山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

2024-2025学年度期中学情检测高二数学试题

一、选择题1．已知空间向量,,若,则()A.1 B. C. D.32．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是()A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积3．经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）()A.6.48米 B.4.48米 C.2.48米 D.以上都不对4．已知中，，角A的平分线交BC于点D，若，则面积的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.45．已知圆与圆相外切，则实数m的值为()A.1 B.2 C.3 D.46．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. B. C. D.7．在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8．“”是“两点，到直线的距离相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、多项选择题9．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为()A.0 B.1 C.2 D.－110．已知圆，点，则下列说法正确的有()A.若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为B.若点P在圆O外，则直线与圆O相交C.若点P在圆O内，则直线与圆O相交D.若点P在圆O外，则直线与圆O位置关系不确定11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是()A.若点，，则B.若点，，则在x轴上存在点P，使得C.若点，点P在直线上，则的最小值是3D.若点M在上，点N在直线上，则的值可能是4三、填空题12．已知，设直线，，若，则________.13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.14．已知点（，）在圆和圆的公共弦上，则的最小值为________.四、解答题15．已知直线l经过点,圆.(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)若直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.16．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.（1）求证:平面PAB;（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;（3）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD？若存在,求的值;若不存在,说明理由.17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.18．已知直线,直线．(1)若,求实数a的值;(2)若,求实数a的值．19．如图,在四棱锥中,平面平面BCDE,,,,F是线段AD的中点．(1)若,求证：平面ACD;(2)若,,且平面ABC与平面ADE夹角的正切值为,求线段AC的长．

参考答案1．答案：B解析：因为,,且,所以,解得,故选:B.2．答案：C解析：对于A，，而，故，正确；对于B，，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，，所以，，所以，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确.故选：C3．答案：A解析：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r.，由勾股定理可得，即，解得，圆心坐标为，则圆的方程为.将代入圆的方程得.，解得，（米）.故选A.4．答案：C解析：在中，，在中，，故，，因为，所以，又角A的平分线交BC于点D，则，因此，故.以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，，设，则，即，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）.故当点A的纵坐标的绝对值最大，即时，的面积取得最大值，最大值为.故选C.5．答案：A解析：由可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为1，圆与圆相外切，则，解得.故选A.6．答案：B解析：根据题意，圆的方程可化为，其圆心为，半径为5，所以该圆过点的最长弦为直径，则，最短弦，所以.故选B.7．答案：B解析：满足要求的直线应为圆心为A，半径为1和圆心为B，半径为2的两圆的公切线，又，，所以圆A与圆B相交，所以公切线有2条.8．答案：A解析：由题意，得直线AB的斜率，线段AB的中点.当时，直线经过线段AB的中点，所以两点，到直线的距离相等.当两点，到直线的距离相等时，可能有直线经过线段AB的中点，此时，也可能是直线与直线AB平行，此时.因此“”是“两点，到直线的距离相等”的充分不必要条件.故选A.9．答案：AC解析：直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选：AC.10．答案：AB解析：对于A，点P在圆O上，则，因为点P的坐标满足，故直线过点P.又点到直线的距离，故直线与圆O相切.综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为，A正确.对于B，D，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相交，所以B正确，D错误.对于C，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相离，C错误.故选AB.11．答案：ACD解析：对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确.对于B选项，设，则从而，故B错误.对于C选项，作轴，交直线于E，过P作，垂足为H，如图①所示.由曼哈顿距离的定义可知.当P不与E重合时，因为直线的斜率为，所以，所以；当P与E重合时，.综上，，则.故C正确.对于D选项，如图②所示，若，，则，故D正确.故选ACD.12．答案：1解析：因为，所以.故答案为：113．答案：3解析：由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.故答案为：314．答案：8解析：两圆方程相减得，即，所以，，，当且仅当，即，时等号成立，点为，，，点在两圆公共弦上，满足题意，故答案为：8.15．答案：(1)或(2)或解析：(1)由已知圆,所以圆心坐标为,半径为2.当直线l的斜率不存在时,即直线l的方程为：,此时是与圆C相切,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l为：,即,则圆C的圆心到直线l的距离,解得,故直线l的方程为.综上,直线l的方程为或.(2)因为直线l被圆C所截得的弦长为,所以圆心到直线l的距离为.由(1)可知,直线l的斜率一定存在,设直线l为：,即,则圆心到直线l的距离,解得或.故直线l的方程为或.16．答案：（1）证明见解析;（2）;（3）存在,.解析：（1）因为平面平面ABCD,,所以平面PAD.所以.又因为,所以平面PAB.（2）取AD的中点O,连结PO,CO.因为,所以.又因为平面,平面平面,所以平面ABCD.因为平面ABCD,所以.因为,所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得,,,,,.设平面PCD的法向量为,则即令,则,.所以.又,所以.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.（3）设M是棱PA上一点,则存在使得.因此点,.因为平面PCD,所以平面PCD当且仅当,即,解得.所以在棱PA上存在点M使得平面PCD,此时.17．答案：（1）证明见解析（2）存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点解析：（1）证明：在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，平面ABCD，是四棱锥的高，设，则，，，，如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设是平面的一个法向量，则即令，则，，.同理可得平面SCD的一个法向量为.，平面平面SCD.（2）存在.设，则，，设平面PEB的一个法向量为，则令，则，，，易知平面SAD的一个法向量为，.，，存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点.18．答案：(1);(2)或．解析：(1),,整理得,解得或,当时,与重合,舍去,故．(2),,,或．19．答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：取AC的中点G,连接BG,FG,因为,所以,因为平面平面BCDE,平面平面,,平面BCDE,所以平面ABC,又平面ABC,所以,因为,,平面,所以平面,因为F是线段AD的中点,所以,,因为,,所以且,所以四边形BEFG是平行四边形,所以,因为平面ACD,所以平面ACD;