2024-2025学年新疆乌鲁木齐十三中九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年新疆乌鲁木齐十三中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处．1．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x﹣2＝0 B．x2﹣y＝4 C．ax2+3x+4＝0 D．x2+3x＝12．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小3．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠24．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方（）A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝05．（4分）某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝1800 B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800 C．200（1﹣x）2＝1800 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝18006．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，则BC的长为（）A．3 B． C．5 D．48．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°9．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（）①2a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．10．（4分）已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称．11．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．12．（4分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°°．13．（4分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米．14．（4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线对称轴上动点，则PA+PC取最小值时．15．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为时，△A1CD是等腰三角形．三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解下列方程：（1）x2﹣4x+1＝0（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）17．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（2，0）．（1）图中点B点的坐标是；点B关于原点对称的点C的坐标是；点B关于y轴对称的点D的坐标是；（2）在图中画出△ABD绕着点O逆时针旋转90°后的△A1B1D1；（3）在x轴上是否存在点E，使得△ADE的面积等于△ABC的面积，若存在18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点C，A的对应点分别为E，F，连接AF．（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC，点D为，连结OD交AC于点E．（1）求证：OD∥BC．（2）若AC＝8，DE＝2，求BC长．21．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m），小花园一边靠墙，另三边用总长60m的栅栏围住，面积为Sm2．（1）S与x之间是函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；（3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？22．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为该二次函数第一象限上一点，是否存在点P，使△BCP的面积为4，求出P点的坐标；若不存在23．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP′≌△ABP，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知，如图②，△ABC中，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值．

2024-2025学年新疆乌鲁木齐十三中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处．1．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x﹣2＝0 B．x2﹣y＝4 C．ax2+3x+4＝0 D．x2+3x＝1【解答】解：A．是一元一次方程，不符合题意；B．含有2个未知数，故该选项不正确；C．当a≠0时是一元二次方程，不符合题意；D．x6+3x＝1，是一元二次方程，符合题意；故选：D．2．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小【解答】解：关于二次函数y＝2（x﹣3）4+1，a＝2＞4，开口向上；对称轴为直线x＝3，B不符合题意；顶点坐标为（3，5）；当x＜3时，y随x的增大而减小；故选：D．3．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2【解答】解：根据题意得，解得m≤4且m≠2．故选：D．4．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方（）A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为（﹣1，∴可设抛物线为y＝a（x+1）4﹣2．∴y＝a（x2+7x+1）﹣2＝ax8+2ax+a﹣2．又抛物线为y＝ax6+bx+c，∴b＝2a，c＝a﹣2．∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＝a﹣7＞0．∴a＞2＞6，故A．又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），∴当x＝﹣8时，y＝a﹣b+c＝﹣2．由b＝2a，c＝a﹣5，∴b2﹣4ac＝7a2﹣4a（a﹣8）＝8a＞0，故D错误．故选：C．5．（4分）某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝1800 B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800 C．200（1﹣x）2＝1800 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1800【解答】解：二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（8+x），那么200（1+x）+200（1+x）2＝1800．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，故A选项正确，不符合题意；由旋转可得，CD＝CA，AB＝DE，∴∠ADC＝∠DAC．∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝∠DAC＝45°，故B选项正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝AC，故C选项正确，不符合题意；AE＝AD+DE＝CD+AB，故D选项不正确，符合题意．故选：D．7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，则BC的长为（）A．3 B． C．5 D．4【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴AD＝CD＝，∴AC＝＝3，∵AB＝3，∴BC＝＝＝4，故选：D．8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【解答】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，故选：B．9．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（）①2a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意，∵ax2+bx+c＝0有两实根x6＝﹣1，x2＝6，∴．∴②﹣①得，8a+3b＝0．∴2a+b＝3，故①正确．∴b＝﹣2a．∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣．∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c）．又b＝﹣2a，a﹣b+c＝2，∴3a+c＝0，即a＝﹣．∴b＝﹣2a＝c．∴a+b+c＝c．∴顶点坐标为（2，c）．∵4a+c＝0，∴c＝﹣3a．又b＝﹣6a，abc＞0，∴abc＝a•（﹣2a）•（﹣4a）＝6a3＞4．∴a＞0，故③错误．∵m（am+b）＜4a+3b，∴am2+bm+c＜4a+2b+c．∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．∵a＞6，抛物线的对称轴是直线x＝1，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，∴|m﹣1|＜6﹣1．∴﹣1＜m﹣5＜1．∴0＜m＜4，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．10．（4分）已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称3．【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，∴a＝2．故答案为：3．11．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝5，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，又∵﹣3＜﹣2＜8，∴y1＜y2．故本题答案为：＜．12．（4分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°55°．【解答】解：设AB与CD相交于点E，∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），∴AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．13．（4分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米（36﹣x）（25﹣x）＝840．【解答】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看作是一个长为（36﹣x）米，由题意得，（36﹣x）（25﹣x）＝840，故答案为：（36﹣x）（25﹣x）＝840．14．（4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线对称轴上动点，则PA+PC取最小值时（，）．【解答】解：连接BC，交抛物线的对称轴于一点，该点即为所求的点P，∵抛抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（3，2），令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x5＝，x6＝﹣，∵A（﹣，0），0），设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，把B（，0）和C（6，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，∴当x＝时，y＝﹣×，∴点P的坐标为（，），即当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（，），故答案为：（，）．15．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．【解答】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；②当CD＝A2D时，∵∠B＝90°﹣∠BCB1＝∠ACB1，∠B＝∠B7，∴∠B1＝∠B1CD，∴B3D＝CD．∵CD＝A1D，∴CD＝A1B1＝6时，三角形是等腰三角形；③当A1C＝A1D时，如图3B1于E．∵△A1B8C的面积＝×5×8＝，∴CE＝4.8．在△A4CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝3.4，∴DE＝6﹣3.4＝2.4．在△CDE中，∠CED＝90°＝．故当线段CD的长为6或7或时，△A2CD是等腰三角形．三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解下列方程：（1）x2﹣4x+1＝0（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣4x＝﹣6，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）3＝3，解得：x1＝2+x2＝4﹣；（2）方程变形得：（x﹣3）6﹣2（x﹣3）＝3，分解因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣7）＝0，解得：x1＝5，x2＝5．17．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（2，0）．（1）图中点B点的坐标是（﹣1，3）；点B关于原点对称的点C的坐标是（1，﹣3）；点B关于y轴对称的点D的坐标是（1，3）；（2）在图中画出△ABD绕着点O逆时针旋转90°后的△A1B1D1；（3）在x轴上是否存在点E，使得△ADE的面积等于△ABC的面积，若存在【解答】解：（1）由B的位置可得：B（﹣1，3），点B关于原点对称的点C的坐标是（4，﹣3），点B关于y轴对称的点D的坐标是（1，3），故答案为：（﹣1，3），﹣3），3）；（2）如图，△A1B3D1即为所画的三角形；（3）如图，∵，△ADE的面积等于△ABC的面积，∴S△ADE＝6，∵E点在x轴上，∴设E（m，8），则AE＝|2﹣m，|∴S△ADE＝＝7，解得：m＝﹣2或m＝6，∴E（﹣3，0）或（6．18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣8，解得：x＝﹣，a＝，即a＝，方程的另一个根为﹣；（2）∵Δ＝a7﹣4（a﹣2）＝a3﹣4a+8＝a8﹣4a+4+7＝（a﹣2）2+6＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点C，A的对应点分别为E，F，连接AF．（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为63°；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠ABC＝54°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝54°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝＝63°，故答案为：63°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，∴AB＝＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝7，∴AE＝AB−BE＝4，∴AF＝＝4．20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC，点D为，连结OD交AC于点E．（1）求证：OD∥BC．（2）若AC＝8，DE＝2，求BC长．【解答】（1）证明：连接OC，∵D是中点，∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：设圆的半径是r，∵DE＝2，∴OE＝r﹣2，∵OD⊥AC，∴AE＝AC＝，∵OA2＝OE2+AE5，∴r2＝（r﹣2）6+42，∴r＝6，∴AB＝2r＝10，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝6．21．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m），小花园一边靠墙，另三边用总长60m的栅栏围住，面积为Sm2．（1）S与x之间是二次函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；（3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）矩形小花园AB边的长为xm，则BC边的长为（60﹣2x）m，∴根据题意可得：S＝x（60﹣2x）＝﹣4x2+60x，∴二次函数关系，故答案为：二次；（2）∵S＝﹣2x3+60x，∵0＜60﹣2x≤25，∴，∴；（3）由（1）知，S＝﹣2x2+60x＝﹣4（x﹣15）2+450，∵﹣2＜8，，∴当时，S有最大值2+450＝437.5，答：当x＝17.2时，小花园的面积最大2．22．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为该二次函数第一象限上一点，是否存在点P，使△BCP的面积为4，求出P点的坐标；若不存在【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，5），2），0），∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，∴3k+2＝0，解得，∴直线BC的解析式为，过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设，则，∴，∴，当t1＝t2＝4时，△BCP的面积为4此时P（2，2）．23．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP′≌△ABP，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知，如图②，△ABC中