江苏省镇江市五校2025届数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共3页江苏省镇江市五校2025届数学九年级第一学期开学监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤02、（4分）已知某一次函数的图象与直线平行，且过点（3,7）,那么此一次函数为（）A． B． C． D．3、（4分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转120°得到△ADE，点B的对应点是点E，点C的对应点是点D，若∠BAC=35°，则∠CAE的度数为（）A．90° B．75° C．65° D．85°4、（4分）已知平行四边形中，一个内角，那么它的邻角（）.A． B． C． D．5、（4分）有位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前位同学进入决赛，小明知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这位同学得分的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差6、（4分）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则a+b的立方根为（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或﹣27、（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（）A．18 B．8 C．10 D．98、（4分）对于的理解错误的是（）A．是实数 B．是最简二次根式 C． D．能与进行合并二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）公路全长为skm，骑自行车t小时可到达，为了提前半小时到达，骑自行车每小时应多走_____________.10、（4分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=5，则BC=_____．11、（4分）万州区某中学为丰富学生的课余生活，开展了手工制作比赛，如图是该校八年级进入了校决赛的15名学生制作手工作品所需时间（单位：分钟）的统计图，则这15名学生制作手工作品所需时间的中位数是______.12、（4分）已知y与2x成正比例，且当x＝1时y＝4，则y关于x的函数解析式是__________．13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）.某酒厂生产A，B两种品牌的酒，平均每天两种酒共可售出600瓶，每种酒每瓶的成本和售价如表所示，设平均每天共获利y元，平均每天售出A种品牌的酒x瓶.AB成本（元）5035售价（元）7050（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且售出的B种品牌的酒不少于全天销售总量的55%，那么共有几种销售方案?并求出每天至少获利多少元?15、（8分）（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果是符合同样规律的一组勾股数，（表示大于1的整数），则，，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、1．16、（8分）如图，E、F是矩形ABCD边BC上的两点，AF=DE．（1）求证：BE=CF；（2）若∠1=∠2=30°，AB=5，FC=2，求矩形ABCD的面积(结果保留根号)．17、（10分）在四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE，AF.（1）如图1，若四边形ABCD的面积为5，则四边形AECF的面积为____________；（2）如图2，延长AE至G，使EG=AE，延长AF至H，使FH=AF，连接BG、GH、HD、DB．求证：四边形BGHD是平行四边形；（3）如图3，对角线AC、BD相交于点M，AE与BD交于点P，AF与BD交于点N.直接写出BP、PM、MN、ND的数量关系.18、（10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题:老师:我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢？小红:等边三角形一定是奇异三角形.(1)根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，则小红提出的命题是.(填“真命题”或“假命题”)(2)若是奇异三角形，其中两边的长分别为、，则第三边的长为.(3)如图，中，,以为斜边作等腰直角三角形,点是上方的一点，且满足.求证:是奇异三角形．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为__________．20、（4分）如图，的对角线，相交于点，且，，，则的面积为______.21、（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．点P为底边BC的延长线上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BM⊥DC于M．请你探究线段PE、PF、BM之间的数量关系：______．22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.23、（4分）已知一次函数（）经过点，则不等式的解集为__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.（1）求证：△COD是等边三角形．（2）求∠OAD的度数．（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？25、（10分）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，按要求完成下列各题．（1）用直尺和圆规作出对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，垂足为O，（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的基础上，连接BE和DF，求证：四边形BFDE是菱形．26、（12分）某校八年级数学实践能力考试选择项目中，选择数据收集项目和数据分析项目的学生比较多。为了解学生数据收集和数据分析的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据：从选择数据收集和数据分析的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：数据收集109.59.510899.5971045.5107.99.510数据分析9.598.58.5109.510869.5109.598.59.56整理，描述数据：按如下分数段整理，描述这两组样本数据：10数据收集11365数据分析（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.）分析数据：两组样本数据的平均数，中位数，众数如下表所示：项目平均数中位数众数数据收集8.759.510数据分析8.819.259.5得出结论：（1）如果全校有480人选择数据收集项目，达到优秀的人数约为________人；（2）初二年级的井航和凯舟看到上面数据后，井航说：数据分析项目整体水平较高.凯舟说：数据收集项目整体水平较高.你同意________的看法，理由为_______________________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】

表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．【详解】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0.故选D.本题考查了不等式组的解集的确定.2、B【解析】

一次函数的图象与直线y=2x平行，所以k值相等，即k=2，又因该直线过点（3,7），所以就有7=6+b，从而可求出b的值，进而解决问题．【详解】∵一次函数y=kx+b的图象与直线平行，∴k=2，则即一次函数的解析式为y=2x+b.∵直线过点（3,7），∴7=6+b，∴b=1.∴直线l的解析式为y=2x+1.故选B.此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于利用待定系数法求解.3、D【解析】

由题意可得∠BAE是旋转角为120°且∠BAC=35°，可求∠CAE的度数．【详解】∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转120°得到△ADE∴∠BAE=120°且∠BAC=35°∴∠CAE=85°故选D．本题考查了旋转的性质，关键是熟练运用旋转的性质解决问题．4、C【解析】

根据平行四边形的性质：邻角互补，求解即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=60°，∴∠B=120°，故选C．本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，属于基础性题目．5、B【解析】

由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知9人成绩的中位数是第5名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于9个人中，第5名的成绩是中位数，故小明同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，需知道这9位同学的分数的中位数．

故选：B．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6、C【解析】

先依据平方根的定义和性质求得a,b的值，然后依据有理数的加法法则求解，再求立方根即可解答【详解】∵（﹣4）2＝16，∴a＝±4，∵b的一个平方根是2，∴b＝4，当a＝4时，∴a+b＝8，∴8的立方根是2，当a＝﹣4时，∴a+b＝0，∴0的立方根是0，故选：C．此题考查了平方根和立方根，解题关键在于求出a,b的值7、D【解析】

根据三角形中位线的性质可得出DE,CD,EC的长度，则△DEC的周长可求．【详解】∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵AB＝4，BC＝8，AC＝6，∴DE＝AB＝2，EC＝AC＝3，CD＝CB＝4，∴△DEC的周长＝2+3+4＝9，故选：D．本题主要考查三角形中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．8、D【解析】

根据根的性质对选项进行判断即可【详解】A.是实数，故本选项正确B.是最简二次根式，故本选项正确C.，故本选项正确D.与=不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误故选D.本题考查根的性质，熟练掌握二次根的性质是解题关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、－【解析】公路全长为skm，骑自行车t小时可到达，则速度为若提前半小时到达，则速度为则现在每小时应多走（）10、5；【解析】

根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，利用勾股定理即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABC=90°，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=5，∴AC=2AO=10，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=.故答案为：5.本题考查了矩形的性质及勾股定理.根据矩形的性质及∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形是解题的关键.11、14【解析】

根据中位数的意义，排序找中间位置的数或中间两个数的平均数即可.【详解】15名学生制作手工作品所需时间中排在第8位的是14分钟，因此中位数是14分钟故答案为14.本题考查中位数的概念和求法，将数据从小到大排序找中间位置的数或中间两个数的平均数，理解意义掌握方法是关键.12、y＝4x【解析】

根据y与1x成正比例，当x=1时，y=4，用待定系数法可求出函数关系式．【详解】解：设所求的函数解析式为：y=k•1x，

将x=1，y=4代入，得：4=k•1，

所以：k=1．

则y关于x的函数解析式是：y=4x．

故答案为：y=4x．本题考查待定系数法求解析式，解题关键是根据已知条件，用待定系数法求得函数解析式k的值，写出y关于x的函数解析式．13、（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．【解析】试题解析：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC=52∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE=52分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5-3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）y；（2）共有4种方案，10335.【解析】

（1）根据获利y=A种品牌的酒的获利+B种品牌的酒的获利，即可解答．

（2）根据生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，A种品牌的酒的成本+B种品牌的酒的成本≥25000，列出方程组，求出x的取值范围，根据x为正整数，即可得到生产方案；再根据一次函数的性质，即可求出每天至少获利多少元．【详解】（1）（2）依题意2得x为整数解得共有4种方案A：267B：333A：268B：332A：269B：331A：270B：330至少获利若x取267，y最小本题考查了一次函数的应用，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列解析式，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后根据一次函数的性质求出哪种方案获利最小.15、（1）；；（2）；；（3）；；（4）10；26；12；2；【解析】

（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，弦25=；

（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，弦=；

（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；

（4）依据柏拉图公式，若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；若m2+1=1，则m=6，2m=12，m2-1=2．【详解】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，弦25=；

故答案为：；；

（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，弦=；

故答案为：；；（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；

故答案为：m2-1，m2+1；

（4）依据柏拉图公式，

若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；

若m2+1=1，则m=6，2m=12，m2-1=2；

故答案为：10、26；12、2．此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．16、（1）见解析；（2）【解析】

（1）首先证明Rt△ABF≌Rt△DCE，从而可得到BF=CE，然后由等式的性质进行证明即可；

（2）先依据含30°直角三角形的性质求得AF的长，然后依据勾股定理求得BF的长，从而可求得BC的长，最后，依据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵矩形ABCD中∠B=∠C=90°，AB=CD．

又∵AF=DE

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），

∴BF=CE．

∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF；

（2）∵Rt△ABF中，∠2=30°，

∴AF=2AB=1．

∴BF=，∴BC=BF+FC=，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=5（）=本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．17、（1）（2）证明见解析（3）.【解析】

（1）连接AC，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行解答即可得；（2）连接EF，根据三角形中位线定理可得到BD与GH平行且相等，由此即可得证；（3）如图，延长PE至点Q，使EQ=EP，连接CQ，延长NF至点O，使OF=NG，连接CO，通过证明△BPE≌△CQE可得BP=CQ，BP//CQ，同理：CO=ND，CO//ND，从而可得Q、C、O三点共线，继而通过证明△APM∽△AQC，可得PM：CQ=AM：AC，同理：MN：CO=AM：AC，即可得答案.【详解】（1）如图，连接AC，则有S△ABC+S△ACD=S四边形ABCD=5，∵E、F分别为BC、CD中点，∴S△AEC=S△ABC，S△AFC=S△ADC，∴S四边形AECF=S△AEC+S△AFC=S△ABC+S△ADC=S四边形ABCD=，故答案为：；（2）如图，连接EF，∵E、F分别是BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF=BD.，∵EG=AE，FH=AF，∴EF∥GH，EF=GH.，∴BD∥GH，BD=GH.，∴四边形BGHD是平行四边形；（3）如图，延长PE至点Q，使EQ=EP，连接CQ，延长NF至点O，使OF=NG，连接CO，在△BPE和△CQE中，∴△BPE≌△CQE（SAS），∴BP=CQ，∠PBE=∠QCE，∴BP//CQ，同理：CO=ND，CO//ND，∴Q、C、O三点共线，∴BD//OQ，∴△APM∽△AQC，∴PM：CQ=AM：AC，同理：MN：CO=AM：AC，∴.本题考查了三角形中线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线是解题的关键.18、（1）真命题；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分第三条边是斜边或直角边两种情况，再根据勾股定理求出第三条边长；（3）由勾股定理得，AC2+CB2=AB2，由△ABD是等腰直角三角形得AB2=2AD2，结合已知条件可得结论.详解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题；（2）分两种情况：①当为斜边时，第三边长=，②当2和分别为直角边时，第三边长为<，故不存在，因此，第三边长为：；(3)∵△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC2+CB2=AB2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB2=2AD2，∴AC2=AB2-CB2，∴AC2=2AD2-CB2，∵AE=AD，CE=CB，∴AC2+CB2=2AD2-CB2+CB2=2AD2=2CE2.∴是奇异三角形．点睛：本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、9或10.1【解析】

根据等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，得出△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解方程求出k=2，则b+c=2k+1=1；当a为腰时，则b=4或c=4，然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进而求解即可．【详解】等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的两个实数根，则△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解得：k=2，则b+c=2k+1=1，△ABC的周长为4+1=9；当a为腰时，则b=4或c=4，若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的根，则42-4（2k+1）+1（k-）=0，解得：k=，解方程x2-x+10=0，解得x=2.1或x=4，则△ABC的周长为：4+4+2.1=10.1．20、1【解析】

已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝AC＝5，OB＝BD＝13，再利用勾股定理的逆定理判定∠BAC＝90°，由平行四边形的面积公式求解即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝5，OB＝BD＝13，∵AB＝12，∴OA2+OB2＝AB2，∴AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝12×10＝1；故答案为：1．本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的逆定理，正确判定∠BAC＝90°是解决问题的关键.21、PE－PF=BM.【解析】

过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证四边形BMFH是平行四边形，于是有FH=BM，再用AAS证明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，继而得到结论.【详解】解：PE－PF=BM.理由如下：过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，如图∴∠PBH=∠DCB，∵PF⊥CD，BM⊥CD，∴BM∥FH，PH⊥BH，∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，∴FH=BM，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ABC=∠PBH，∵PE⊥AB，∴∠PEB=∠H=90°，又PB为公共边，∴△PBE≌△PBH（AAS），∴PH=PE，∴PE=PF+FH=PF+BM．即PE－PF=BM.本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造所需的平行四边形和全等三角形.22、1或11【解析】

根据题意求得AD的值，再利用平行四边形性质分类讨论，即可解决问题.【详解】∵B（-3，0），C（9，0）∴BC=12∵点E是BC的中点∴BE=CE=6∵AD∥BC∴AD=5∴当PE=5时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况：当点P在点E左边时，PB=BE-PE=6-5=1；②当点P在点E右边时，PB=BE+PE=6+5=11综上所述，当PB的长为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.本题考查了平行四边形的性质，注意分类讨论思想的运用.23、【解析】

先把（-1，0）代入y=kx+b得b=k，则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，然后解关于x的不等式即可．【详解】解：把（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解b=k，则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，而k＜0，所以x-3+1＞0，解得x＞1．故答案为x＞1．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或150°.【解析】分析：（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD，再由全等三角形对应边相等得到OC＝CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．（3）若△AOD是等腰三角形，分三种情况讨论即可．详解：（1）∵△BOC