B.若与互斥，则C.若与相互独立，则 D.若与相互独立，则〖答案〗BC〖解析〗对于A：若与互斥，则，故A错误；对于B：若与互斥，则，故B正确；对于C：若与相互独立，则，故C正确；对于D：若与相互独立，则，故D错误.故选：BC.10.已知正数，满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值〖答案〗ABD〖解析〗因为正数，满足，所以，当且仅当，即，时等号成立，解得，所以，故的最大值为，故A正确；，即，又，所以，所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；由可得，所以，当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.故选：ABD.11.在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角大小为，则下列结论正确的是（）A.对任意，都有B.存在，使平面C.当时，直线与平面所成角为D.当时，四面体外接球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗取的中点，连接、，依题意可得，，则为二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；在菱形中，边长为，，所以，若平面，平面，则，所以，与矛盾，故B错误；因为平面，又平面，所以平面平面，所以为直线与平面所成角，当，则，即当时，直线与平面所成角为，故C正确；在中，时，取、的外心、，则，，过、分别作、的垂线交于点，则为四面体外接球球心，连接，则，设外接球的半径为，则，所以四面体外接球的表面积，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______．〖答案〗〖解析〗将数据从小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位数是.13.将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．〖答案〗〖解析〗将函数的图象向右平移得到，又的图象关于原点对称，所以，解得，所以的最小正值为.14.若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______．〖答案〗〖解析〗当时，由，此时方程有正整数解，因此不用讨论是负整数的情况，当时，由；当时，由；当时，由；当时，由；当时，由，由上可知当时，方程的最大整数解为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在80,90为“推荐指数四颗星”，评分在90,100为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．解：（1）由频率分布直方可知，解得；则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为：；（2）“推荐指数四颗星”乡村数为（个）；“推荐指数五颗星”乡村数为（个）；按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取个，可知“推荐指数五颗星”乡村抽取个，从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形，其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形，所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率.16.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．解：（1）连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.17.的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若，．平分交于点，求的长．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；（2）在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.18.如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）求平面与平面所成锐二面角正切值．解：（1）取的中点，连接、，因为，所以，又，所以，因为底面是直角梯形，，，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）可知平面，平面，所以，在梯形中，，，，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（3）延长与延长线相交于点，连接，过作于点，连接，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，因为且，所以为的中点，又为边长为的等边三角形，所以在中，，，所以，所以，又平面，平面，所以，在中，，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.19.已知定义在R上的函数，．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若对，恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值．（参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．）解：（1）是奇函数，证明如下：的定义域是，，所以是奇函数.（2）依题意，对，恒成立，即对，恒成立，即对，恒成立，令，hx在1,2上单调递增，所以，即，令，则，所以，根据对钩函数的性质可知，函数在区间上单调递增，，所以.（3），依题意，，即，将代入得，整理得，当且仅当时等号成立，由两边取以为底的对数得，所以的最小值是.安徽省鼎尖教育2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，所以.故选：C.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，因为，即，即，所以，解得，即，所以.故选：B.3.已知平面向量，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则有若，则有，或，解得：或，显然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要条件，故选：A.4.腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，所以腰鼓的体积.故选：D.5.函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即，故选：A.6.正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正六边形六个顶点中任取四个点，不同方法共有种方法，在如图所示正六边形中，显然四边形、、、、、是等腰梯形，共个，因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是，故选：D.7.是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗C〖解析〗因为，即，所以，又，所以，所以.故选：C.8.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则 B.若与互斥，则C.若与相互独立，则 D.若与相互独立，则〖答案〗BC〖解析〗对于A：若与互斥，则，故A错误；对于B：若与互斥，则，故B正确；对于C：若与相互独立，则，故C正确；对于D：若与相互独立，则，故D错误.故选：BC.10.已知正数，满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值〖答案〗ABD〖解析〗因为正数，满足，所以，当且仅当，即，时等号成立，解得，所以，故的最大值为，故A正确；，即，又，所以，所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；由可得，所以，当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.故选：ABD.11.在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角大小为，则下列结论正确的是（）A.对任意，都有B.存在，使平面C.当时，直线与平面所成角为D.当时，四面体外接球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗取的中点，连接、，依题意可得，，则为二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；在菱形中，边长为，，所以，若平面，平面，则，所以，与矛盾，故B错误；因为平面，又平面，所以平面平面，所以为直线与平面所成角，当，则，即当时，直线与平面所成角为，故C正确；在中，时，取、的外心、，则，，过、分别作、的垂线交于点，则为四面体外接球球心，连接，则，设外接球的半径为，则，所以四面体外接球的表面积，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______．〖答案〗〖解析〗将数据从小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位数是.13.将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．〖答案〗〖解析〗将函数的图象向右平移得到，又的图象关于原点对称，所以，解得，所以的最小正值为.14.若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______．〖答案〗〖解析〗当时，由，此时方程有正整数解，因此不用讨论是负整数的情况，当时，由；当时，由；当时，由；当时，由；当时，由，由上可知当时，方程的最大整数解为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在80,90为“推荐指数四颗星”，评分在90,100为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．解：（1）由频率分布直方可知，解得；则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为：；（2）“推荐指数四颗星”乡村数为（个）；“推荐指数五颗星”乡村数为（个）；按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取个，可知“推荐指数五颗星”乡村抽取个，从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形，其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形，所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率.16.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．解：（1）连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形