2025届安徽省六安市青山中学数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届安徽省六安市青山中学数学高三第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（）A． B． C． D．2．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（）A．2 B．5 C．7 D．83．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．24．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．5．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．6．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（）A． B． C． D．7．三棱锥的各个顶点都在求的表面上，且是等边三角形，底面，，，若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（）A． B． C． D．8．等差数列中，，，则数列前6项和为（）A．18 B．24 C．36 D．729．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．10．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）A．2 B．2 C．4 D．611．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i12．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.14．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a216．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值19．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.20．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.21．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422．（10分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．①写出P0，P8的值；②求决赛甲获胜的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】，，或（舍）.，，.当，时；当，时；当，时，，所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.2、B【解析】

求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一个以周期为6的周期数列，则.故选：B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．3、B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.4、B【解析】

设双曲线的渐近线方程为，与抛物线方程联立，利用，求出的值，得到的值，求出关系，进而判断大小，结合椭圆的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为，代入抛物线方程得，依题意，，椭圆的焦距，，双曲线的标准方程为.故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.5、A【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对，，且，有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为，，所以故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.6、C【解析】

如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：切点为，连接，作轴于，，故，在中，，故，故，，根据勾股定理：，解得.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7、A【解析】

由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到D的距离，利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径，则答案可求.【详解】如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=,设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，则外接球的半径R=取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以OD=.则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.8、C【解析】

由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】∵等差数列中，，∴，即，∴，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.9、A【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，，，，即，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.10、C【解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.【详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.11、B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．12、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．【详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题14、【解析】

根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.【详解】由指数函数与对数函数图象可知：，恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；当时，，又，满足题意；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.15、-2【解析】试题分析：∵a2考点：等比数列性质及求和公式16、0【解析】

由题意，列方程组可求，即求.【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.又②.联立①②解得：..故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为.【解析】

（1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值．【详解】（1）函数由条件得函数的定义域：，当时，，所以：，时，，当时，，当，时，，则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，；（2）由条件得：，，由条件得有两根：，，满足，△，可得：或；由，可得：．，函数的对称轴为，，所以：，；，可得：，，，则：，所以：；所以：，令，，，则，因为：时，，所以：在，上是单调递减，在，上单调递增，因为：，（1），，（1），所以，；即的取值范围是：，；，所以有，则，；所以当取到最小值时所对应的的值为；【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．18、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.【解析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.【详解】（1）由，得，，曲线的普通方程为，由，得，直线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，得，则，设、两点对应参数分别为、，，，，，.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②【解析】

（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，，的频数分别为20，50，130，所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种，其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20、（1），（2）【解析】

（1）当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为,,①当时,,解得；当时,有,②由①②得,,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即（2）由（1）知,,所以,③,④③减去④得:,所以【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.21、(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数