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文档简介
2025届福建省莆田九中高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……,这就是著名的斐波那契数列,该数列的前2022项中有()个奇数A.1012 B.1346C.1348 D.13503.圆与圆的位置关系是()A.相交 B.相离C.内切 D.外切4.若数列满足,则()A.2 B.6C.12 D.205.已知等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为,前项和为.若,则()A. B.C. D.6.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就,其中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“今有人分钱,各人所得钱数依次为等差数列,其中前人所得之和与后人所得之和相等,问各得多少钱?”,则第人得钱数为()A.钱 B.钱C.钱 D.钱7.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是()A. B.C. D.8.“且”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.圆关于直线l:对称的圆的方程为()A. B.C. D.10.已知等比数列的公比为,则“是递增数列”的一个充分条件是()A. B.C. D.11.随着城市生活节奏的加快,网上订餐成为很多上班族的选择,下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表:订餐数/份122331送餐里程/里153045现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5,则据此回归模型可以预测,订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为()A.155里 B.145里C.147里 D.148里12.已知抛物线的焦点为,抛物线的焦点为,点在上,且,则直线的斜率为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是____________.14.已知双曲线的左,右焦点分别为,,右焦点到一条渐近线的距离是,则其离心率的值是______;若点P是双曲线C上一点,满足,,则双曲线C的方程为______15.曲线在x=1处的切线方程为__________.16.已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和18.(12分)已知等差数列的前三项依次为,4,,前项和为,且.(1)求的通项公式及的值;(2)设数列的通项,求证是等比数列,并求的前项和.19.(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点的直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程;(2)若以为直径的圆过坐标原点,求的值.20.(12分)已知抛物线的准线方程是.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)设直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点,证明:.21.(12分)已知数列是公差为2的等差数列,且满足,,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和22.(10分)如图①,直角梯形中,,,点,分别在,上,,,将四边形沿折起,使得点,分别到达点,的位置,如图②,平面平面,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意可知,对任意的恒成立,可得出对任意的恒成立,利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为,则,由题意可知,对任意的恒成立,所以,对任意的恒成立,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,.故选:A.2、C【解析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律,由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得为奇数,为奇数,为偶数,因为,所以为奇数,为奇数,为偶数,…………所以为奇数,为奇数,为偶数,又故该数列的前2022项中共有1348个奇数,故选:C.3、A【解析】求出两圆的圆心及半径,求出圆心距,从而可得出结论.【详解】解:圆的圆心为,半径为,圆圆心为,半径为,则两圆圆心距,因为,所以两圆相交.故选:A.4、D【解析】由已知条件变形可得,然后累乘法可得,即可求出详解】由得,,.故选:D5、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式,从而可得,故可得正确的选项.【详解】若,则,而,此时,这与题设不合,故,故,故,而,故,此时不确定,故选:D.6、A【解析】设第所得钱数为钱,设数列、、、、的公差为,根据已知条件可得出关于、的值,即可求得的值.【详解】设第所得钱数为钱,则数列、、、、为等差数列,设数列、、、、公差为,则,解得,故.故选:A.7、D【解析】利用分布计数原理求出所有的基本事件个数,在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数,利用古典概型的概率个数求出.解:连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36,其中每个结果出现的机会都是等可能的,点P(m,n)在直线x+y=4上包含的结果有(1,3),(2,2),(3,1)共三个,所以点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D考点:古典概型点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件,再利用古典概型的概率公式求概率,属于基础题8、A【解析】按照充分必要条件的判断方法判断,“且”能否推出“”,以及“”能否推出“且”,判断得到正确答案,【详解】当且时,成立,反过来,当时,例:,不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,重点考查基本判断方法,属于基础题型.9、A【解析】首先求出圆的圆心坐标与半径,再设圆心关于直线对称的点的坐标为,即可得到方程组,求出、,即可得到圆心坐标,从而求出对称圆的方程;【详解】解:圆的圆心为,半径,设圆心关于直线对称的点的坐标为,则,解得,即圆关于直线对称的圆的圆心为,半径,所以对称圆的方程为;故选:A10、D【解析】由等比数列满足递增数列,可进行和两项关系的比较,从而确定和的大小关系.【详解】由等比数列是递增数列,若,则,得;若,则,得;所以等比数列是递增数列,或,;故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为,.故选:D.11、C【解析】由统计数据求样本中心,根据样本中心在回归直线上求得,即可得回归方程,进而估计时的y值即可.【详解】由题意:,,则,可得,故,当时,.故选:C12、B【解析】根据抛物线的定义,求得p的值,即可得抛物线,的标准方程,求得抛物线的焦点坐标后,再根据斜率公式求解.【详解】因为,所以,解得,所以直线的斜率为.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用,考查了抛物线的简单性质,涉及了直线的斜率公式;抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离;解题过程中注意焦点的位置.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由题意建立空间直角坐标系,然后结合点面距离公式即可求得点M到截面ABCD的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(1,1,0),D(0,,1),M(0,1,0),∴(0,1,0),(1,1,0),(0,,1),设(x,y,z)为平面ABCD的法向量,则,取y=﹣2,可得x=2,z=1,∴(2,﹣2,1),∴M到截面ABCD的距离d故答案为.【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用,点面距离的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、①.##1.5②.【解析】求得焦点到渐近线的距离可得,计算即可求得离心率,由双曲线的定义可求得,计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,焦点到渐近线的距离为,又,,,,.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为,即,,即,解得:,由,解得:,.双曲线C的方程为.故答案为:;.15、【解析】根据导数的几何意义求切线方程的斜率并求出,再由点斜式写出切线方程即可.【详解】由题设,,则,而,所以在x=1处的切线方程为,即.故答案为:.16、【解析】设两条曲线交点为根据椭圆和抛物线对称性知,不妨点A在第一象限,由A在抛物线上得,A在椭圆上得.则由条件得:.解得(舍去)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)设等差数列公差为d,首项为a1,根据已知条件列出方程组求解a1,d,代入通项公式即可得答案;(2)根据等差、等比数列的前n项和公式,利用分组求和法即可求解【小问1详解】解:设等差数列公差为d,首项为a1,由题意,有,解得,所以;【小问2详解】解:,所以18、(1),(2)证明见解析,【解析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值,进一步求出数列的通项公式和的值;(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列,进一步求出数列的和.【小问1详解】等差数列的前三项依次为,4,,∴,解得;故首项为2,公差为2,故,前项和为,且,整理得,解得或-11(负值舍去).∴,k=10.【小问2详解】由(1)得:,故(常数),故数列是等比数列;∴.19、(1);(2)【解析】(1)由离心率得到,由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,得到,进而可求出结果;(2)先由题意,得直线的斜率存在,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,设,根据韦达定理,得到,,再由以为直径的圆过坐标原点,得到,进而可求出结果.详解】(1)由题意知,∴,即,又双曲线的焦点坐标为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,所以,∴,故椭圆的方程为.(2)解:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为由得:由得:设,则,,∴因为以为直径的圆过坐标原点,所以,.满足条件故.【点睛】本题主要考查椭圆的方程,以及椭圆的应用,熟记椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质即可,解决此类问题时,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于常考题型.20、(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】(Ⅰ)利用排趋性的准线方程求出p,即可求解抛物线的方程;(Ⅱ)直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线联立,通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析:(Ⅰ)解:因为抛物线的准线方程为,所以,解得,所以抛物线的方程为.(Ⅱ)证明:设,.将代入,消去整理得.所以.由,,两式相乘,得,注意到,异号,所以.所以直线与直线的斜率之积为,即.考点:直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程21、(1)(2)【解析】(1)由成等比数列得首项,从而得到通项公式;(2)利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】设数列的公差为,∵成等比数列,∴,即,∴,由题意故,得,即.【小问2详解】,∴22、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据,,,,易证,再根据平面平面,,得到平面,进而得到,再利用线面垂直的判定定理证明平面即可;(2)根据(1)知,,两两垂直,以,,的方向分别为,,轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求得平面
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