新高考数学一轮复习学案42平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示

课标要求考情分析

1.了解平面向量基本定理及其意

义.1.本节是高考中的常考内容，涉及

2.掌握平面向量的正交分解及其平面向量基本定理的应用，向量的

坐标表示.坐标表示及坐标运算.

3.会用坐标表示平面向量的加法、2.命题形式多种多样，题型以选

减法与数乘运算.择题、填空题为主，常以创新型的

4.理解用坐标表示的平面向量共题目出现，属中低档题.

线的条件.

知识点一平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面

内的任意向量有且只有一对实数力,彩，使。=2⑹+A2C2.

其中，不共线的向量约，C2叫做表示这一平面内所有向量的一组

基底.

知识点二平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(x”yi),b=(m,”)，则a+b=(为+尤2,/+应)，a—b=(x\

一必)”一，2)，2a=(如，Ri),⑷

2.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

-A

(2)设A(xi,yi),Bg了2),则A，=Cx2—沏，y2—yi),

—►

\AB\=(X2—X1)2+«2—y1)2.

知识点三平面向■共线的坐标表示

设a=(xi,yi),>=(X2,玫)，其中力WO.a,b共线0即丫2—Eyi=

0.

1.思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“J”或“义”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(X)

(2)若a,》不共线，且21。+〃1方=22。+42万，则41=义2,〃1=〃2.(J)

—►—►

(3)在等边三角形ABC中，向量A3与的夹角为60。.(X)

(4)若。=(汨，y),b=g,玖)，则。〃b的充要条件可表示成3=

".(X)

(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(J)

(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐

标.(V)

2.小题热身

(1)已知平面向量。=(1,1),6=(1,—1),贝响量;a—前=(D)

A.(—2,—1)B.(—2,1)

C.(-1,0)D.(-L2)

―►-►

(2)已知点40/)，5(3,2),向量4。=(—4,一3),则向量8。=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

177

⑶已知向量a=(2,3),ft=(—1,2),若加〃+泌与a—2办共线，贝।斤

1

=

2

(4)向量0,力丽足a+5=(-1,5),a—5=(5,—3),则力=(—3,4).

—►-A—►—►

(5)在平行四边形ABC。中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC

的中点，则MN=二;生土会（用〃，力表示）.

1313

解析:⑴因为a=（l,l）,6=（1,-1）,所以3q—；。=5（1』）一不（1,

(2)根据题意得46=(3/)，・・・8C=4C-A8=(—4,-3)-(3,1)=(-

7,-4).故选A.

(3)由已知条件有ina+nb=(2mf3tn)+(—2n)=(2m—nt3m+2n),a

2m-n

-2A=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),由3+汕与。-25共线，则有:—

3m+2〃m1

=—-—,所以〃-2加=12m+8〃，所以]=­]

(4)由〃+/>=(-1,5),。一〃=(5,—3),

得26=(—1,5)—(5,—3)=(—6,8),

所以*=1(—6,8)=(-3,4).

33

(5)因为AN=3NC,所以AN=a4C=Z(a+〃),

又因为AM=a+g瓦

所以MN=AN—AM=[(a+》)一(0

考点一平面向量基本定理的应用

【例1】如图所示，在△ABC中，点M是A3的中点，且AN=T

-A-►-A->

NC,6N与CM相交于点E,设AC=b,则AE等于（）

211,2

A.尹+予B.ga+gb

20P,所以。P=wOA+[O8.由OM=mOB,ON=nOAt所以。B=^OM,

“1ff1f1f1

OA=~ON,所以。尸=赤0加+“ON,因为M,P,N三点共线，故通

133

+薪=1,当机=w时，77=].故选C.

考点二平面向量的坐标运算

【例2】(1)己知点M(5,—6)和向量Q=(1,-2),若MN=-3a,

则点N的坐标为()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

-A-►

(2)在△A8C中，点P在8C上，且8P=2PC,点。是AC的中点,

-A-►-►

若%=(4,3),PQ=(1,5),则BC=.

【解析】(1)MN=-3。=—3(1,—2)=(—3,6),

设Mx,y),则MN=(x-5,y+6)=(—3,6),

x-5=-3,x=2,

所以，即＜

丁+6=6,b=o.

⑵・・・42=PQ_%=(_3,2),

・・・AC=2AQ=(-6,4).

-A-A-A-A-A

VPC=B4+AC=(-2,7),JBC=3PC=(-6,21).

【答案】(1)A(2)(-6,21)

方法技巧

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已

知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

1.若向量a=(2/)，5=(—1,2),c=((，引，则c可用向量a,b

表示为(A)

A.za+ftB.

-3,1^31,

C.^a+^bu.^a—^b

解析：设c=xa+)也则(0,1j=(2x-y,x+2y),所以

2%一产0,[1

5解得＜2则c=ia+〃.

2

x+2y,v=i

2.已知平行四边形48CQ中，AQ=(3,7),46=(—2,3),对角线

AC与BD交于点、O,则。。的坐标为(D)

A.(一35)B.&5)

1(1

解析:AC=A3+AD=(-2,3)+(3,7)=(1/0),・・・0。=洲。=6，5

：.CO=——5

考点三平面向■共线的坐标表示

【例3】(1)若I,B,C,。四点共线，且满足AB=(3a,2a)3#0),

0)=(2,t),则，等于()

A/D#.3

C.3D.-3

(2)已知向量a=(加,4),b=(3,—2),且a〃"则加=.

(3)设向量mb满足同=2小，6=(2』)，且。与b的方向相反，则

a的坐标为.

—►—►

【解析】(1)因为A,B,C,。四点共线，所以43〃CO,故3。・，

4

=2(7-2,£=].故选B.

(2)由题意知一2机—12=0,m=—6.

(3)因为b=(2,1),且。与方的方向相反，所以设。=(2九2)(A<0),

因为⑷=2小，所以422+22=20,A2=4,2=—2.所以〃=(—4,—2).

【答案】(1)B(2)-6(3)(-4,-2)

方法技巧

(1)向量共线的两种表示形式

设。=(汨，yi),b=(xz,>2),①a〃〃=a=2〃SW0)；®a//b<^x\yz

-X2y\=0.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外，利用两

向量共线的充要条件可以列出方程(组％求出未知数的值.

1.已知点41,3)，8(4,-1),则与同方向的单位向量是(A)

A.&V)B.修_1)

(34)(43]

C.H，5)D.H，5)

―►—►-►

解析：AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,一4),

-A

・••与A5同方向的单位向量为二-=[；,一习.

\AB\

2.设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(~bfO)f其中O