内蒙古北京八中学乌兰察布分校2024年数学九上开学联考试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共7页内蒙古北京八中学乌兰察布分校2024年数学九上开学联考试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为1﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝1．其中结论正确的有（）A．1个 B．1个 C．3个 D．4个2、（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是()A． B． C． D．3、（4分）如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（）A． B． C． D．4、（4分）用反证法证明“a＞b”时应先假设（）A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b5、（4分）如图，在中，，，则的度数是（）A． B． C． D．6、（4分）若分式的值为0，则x的值为A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或27、（4分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④8、（4分）如图，已知，添加下列条件后，仍不能判定的是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率都是0.125，那么第8组的频率是______.10、（4分）反比例函数的图象过点P（2，6），那么k的值是．11、（4分）若，化简的正确结果是________________．12、（4分）在矩形中，，点是的中点，将沿折叠后得到，点的对应点为点.（1）若点恰好落在边上，则______,（2）延长交直线于点，已知，则______．13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是_________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在中，，是中线，点是的中点，连接，且，（1）求证：四边形是菱形；（2）若，直接写出四边形的面积．15、（8分）若m，n，p满足m－n=8，mn＋p2＋16=0，求m＋n＋p的值？16、（8分）解方程：（1）2x2﹣x﹣6=0；（2）．17、（10分）在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其它区别，其中有白球3只、红球2只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．（1）闭上眼睛随机地从袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；（2）若取出的第1只球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时取出的球还是红球的概率是多少？（3）若取出一只球，将它放回袋中，闭上眼睛从袋中再随机地取出1只球，两次取出的球都是白球概率是多少？（用列表法或树状图法计算）18、（10分）在平面宜角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴，y轴交于点A，B．第一象限内有一点P（m，n），正实数m，n满足4m+3n=12（1）连接AP，PO，△APO的面积能否达到7个平方单位？为什么？（2）射线AP平分∠BAO时，求代数式5m+n的值；（3）若点A′与点A关于y轴对称，点C在x轴上，且2∠CBO+∠PA′O=90°，小慧演算后发现△ACP的面积不可能达到7个平方单位．请分析并评价“小薏发现”．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝，AD＝1．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为_____．20、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF是△BCD的中位线，且EF＝4，则AD＝___．21、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为____．22、（4分）甲、乙两人面试和笔试的成绩如下表所示：候选人甲乙测试成绩（百分制）面试成绩8692笔试成绩9083某公司认为，招聘公关人员，面试成绩应该比笔试成绩重要，如果面试和笔试的权重分别是6和4，根据两人的平均成绩，这个公司将录取________。23、（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）先阅读下面的村料，再分解因式．要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公困式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：请你完成分解因式下面的过程______；.25、（10分）解方程与不等式组（1）解方程：（2）解不等式组26、（12分）如图,菱形对角线交于点，，，与交于点.（1）试判断四边形的形状，并说明你的理由；（2）若,求的长.

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】

①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形；故①正确；②过作于，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故②正确；③连接，于是得到，即当时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确；④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理得到，故④正确．【详解】解：①四边形是矩形，，将沿折叠得到，，，，，，，，四边形是矩形，，四边形为正方形；故①正确；②过作于，点，点，，，，，，，的面积为，故②正确；③连接，则，即当时，取最小值，，，，，即的最小值为；故③正确；④，，，，，，三点共线，，，，，，，，，故④正确；故选：．本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．2、D【解析】分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．详解：A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；B.被开方数含分母，故不符合题意；C.被开方数含分母，故不符合题意；D.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；故选D.点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式.3、D【解析】

先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【详解】四边形ABCD是正方形,AB=12,BM=5,.,,,,,,,,即,解得,,,,,,即,解得.故选D.本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.4、A【解析】

熟记反证法的步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．【详解】用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．故选：A．本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．5、B【解析】

在平行四边形ABCD中可求出∠C=∠A=75°，利用两直线平行，同旁内角互补可以求∠ABD的度数．【详解】在中，△BCD是等腰三角形∠C=∠DBC=75°又∠C+∠ABC=180°即∠C+∠DBC+∠ABD=180°∠ABD=180°-∠C-∠DBC=180°-75°-75°=30°此题考查了平行四边形的性质、三角形的内角和定义、等腰三角形的性质.6、C【解析】

根据分式值为零的条件可得x﹣2＝0，再解方程即可．【详解】解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，解得：x＝2，故选C．7、B【解析】

A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选C．8、C【解析】

根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC和△ADC中，已知，AC=AC，A、添加后，可根据SSS判定，所以本选项不符合题意；B、添加后，可根据SAS判定，所以本选项不符合题意；C、添加后，不能判定，所以本选项符合题意；D、添加后，可根据HL判定，所以本选项不符合题意．故选：C．本题考查了全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、0.1【解析】

利用频率与频数的关系得出第1组到第4组的频率，进而得出第8组的频率．【详解】解：∵把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，

∴第1组到第4组的频率是：（5+7+11+13）0.5625∵第5组到第7组的频率是0.125，第8组的频率是：1-0.5625-0.125=0.1故答案为：0.1．此题主要考查了频数与频率，正确求出第5组到第7组的频数是解题关键．10、1．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象过点P（2，6），∴k=2×6=1，故答案为1．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．11、1．【解析】

根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并．【详解】解：∵2＜x＜3，

∴|x-2|=x-2，|3-x|=3-x，

原式=|x-2|+3-x

=x-2+3-x

=1．

故答案为：1．本题考查二次根式的性质及绝对值的性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解题的关键．12、6或【解析】

（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，由平行线的性质得出，推出，得出，即可得出结果；（2）①当点在矩形内时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，，，由勾股定理即可求出；②当点在矩形外时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，由勾股定理得出：，即，即可求出．【详解】解：（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，如图1所示：，，，，是的中点，，，（2）①当点在矩形内时，连接，如图2所示：由折叠的性质可知，，，，四边形是矩形，是的中点，，，，在和中，，，，，，，，；②当点在矩形外时，连接，如图3所示：由折叠的性质可知，，，，四边形是矩形，是的中点，，，，在和中，，，，，，，即：，，解得：，（不合题意舍去），综上所述，或，故答案为（1）6；（2）或．本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、证明三角形全等并运用勾股定理得出方程是解题的关键．13、(7,3)【解析】分析：由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，可得点C的横坐标等于点D的横坐标＋AB的长，点C的纵坐标等于点D的纵坐标.详解：根据题意得，AB＝5，所以CD＝5，所以C(2＋5，3)，即C(7，3).故答案为(7，3).点睛：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，可利用平行四边形的对边平行且相等求解.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）先证明四边形BDEF是平行四边形，由等腰三角形三线合一得，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形BDEF是菱形；（2）由勾股定理得出，得出的面积，由题意得出的面积的面积的面积，菱形BDEF的面积的面积，得出四边形BDEF的面积的面积．【详解】（1）证明：，，

四边形BDEF是平行四边形，

，AE是中线，

，

，

点D是AB的中点，

，

四边形BDEF是菱形；

（2）解：，，，

，

的面积，

点D是AB的中点，

的面积的面积的面积，

菱形BDEF的面积的面积，

四边形BDEF的面积的面积．本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．15、m＋n＋p＝0.【解析】试题分析:把m,n,p看成是未知数,本题已知两个方程求三个未知数,因此可以采用主元法,将其中一个未知数看成常数,另外两个当作未知数进行解答,本题由m－n＝8,可得:m＝n＋8,把m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0,得n2＋8n＋16＋p2＝0,即(n＋4)2＋p2＝0,根据非负数的非负性质可求出n=－4,p=0,所以m=4,因此m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.因为m－n＝8，所以m＝n＋8.将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，所以，解得，所以m＝n＋8＝4，所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.16、(1)，；(2).【解析】

（1）利用公式法解方程即可；（2）方程两边同乘以x（x-1），把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可求得分式方程的解.【详解】（1）2x2﹣x﹣6=0∵a=2，b=-1，c=-6，∴△==1+48=49>0，∴∴，；（2）．方程两边同乘以x（x-1）得，解得x=-，经检验是原分式方程的解，∴原分式方程的解为.本题考查了一元二次方程及分式方程的解法，解一元二次方程时要根据方程的特点选择方法，解分式方程时要注意验根．17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由白球3只、红球2只、黑球1只根据概率公式求解即可；（2）若取出的第1只球是红球，则剩余的5个球中有1个红球，根据概率公式求解即可；（3）先列举出所有等可能的情况数，再根据概率公式求解即可.【详解】解：（1）由题意得取出的球是黑球的概率为；（2）若取出的第1只球是红球，则剩余的5个球中有1个红球所以这时取出的球还是红球的概率是；（3）根据题意列表如下：共有36种组合，其中两次取出的球都是白球的有9中组合，则取出的球都是白球概率是.本题考查用列表法或树状图法求概率．解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.18、（1）不能；（2）2；（3）见解析.【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由△APO的面积等于7个平方单位可求出n值，代入4m+3n=12中可求出m值为负，由此可得出△APO的面积不能达到7个平方单位；（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，利用面积法及角平分线的性质可求出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AP的解析式，由m，n满足4m+3n=12可得出直线BP的解析式，联立直线AP，BP的解析式成方程组，通过解方程组可求出m，n的值，再将其代入1m+n中即可得出结论；（3）当点C在x轴正半轴时，由2∠CBO+∠PA′O=20°可得出BC平分∠OBA′，同（2）可求出C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值大于7可得出：存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；当点C在x轴正半轴时，利用对称可得出点C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值小于7可得出：此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．综上，此题得解．【详解】（1）△APO的面积不能达到7个平方单位，理由如下：当y=0时，x+4=0，解得：x=-3，∴点A的坐标为（-3，0）．∴S△APO=OA•n=7，即n=7，∴n=．又∵4m+3n=12，∴m=-2，这与m为正实数矛盾，∴△APO的面积不能达到7个平方单位．如图1，（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，如图2所示．当x=0时，y=x+4=4，∴点B的坐标为（0，4），∴AB==1．∵AP平分∠BAO，∴EO=EF．∵S△ABE=BE•OA=AB•EF，S△AOE=EO•OA，∴，即，∴EO=，∴点E的坐标为（0，）．设直线AP的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），E（0，）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直线AP的解析式为y=x+．∵点P的坐标为（m，n），m，n满足4m+3n=12，∴点P在直线y=-x+4上．联立直线AP，BP的解析式成方程组，得：，解得：，∴m=，n=，∴1m+n=2．（3）“小薏发现”不对，理由如下：依照题意，画出图形，如图3所示．∵2∠CBO+∠PA′O=20°，∠OBA′+∠PA′O=20°，∴∠OBA′=2∠CBO．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（3，0），点P在线段BA′上．当点C在x轴正半轴时，BC平分∠OBA′，同（2）可得出：，即，∴OC=，∴点C的坐标为（，0），∴AC=．∵S△ACB=AC•OB=××4=＞7，∴不存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；当点C在x轴负半轴时，点C的坐标为（-，0），∴AC=．∵S△ACB=AC•OB=××4=＜7，∴此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．综上所述：“小薏发现”不正确．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、角平分线的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）利用三角形的面积公式结合△APO的面积等于7个平方单位，求出n值；（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标；（3）分点C在x轴正半轴及点C在x轴负半轴两种情况，分析“小薏发现”是否正确.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1、、1﹣【解析】

过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．【详解】①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∴CE＝1，∵CG∥AE，AD∥BC，∴四边形AGCE是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴BE＝1∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形；②DF＝DC时，则DC＝DF＝，∵DF⊥AE，AD＝1，∴∠DAE＝45°，则BE＝，∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∵△ADF∽△EAB，∴，，x1﹣4x+1＝0，解得：x＝1±，∴当BE＝1﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、1﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1、、1﹣．此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．20、1．【解析】

利用三角形中位线定理求出BC，再利用平行四边形的对边相等即可解决问题.【详解】∵EF是△DBC的中位线，∴BC＝2EF＝1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝1，故答案为1．此题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题关键在于利用中位线的性质计算出BC的长度21、且【解析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且≠0，即且.本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22、乙【解析】

根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．【详解】甲的平均成绩为：（8