2023年浙江省温州市某中学中考三模数学试题（含答案与解析）

2023年浙江省温州市第八中学中考三模试题

数学

亲爱的同学：

欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平.答题时，请注意以下几

点：

1.全卷共4页，有三大题，24小题.全卷满分150分.考试时间120分钟.

2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效.

3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题.

祝你成功！

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、

多选、错选均不给分）

1.5的相反数是（）

A.2B.--C.-2D.2

22

2.2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙奥秘，

其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13000次，数据13000用科学计数法表示为（）

A.1.3xlO3B.1.3xl04C.1.3xlO5D.O.13xlO5

3.如图是可移动的3层合唱台阶，其俯视图是（）

4.下列运算正确的是（）

C.a6a2-o'D.cr+o'-o'

5.如图，在•△ABC中，ZC=90°,48=10,BC=6,则sinA的值为()

4

D.

5

6.若x=3是关于x的一元二次方程f一〃a+3=0的一个根，则该方程的另一个根是（）

A.%=-1B.x=4C.x=1D.x=2

7.如图，在一ABC中，。是AC上一点,以AO为直径的半圆。恰好切CB于点B.连结80，若

NCBO=21。，则/C的度数为（）

C.46°D.48°

8.小八和小中进行1000米体育测试，小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒,设小中的速度

为X米/秒.则所列方程正确的是（）

A,强3=3。10001000”

B.-------------------------二30

xxx1.25%

「10001000”

C.-------------------=30D.30x1.25x-30%=1000

1.25xx

9.二次函数y=or?一2ax，（〃，c是常数,。。0）,下列选项正确的是（）

A.若图象经过（—1,1）,（8,8）,则〃<0.B.若图象经过（一1,1）,（3,1）,则q<0.

C.若图象经过（—1,1）,（-5,5）,则。>0.D.若图象经过(一1,1),(8,-8),则a>0.

10.将一个边长为4的正方形ABC。分割成如图所示的9部分，其中，ABE,BCF,；.CDG,DAH全等,

AEH,BEF,CFG,DGH也全等，中间小正方形ERG”的面积与.A3E面积相等，且是以A3

为底的等腰三角形，则的面积为（）

D.V2

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.分解因式：4m3—m=.

12.有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9,若将这4张牌背面向上洗匀后，从中任

意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为.

2?

13,计算：三上2.工=—.

xyy

14.若扇形的圆心角为120°,半径为3,则它的面积为.

2

15.如图，矩形AOCB的两边4。与。。分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上.反比例函数y=，（x<0）

与AB,BC分别交于。（一a,3）,E（-l,a+4）两点.点P（〃〃）为y=：（x<0）上一点，P到直线BC

的距离不大于3,则点P的横坐标〃?的取值范围是.

16.如图1所示，已知△ABC,tan3=l,tanC=2,BC=8,现将其分割成4块，并通过旋转和平移变

KH

换，拼成矩形GH〃（如图2所示），其中KL的长为,若A为乩的中点，则——的值为

HL

图2

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.计算题

⑴计算：4+（万-3.14）°-卜2|+

’2(1-x)<4

（2）解不等式组《巴>2并把解集表示在数轴上.

I2

^4^33~~H61234

18.如图，己知4X4的菱形斜网格，每个小菱形的边长为1,菱形较小的角为60。.己知格点尸，请根据下

列要求画格点图形（图形的顶点都在格点上）.

/Pf//////fy/////

图I图2

（1）在图1中画一个以P为直角顶点，且面积大于26的直角三角形.

（2）在图2中画出一个以P为顶点，且边长为无理数的等边三角形.

19.如图，在ABC和，ECD中，NABC=NEDC=90°,点8为CE中点，BC=CD.

(1)求证：△ABC❷△ECO.

(2)若CD=2,求AC的长.

20.某校抽取部分学生对A,B两所食堂分别进行满意度调查，学生均从6分，7分，8分，9分，10分选

择一个分值给予评价，并将结果绘制成如下两个统计图.

4食堂评分情况统计图3食堂评分情况扇形统计图

10分

0%分

9分6

25%

15%

30%20%

8分7分

（1）分别求出这部分学生对A食堂与B食堂评分的平均数.

（2）请结合所学的统计知识（多个角度），评选出学生更喜欢的食堂，并给出理由.

21.如图，抛物线丁=的2-2处一6,C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A,B（A

在8的左侧），且OC=2,AB=6.

（1）求该抛物线的对称轴及函数表达式.

（2）当最大值与最小值的差是9,求f的取值范围.

22.如图，在菱形ABCQ中，卬皿<90。，点E为AC上一点（A£<EC）,连接DE，作B/〃交

AC于£连接BE,DF.

（1）求证：四边形户为菱形.

（2）记菱形ABC。的面积为菱形。EBF面积为S?.若=tan/D4E=；,y=3.求

AO的长.

23.根据以下素材，探索完成任务:

素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A,。为墙壁上固定点，摇臂02绕点。旋转

过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬而始终保持平整.如图2,NAO3=90°,04=08=1.5米.

素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表:

时刻12点13点14点15点

3

角a的正切值421

4

素材3：小明身高（头顶到地面距离）约为1米，如图2,小明所站的位置离墙角的距离（QN）为

1.2米.

问题解决

这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离

任务1确定图度

（OQ）的长.

如图2,为不被阳光照射到，旋转摇臂。B,8的对应点为g，使得后离墙壁

判断否碰到

任务2距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判

蓬面

断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？

如图3,不改变6的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为

任务3探究合理范围

使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距

离（QN）的范围.

24.如图1,在中，ZC=90°.动点。从点A向点B运动，动点E从点C向A运动，两点同时

出发，当点。到达点8时，点E正好到达点A.作VADE的外接圆O,直线BE交圆。于另一点F.连结

（1）求AC,AB的长.

（2）如图2,连结尸。，当NAED+NEE4=90°时.

①求证：AFADsgCE.

②求圆。的半径.

（3）在运动过程中，若直线80经过△AEE一边的中点，求x的值.

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、

多选、错选均不给分）

1.5的相反数是（）

A.2B.C.—2D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据相反数定义解答即可.

【详解】解：J的相反数是-

22

故选B.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键.

2.2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙的奥秘,

其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13000次，数据13000用科学计数法表示为（）

A.1.3x103B.1.3xl04C.1.3x105D.0.13xl05

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形式为axlO",其中1＜忖＜10,〃=原数整数位数

减去1.

【详解】13000=1.3xl04;

故选B.

【点睛】本题考查科学记数法，掌握ax10"中〃的确定方法是解题的关键.

3.如图是可移动的3层合唱台阶，其俯视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据俯视图是从上向下看得到的图形判断即可.

可移动的3层合唱台阶的俯视图是三个竖着排列的矩形,

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图，解题关键是明确俯视图是如何得到的.

4.下列运算正确的是()

A.(-tz)--a1=(/B.(―2tz)3=-6a3C.a64-a2=a3D.a2+(j3=a5

【答案】A

【解析】

【分析】根据合并同类项法则、积乘方法则、同底数累的除法法则、同底数案的乘法法则分别计算，即可

得出正确答案.

【详解】解：A.(―4)2./=。2.“4=。6,故该选项正确；

B.(-2。丫=-8/,故该选项错误；

C.故该选项错误；

D./与/不是同类项，不能合并，故该选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幕的乘除，熟练掌握各项运算法则是解题的关键.

5.如图，在放AABC中，NC=90。，48=10,BC=6,则sinA的值为()

【答案】C

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可.

【详解】解：在&ZVIBC中，NC=90。，AB=10,BC=6,

故选：c.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.

6.若X=3是关于X的一元二次方程f一〃a+3=0的一个根，则该方程的另一个根是（）

A.%=—1B.x=4C.x=lD.x=2

【答案】C

【解析】

【分析】根据两根之积等于3即可求解.

【详解】解：x=3是关于x一元二次方程必—g+3=0的一个根，设该方程的另一个根是不，

则3%=3,解得x,-1,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是根据两根之积等于3列出方程.

7.如图，在中，。是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B.连结30,若

NC6D=21。，则,C的度数为（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用切线的性质求得N0BO的度数，利用等腰三角形的性质求得NQD3的度数，最后根据三角

形的外角性质即可求解.

•；CB是半圆。的切线,

，NO3C=90°,

,/NCBD=21。,

：.NOB。=90°-21°=69°,

OB-OD,

NOBD=4）DB=g0,

ZC=ZODB-Z.CBD=48°,

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，掌握“圆的切线垂直于过切点的半径”是解题的关键.

8.小八和小中进行1000米体育测试，小八的速度是小中的1.25倍，小八比小中快了30秒，设小中的速度

为x米/秒.则所列方程正确的是（）

125010002100010002

A.----------------=30B.-----------------=30

xx尤].25x

C.1222---^22=30D.30xl.25x-30x=1000

1.25xx

【答案】B

【解析】

【分析】根据小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒，列出方程即可.

【详解】解：设小中的速度为x米/秒，根据小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒，列方程

故选:B.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找准等量关系列出方程.

9.二次函数y=℃2—2av+c,（a,c是常数，aHO）,下列选项正确的是（）

A.若图象经过（—1,1）,（8,8）,则〃<0.B.若图象经过（—1,1）,（3,1）,则a<0.

C,若图象经过（—1,1）,（-5,5）,则a>0.D.若图象经过（—1,1）,（8,-8）,则a>（）.

【答案】C

【解析】

【分析】依次对四个选项建立方程组，解方程组求出a的值即可得到答案.

【详解】解：A.若图象经过（一1,1）,（8,8）,则1，，，解得a=一，不符合题意;

''v7[8=64a-16a+c45

1=Q+2。+C

B.若图象经过(3,1),则＜,得3Q+C=1,不符合题意;

1=9a—6a+c

C.若图象经过(一1,1),(-5,5),则.

a+2a+c9

D.若图象经过(一1,1),(8,-8),贝卜，解得—一，不符合题意;

-8=64。-16a+c

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的待定系数法和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握待定系数法.

10.将一个边长为4的正方形A8CQ分割成如图所示的9部分，其中..ABE,—BCR.COG,.DAH全等，

AEH,BEF,CFG.OG”也全等，中间小正方形EFG”的面积与，ABE面积相等，且4跖是以A3

为底的等腰三角形，则△△国的面积为()

AD

【答案】C

【解析】

【分析】连结EG并向两端延长分别交A3、CD于点M、N,连结“/，证明CQG为等腰三角形，证

得EM八AB,GNACD,EM=GN,设EM=GN=x,则EG=FH=4-2x,根据正方形

11,

EFG”的面积与，ABE面积相等，列出二?4x-(4-2x)?即可解得.

22

【详解】解：如图，连结EG并向两端延长分别交A6、8于点M、N,连结

•••四边形EFG”为正方形，

:.EG=FH,

；AABE是以AB为底的等腰三角形，

AE=BE，则点E在AB的垂直平分线上，

ABE—CDG,

，.CDG为等腰三角形，

：.CG=DG,则点6在8的垂直平分线上，

•.•四边形ABC。为正方形，

的垂直平分线与CO的垂直平分线重合，

，MN即为A3或CD的垂直平分线，

则EA"AB,GN八CD,EM=GN,

•.•正方形ABC。的边长为4,即AB=CD=A£>=4,

MN-4,

设EM=GN=x,则EG=E7/=4-2x,

•:正方形EEGH的面积与.ABE面积相等，

即g?4x^(4-2x>,解得：％=i,/=4,

•.•x=4不符合题意，故舍去，

・,.X=1,则S正方形ER”=S人m=5乂4乂1=2，

♦・,ABE，ABCF,CDG,DAH全等,

・・•q0ABE_一q°BCF_-qUCDG_~s0.DAH-~?乙，

•・•正方形A5CO的面积=4x4=16,AAEH,ABEF,ACFG,^DGH也全等,

AEH=Z（S正方彩BAC。1S正方形EFGHTS,人座）=7X（16—2—4X2）=],

故选：c.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得，ABE的

面积.

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.分解因式：4机3—机=.

【答案】m（2m+l）（2/72—1）

【解析】

【分析】先提公因式，再用平方差公式法分解因式.

【详解】解：4m3-m

=-1）

=m（2m+l）（2/n—1）

故答案为：m（2m+l）（2m-l）.

【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，再考虑

公式法，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键.

12.有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9,若将这4张牌背面向上洗匀后，从中任

意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为.

【答案】^-##0.5

【解析】

【分析】由有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9,是3的倍数的有6,9,直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9,是3的倍数的有6,9,

21

・••这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为：-=

42

故答案为：y.

【点睛】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

27

13.计算：土上.工

孙x+y

【答案】y

【解析】

【分析】通过提公因式法，约分化简即可.

x(x+y)v2

【详解】解：原式=△~=y

孙x+y

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查的是分式化简，掌握提公因式法是解题的关键.

3

14.若扇形的圆心角为120°,半径为二，则它的面积为.

2

【答案】T34

【解析】

【分析】根据扇形面积公式计算即可.

【详解】解：扇形的圆心角为120。，半径为之，则它的面积为12°”X(2『3万，

2----------=——

3604

37r

故答案为：・

4

【点睛】本题考查了扇形面积公式，解题关键是熟记扇形面积公式，准确进行计算.

k

15.如图，矩形AOCB的两边A。与OC分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上.反比例函数y=](x<0)

与AB,分别交于。(一a,3),七(一1,。+4)两点.点2(根,〃)为丁=：(*<0)上一点，P到直线BC

的距离不大于3,则点P的横坐标m的取值范围是.

2

【答案】-2<加工一§

【解析】

【分析】先求出反比例函数解析式，再根据图象确点P的横坐标，"的取值范围即可.

k

详解】解：•.•反比例函数y=-（尤<0）与AB8C分别交于。（一a,3）,£（-1,。+4）两点，

X

—3a——1（〃+4）,

解得，a=2f

点。的坐标为（-2,3），点E的坐标为（一1,6）,

二反比例函数解析式为>=—■|（尤<0）

2

当〃=9时，m=一一，此时，尸到直线BC的距离等于3,

3

当点P和点。重合时，P到直线距离等于3,

所以，点P的横坐标〃7的取值范围是一2<m<—彳，

3

2

故答案为：—2<mK-二.

3

【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是求出反比例函数解析式及点。坐标.

16.如图1所示，已知△ABC,tan/?=l,tanC=2,BC=8,现将其分割成4块，并通过旋转和平移变

换，拼成矩形G”〃（如图2所示），其中KL的长为,若A为此的中点，则”的值为.

4

【答案】①.4②.）

【解析】

【分析】利用平移、中心旋转的性质，找出对应相等的边与角，再结合三角函数的定义即可求解.

【详解】解：如图2,由图形平移与旋转的特性可知，

KL=DE,KA=BD,AL=EC,

：.BC=BD+DE+EC

=(BE+EC)+DE

=KA+AL+DE

=KL+DE=KL+KL=2KL.

'：BC=8,

KL=—xBC=—x8=4.

22

如下图，设A5与GE交于点O,过点。作。垂足为"，过点A作AQJ.BC,垂足为Q.则

OH//AQ.

因tan3=1,故可设OH=BH=a,由图形的旋转性可知。为AB的中点,

因OH//AQ,则HQ=BH=a,

因tanC=2,

故在直角-ACQ中，AQ=2QC,

由tanb=l可知，BQ=AQ,

即3H+"Q=2QC,

由可知，BH=HQ=QC=a.

由前面推证，KL=-BC,KL=2AL=2EC,

2

Iii3

：,EC=-BC=-(BH+HE+EC)=r3a=-a.

35

HE=HC-EC=HQ+QC-EC=a+a—a——a.

~44

/八OHa4

q士人人,tan/OEH=----=——二—

在直角△O//E中，HE55.

a

4

由平移性可知，ZOEH=ZHLK,

，tanZHLK=tanZOEH,

4

；.tan/HLK=—,

5

.KH4

••----=一.

HL5

,4

故答案为：4；—.

【点睛】本题考查了三角函数的运用、平移与中心旋转的性质、中位线的性质等相关知识点，解题关键是

运用等角的正切相等这一性质.

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.计算题

（1）计算："+（万-3.14）°-卜2|

2（l-x）<4

（2）解不等式组Ix+3，并把解集表示在数轴上.

——>2

I2

-4-3-2-101234

【答案】（1）-7

（2）不等式组的解集为X>1,见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的计算，零指数累、绝对值、负整数指数事分别化简，再计算即可;

（2）分别解每个不等式，然后根据同大取大，同小取小，大小小大中间找求解即可.

【小问1详解】

解：原式=2+1-2+（-8）

=-7

【小问2详解】

2（1）<4①

解：卫>2②

I2

解不等式①得：%>-1；

解不等式②得：x>l

...不等式组的解集为尤＞1,

在数轴上表示如下所示:

-4-3-2-10234【点睛】题目主要考查实数的

混合运算和不等式组，掌握运算法则是关键.

18.如图，已知4X4的菱形斜网格，每个小菱形的边长为1,菱形较小的角为60。.已知格点P,请根据下

列要求画格点图形（图形的顶点都在格点上）.

（1）在图1中画一个以P为直角顶点，且面积大于2百的直角三角形.

（2）在图2中画出一个以P为顶点，且边长为无理数的等边三角形.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据含有60。角的菱形特点，连接PM、PN,MN即可;

（2）根据网格特点，连接小、A3、尸3即可.

【小问1详解】

解：如图，连接PM、PN,MN,则.PW即为所求；

如图，菱形ABCD中对角线AC、BO交于点O,

•.•四边形ABC。为菱形，

:.AB=BC=CD=DA=1,AC1BD,ZABC=60°,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,

2

ABAC=ZDAC=-ZBAD=60°,

2

_ABC为等边三角形，

AC=AB=1,

AO=-AC=-,

22

•••ZAOB=90°,

，BO=yjAB2-AO2=—,

2

/.BD=2BO=V3，

•••4x4的菱形斜网格，每个小菱形的较长对角线长为75,较短的对角线长为1，较长对角线与边的夹角为

30°,角短对角线与边的夹角为60°,

:•PM=30，PN=2,ZMPN=300+60°=90。，

SPMN=〈PMxPN=；x2x3g=3g>2百；

【小问2详解】

解：连接抬、A3、PB,则.2钻即为所求作的等边三角形；

过点P作PE_LA/于点E，连接BC,

在RtZ\PFE中，FE=PFxcos600=2x』=1,

2

PE=PFxsin60°=2x±=G

2

.•.点E在格点上，

•••AE=AF-FE=2,

在RtPAE中APuy/PE2+AE?=5，

根据网格特点，BC=PE,NBCP=NPEA=90°,PC=AE,

,BCP^PE4（SAS）,

:.PB=PA=不,NCPB=NPAE,

'：AFPA+ZPAF=180°-ZPFE=120°,

ZFPA+ZCPB=ZFPA+ZPAF=120°,

/.ZAPB=180°-（NFR4+NCPB）=60°,

Q43为等边三角形，且边长为近.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形

的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握含有60度角的菱形特点.

19.如图，在」WC和々EC。中，NABC=NEDC=90°,点B为CE中点"BC=CD.

（1）求证：△ABC/△ECD.

（2）若8=2,求AC的长.

【答案】（1）见解析（2）4,见解析

【解析】

【分析】（1）根据ASA判定即可；

(2)根据△ABCAECD(ASA)和点8为CE中点即可求出.

【小问1详解】

证明：VZABC=ZEDC=90°,BC=CD,NC=NC,

AABC^AECD(ASA)

【小问2详解】

解：•••CE>=2,△ABC丝△ECD(ASA),

:.BC=CD=2,AC=CE,

•••点8为CE中点，

BE=BC=CD=2,

CE=4,

AC=4；

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键.

20.某校抽取部分学生对A,B两所食堂分别进行满意度调查，学生均从6分，7分，8分，9分，10分选

择一个分值给予评价，并将结果绘制成如下两个统计图.

8食堂评分情况扇形统计图

(1)分别求出这部分学生对4食堂与B食堂评分的平均数.

(2)请结合所学的统计知识(多个角度)，评选出学生更喜欢的食堂，并给出理由.

【答案】(1)7.8,7.65

(2)学生更喜欢的食堂是A食堂；理由见解析

【解析】

【分析】(1)求出总人数，再根据加权平均数计算即可；

(2)根据中位数、众数等数据信息给出答案即可.

【小问1详解】

解：对A食堂评分的平均数为：

__40x6+20x7+40x8+30x9+20x10§

40+20+40+30+20

对8食堂评分的平均数为：

_25%x6+20%x7+30%x8+15%x9+10%xl0…

xR=--------------------------------------=7.65.

B100%

【小问2详解】

解：学生更喜欢的食堂是A食堂；

理由如下：对A食堂评分的中位数是8,对3食堂评分的中位数是8,

对4食堂评分的众数是8和6,对B食堂评分的众数是8,

对A食堂评分的平均数为7.8，对B食堂评分的平均数为7.65,

所以学生更喜欢的食堂是A食堂.

【点睛】本题考查了数据的描述与分析，解题关键是准确从统计图中获取信息，正确计算和判断.

21.如图，抛物线y=/nx2-2/nx-6,C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A,B(A

在8的左侧)，且OC=2,AB=6.

(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式.

(2)当最大值与最小值的差是9,求f的取值范围.

【答案】(1)x=l；y=f-2x—6

(2)I<r<4

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式直接求出对称轴，再根据对称轴求出点A的坐标，利用待定系数法即

可求出函数的表达式；

(2)先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数图形的性质，针对，<1,和，>4三种情况进行分析

即可得到答案.

【小问1详解】

l-x

解：抛物线的对称轴为：x=-一=一^=1,即X=l；

2a2m

如下图所示，设对称轴x=l交A3于点E,交x轴于点F,设抛物线顶点为。,

:对称轴x=l,OC-2,AB=6,

AE=BE=3,CE=OF=1,

：.AC=2,BC=4

AA（-2,2）,b（4,2）,

将A（—2,2）代入抛物线的解析式得：2=4〃z+4m—6,

解得m=l,

抛物线的解析式为：y=x2-2x-6；

【小问2详解】

解：：y=%2-2x—6=（x—1）~-7,

；•抛物线的顶点为。,一7）,

当x=-2时，y=4+4—6=2,即为点A（-2,2）,

•.,顶点为。（1,一7）,

...当r<l时，y>-~1,

最大值与最小值的差是不等于9,

当1WAW4时，

最大值为4（-2,2）,最小值为点0（1,-7）,最大值于最小值相差为9,

当f>4时，最大值大于2,

此时，最大值于最小值相差不等于9,

...当-2<x4r,最大值与最小值的差是9,r的取值范围为：1</<4

【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴的公式和二次函数的图像性质.

22.如图，在菱形ABC。中，ND48<90。，点E为4c上一点(AE<EC),连接OE，作BF〃DE交

AC于F.连接BE,DF.

B

(1)求证：四边形为菱形.

(2)记菱形A6C。的面积为3,菱形。仍尸面积为邑.若£>E=JI5，tan/DAE=g，5=3.求

2X

AO的长.

【答案】(1)见解析.

⑵3君.

【解析】

【分析】(1)如图，连接30，由菱形ABCD知，OA=OC,OB=OD,BD±AC,AD=BC,求证

一DEAMBFC,进一步证得OE=O/，所以四边形。反尸为菱形；

(2)如图，由菱形面积公式及性质可得S1=2Q4。。，S2=2OE.OD,结合苦=3,推出

OA=3OEiRt0Ao中，tanND4E=」推出型=,，于是。。=2。七；由勾股定理，Rt_OED中

20A22

OE=2,凡。4£>中4。=3石.

【小问1详解】

如图，连接80，交AC于点。，

B

•.•四边形ABC。是菱形

/.0A=OC,OB=OD,BD±AC,AD=BC

VBF//DE,AD//BC

：.ZDEO=ZBFO,NDAE=NBCF

：.ZDEA-ZBFC

,DEA=BFC(AAS)

：.AE^CF

OA-AE=OC-CF

，OE=OF

，四边形OEBE为菱形

【小问2详解】

如图，

S,=-AC-BD=-x20Ax20D=2040。

122

S,=-EF・BD=-x2OEx20D=20E-0D

222

..5,__

"

"52

2OA.OD=3x2OE^OD

：.OA=3OE

RtQ4O中，tanZDAE=-

2

,OD

"~OA~2

13

OD=-OA=-OE

22

Rt_OED中,DE2^OD2+OE2

；.(而)2=(—OE)2+OE2,解得。E=2

2

:.OA=6,OD=3

Rt□中，AD=y/o^+OD2=V62+32=375-

【点睛】本题考查菱形的性质和判定、全等三角形，勾股定理；灵活利用题干条件，根据面积公式、三角

函数定义确定线段间的数量关系是解题的关键.

23.根据以下素材，探索完成任务:

素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A,0为墙壁上的固定点，摇臂绕点。旋转

素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表:

时刻12点13点14点15点

3

角a的正切值421

4

素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2,小明所站的位置离墙角的距离（QN）为

1.2米.

问题解决

这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离

任务1确定高度

（OQ）的长.

判断是否碰到如图2,为不被阳光照射到，旋转摇臂。B,8的对应点为夕，使得夕离墙壁

任务2

蓬面距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判

断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？

如图3,不改变8'的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为

任务3探究合理范围使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距

离（QN）的范围.

4

【答案】1.2米；会碰到遮阳蓬面；0<QN<«米，

【解析】

【分析】任务1,作M0LOB于解直角三角形即可；任务2,类比任务1的方法，求出GN的长，和

小明身高比较即可；任务3,分别求出12点、14点时，小明所站位置离墙角距离（QN）即可.

【详解】解：任务1,作于

所以，四边形QOMN是矩形，

根据题意得，OM=QN=1.2米，

因为。4=08=1.5米，

所以A73=0.3米，

12点太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4,

所以"生=4,解得"N=OQ=1.2米.

BM

任务2,作BN_LAQ于尸，NGLQN,交04于G,FB'于H，