胡不归模型(含答案-已印)

“胡不归”模型（2019•南通）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于[思路解析]过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=PD，即PB+PD=PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．[考点提炼]胡不归问题，在初中数学里考的不多，分值一般在3分左右，这类问题对大多数同学来说，尤其是平时复习中接触较少，没有归纳过的同学，还是有一定难度的。什么是胡不归？老师帮大家再回顾一下。从前，有一个姓胡的小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费马尔揭开了它的面纱。“胡不归”模型如图，已知D为射线AB上一动点，∠BAC=30°，AC=，当AD=时，AD+2CD取最小值为.[解析]如图所示，过点A作∠BAE=30°，过点D作DG⊥AE在Rt△ADG中，AD=2DG，∴AD+2CD=2DG+2CD=2（DG+CD）过点C作CH⊥AE，∵CD+DG≥CH，∴AD+2CD的最小值为2CH.在Rt△ACH中，CH=AC·sin60°=3，AH=AC·cos60°=√3在Rt△AD’H中，AD’=AHcos∴当AD=2时，AD+2CD的最小值为6.[反思]“胡不归”模型是形如“m·AD+n·CD”的“两定一动型”最值问题，其中A、C是定点，D是动点，m、n均为正的常数；解决的关键是“两次系数化为1”：①若m、n均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1,；②借助特殊角的三角函数值，构造一锐角，将另一个系数化为1，从而达到等线段转化的目的.最后利用“垂线段最短”即可解决问题.[举一反三]1、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为.解：如图所示，过点A作∠CAE=15°，过点P作PH⊥AE，过点D作DG⊥AE.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=150°，∴∠DAB=30°，又∵∠BAC=∠DAB=15°，∴∠CAE=∠BAC+∠CAE=30°，∠DAE=45°，∴PH=PA，又PB=PD，∴PA+PB+PD=2PH+2PD=2（PH+PD）∴当D、P、H三点在同一直线且垂直于AE时，PA+PB+PD可取得最小值.即PA+PB+PD的最小值2PG=2AD·sin45°=2×6×=6.2、如图，抛物线y=ax2-2ax+c的图象经过点C（0，-2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．

（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．

解：（1）抛物线解析式为：y=x2-x-2；由题，∠AOC=90°，AC=，AB=4，设直线AC的解析式为：y=kx+b，则，解得∴直线AC的解析式为：y=-2x-2；

当△AOC∽△AEB时===∵=1∴∴∴E（）由△AOC∽△AEB得:∴如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG=CFsin∠FCG=CF，

∴CF+BF=GF+BF≥BE，

当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，

由（2）可知∠ABE=∠ACO

∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×=，

|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=，

∴当y=-时，即点F（0，-），CF+BF有最小值为.3、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5

∴C（0，5）

y=-5x+5=0时，解得：x=1

∴A（1，0）

∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点∴抛物线解析式为y=x2-6x+5

当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5

∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）

∴AB=5-1=4，OC=5

∴S△ABC=AB•OC=×4×5=10

∵点M为x轴下方抛物线上的点

∴设M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）

∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

∴S△ABM=AB•MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8

∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18

∴当m=3，即M（3，-4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18如图2，在x轴上取点D（4，0