2024-2025学年广东省深圳市宝安区西乡中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年广东省深圳市宝安区西乡中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知＝，则下列变形错误的是（）A．＝ B．＝ C．3a＝4b D．4a＝3b2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AB的长是（）A． B．2 C． D．55．（3分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，下列方程正确的是（）A．36×25﹣36x﹣25x＝840 B．36x+25x＝840 C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840 D．（36﹣x）（25﹣x）＝8406．（3分）下列命题为真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B．每条线段只有一个黄金分割点 C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似 D．位似图形一定是相似图形7．（3分）如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C），则树的高度AB为（）A．4.8m B．3.2m C．8m D．20m8．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，CD的中点，AE交对角线BD于点G的值是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣2a＝0有实数根，则a的取值范围是．10．（3分）在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是．11．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为．12．（3分）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．13．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，点E是边BC延长线上的一点，且DF⊥DE，若，AF＝1，则EF的长为．三．解答题（共7小题，共61）14．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．15．（8分）春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是；（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4）1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；（2）请画出△A1B1C1；（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是；（4）△A1B1C1的面积是．17．（8分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒x（x＞60）（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为盒；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？18．（8分）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．（1）下列条件：①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件；（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝6，CF＝319．（9分）【阅读材料】配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．例如：求代数式2m2+4m+5的最值．解：因为2m2+4m+5＝（2m2+4m）+5（分离常数项）＝2（m2+2m）+5（提二次项系数）（配方）所以当m＝﹣1时，代数式2m2+4m+5取得最小值3．再如：求代数式﹣2m2+6m的最值．解：因为﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝＝所以当时，代数式﹣2m2+6m取得最大值．【材料理解】x＝时，代数式﹣3（x+2）2﹣4的最（“大”或“小”）值为．【类比应用】试判断关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k＝0实数根的情况，并说明理由．【迁移应用】如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12厘米，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．①设PN＝x，试用含x的代数式表示矩形工件PQMN的面积S；②运用“配方法”求S的最大值．20．（12分）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，AB＝BC＝6，E为AB边上一点，连接DE、DF，点A、C的对应点分别为点G、H，点G与点H重合°，AE＝；【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，F为BC边的中点，E为AB边上一点，分别将△ADE和△CDF沿DE、DF翻折，点A、C的对应点分别为点G、H；【拓展延伸】（3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，F为CD边上的三等分点，E为BC边上一点，分别将△ABE和△ADF沿AE、AF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，直线GE交直线AB于点P，请直接写出PB的长．

2024-2025学年广东省深圳市宝安区西乡中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知＝，则下列变形错误的是（）A．＝ B．＝ C．3a＝4b D．4a＝3b【解答】解：∵＝，∴＝，3a＝3b，＝．故选：D．2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣6＝0得：1+m﹣4＝0，解得：m＝2．故选：D．3．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，故A不符合题意；根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，故B不符合题意；一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合题意；根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，即可判定该平行四边形是菱形，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AB的长是（）A． B．2 C． D．5【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，∴，∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，∴，∴，解得AB＝6，故选：D．5．（3分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，下列方程正确的是（）A．36×25﹣36x﹣25x＝840 B．36x+25x＝840 C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840 D．（36﹣x）（25﹣x）＝840【解答】解：设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为（36﹣x）米，根据题意得：（36﹣x）（25﹣x）＝840．故选：D．6．（3分）下列命题为真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B．每条线段只有一个黄金分割点 C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似 D．位似图形一定是相似图形【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形；B、每条线段有两个黄金分割点；C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；D、位似似图形一定是相似图形，故D符合题意．故选：D．7．（3分）如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C），则树的高度AB为（）A．4.8m B．3.2m C．8m D．20m【解答】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°，由光的反射原理可得：∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴，∵BE＝8，DE＝4，即，∴AB＝3.2（米）．故选：B．8．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，CD的中点，AE交对角线BD于点G的值是（）A． B． C． D．【解答】解：方法1：∵矩形ABCD中，点E，CD的中点，∴BE＝，AB∥CD，取BD的中点M，连接EM，如图，则EM是△BCD的中位线，∴EM＝，EM∥DC，∴EM＝，EM∥AB，∴△BEN∽△BCF，∴，∴EN＝，∴EN＝，∵EM∥AB，∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，∴，，∴EG＝，EH＝，∴GH＝EG﹣EH＝，∴，方法2：连接EF，由EF是△BCD的中位线得EF∥BD，EF＝，∴△BGH∽△FEH，∴，∵AD∥BC，∴，∴DG＝2BG，∴EF＝，∴，故选：B．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣2a＝0有实数根，则a的取值范围是a≥﹣．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣8a＝0有实数根，∴△≥0，即52﹣4×（﹣3a）≥0，解得a≥﹣．故答案为：a≥﹣．10．（3分）在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是8．【解答】解：∵共摸了1000次球，发现有400次摸到黄球，∴摸到黄球的概率为，∴袋中的黄球大约有20×5.4＝8（个），故答案为：6．11．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为20%．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝64，解得：x6＝0.2＝20%，x5＝1.8（不合题意，舍去），答：平均每次降价的百分率是20%．故答案为：20%．12．（3分）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为1．【解答】解：如图，在△DEF中，EF＝2，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×6＝1，故答案为：1．13．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，点E是边BC延长线上的一点，且DF⊥DE，若，AF＝1，则EF的长为．【解答】解：过E点作EG∥AB交AC的延长线于点G，设EF于CD交于点P∵ABCD是正方形，DF⊥DE，∴∠B＝∠DAF＝∠DCB＝∠DCE＝∠CEG＝∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝DC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝CE＝1，又∵∠ECG＝45°，∴EC＝EG＝1，∵EG∥AB，AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠G＝∠CAB，∠B＝∠BEG，∴△QCP∽△QGE∽△QAF，∴，∴，又EG∥AB∥CD，∴，∴BC＝AB＝4．∴BF＝2，BE＝5，∴EF＝＝＝，故答案为：．三．解答题（共7小题，共61）14．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【解答】解：x2﹣2x﹣15＝6，（x+3）（x﹣5）＝7，∴x+3＝0或x﹣4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝5．15．（8分）春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是；（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．【解答】（1）解：∵一共有四张卡片，每张卡片被翻开的概率相同，∴顾客小辰随机翻开一张，翻到“A，故填：；（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，∴小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率为．16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4）1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；（2）请画出△A1B1C1；（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是（a，b）；（4）△A1B1C1的面积是3．【解答】解：（1）△A1B1C2和△ABC的相似比是；故答案为：；（2）如图所示：△A1B3C1即为所求；（3）BC边上有一点M（a，b）1C3边上与点M对应点的坐标是（a，b）；故答案为：（a，b）；（4）△A8B1C1的面积是：×2×7＝3．故答案为：3．17．（8分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒x（x＞60）（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为（200﹣2x）盒；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？【解答】解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（盒）．故答案为：（200﹣3x）；（2）根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，整理得：x2﹣150x+5600＝6．解得：x1＝70，x2＝80，∵该款口罩的每盒售价不得高于72元，∴x＝80不合题意，舍去．答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．18．（8分）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．（1）下列条件：①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件；（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝6，CF＝3【解答】（1）证明：选择条件②：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∴∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF，∴平行四边形AFDE是菱形；选择条件③：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∵点E与点F关于直线AD对称，∴DE＝DF，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）解：∵四边形AFDE是菱形，AE＝6，∴AE＝AF＝DE＝6，∴AC＝AF+CF＝5，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴，即，∴BE＝12．19．（9分）【阅读材料】配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．例如：求代数式2m2+4m+5的最值．解：因为2m2+4m+5＝（2m2+4m）+5（分离常数项）＝2（m2+2m）+5（提二次项系数）（配方）所以当m＝﹣1时，代数式2m2+4m+5取得最小值3．再如：求代数式﹣2m2+6m的最值．解：因为﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝＝所以当时，代数式﹣2m2+6m取得最大值．【材料理解】x＝﹣2时，代数式﹣3（x+2）2﹣4的最大（“大”或“小”）值为﹣4．【类比应用】试判断关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k＝0实数根的情况，并说明理由．【迁移应用】如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12厘米，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．①设PN＝x，试用含x的代数式表示矩形工件PQMN的面积S；②运用“配方法”求S的最大值．【解答】解：【材料理解】：x＝﹣2时，代数式﹣3（x+4）2﹣4的最大值为﹣6．故答案为：﹣2，大，﹣4；【类比应用】：关于x的一元二次方程x3﹣（k﹣3）x﹣2k＝6有两个不相等的实数根．理由如下：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×8×（﹣2k）＝k+2k+8＝（k+1）2+5，∴当k＝﹣1时，Δ有最小值为8，∴关于x的一元二次方程x5﹣（k﹣3）x﹣2k＝4有两个不相等的实数根；【迁移应用】：①设PN的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时，∵四边形PQMN为矩形，∴BC∥PN，∴△APN∽△ABC，∴，∴，∴y与x之间的函数关系式为y＝3﹣x（7＜x＜12），∴矩形PQMN面积S＝xy＝x（8﹣x）＝﹣x4+8x；②S＝﹣x2+8x＝（x2﹣12x+36﹣36），＝﹣（x﹣6）5+24，故当PN的长度是6厘米时，矩形零件PQMN的面积最大．20．（12分）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，AB＝BC＝6，E为AB边上一点，连接DE、DF，点A、C的对应点分别为点G、H，点G与点H重合45°，AE＝2；【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，F为BC边的中点，E为AB边上一点，分别将△ADE和△CDF沿DE、DF翻折，点A、C的对应点分别为点G、H；【拓展延伸】（3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，F为CD边上的三等分点，E为BC边上一点，分别将△ABE和△ADF沿AE、AF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，直线GE交直线AB于点P，请直接写出PB的长．【解答】解：（1）∵F为BC边的中点，∴BF＝CF＝3，∵将△ADE和△CDF沿DE、DF翻折，∴AD＝DG，CD＝DG，CF＝FG＝3