2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编：函数的概念及其表示

第1页/共1页2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编函数的概念及其表示一、单选题1．（2024北京东城高一上期末）下列函数中，与是同一函数的是（

）A． B． C． D．2．（2024北京昌平高一上期末）向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（

） B． C． D．3．（2023北京十一学校高一上期末）下列函数，是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与4．（2023北京十一学校高一上期末）已知函数，则等于（

）A． B． C． D．5．（2022北京密云高一上期末）下列函数中，与函数有相同定义域的函数是（

）A． B． C． D．6．（2022北京顺义高一上期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．7．（2022北京通州高一上期末）已知函数表示为设，的值域为，则（

）A．， B．，C．， D．，8．（2022北京丰台高一上期末）已知函数，那么（

）A．-2 B．-1 C． D．29．（2022北京西城高一上期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．10．（2022北京北师大附中高一上期末）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2023北京丰台高一上期末）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．乙的速度为米/分钟B．分钟后甲的速度为米/分钟C．乙比甲晚分钟到达地D．，两地之间的路程为米三、填空题12．（2024北京平谷高一上期末）已知函数，那么当时，函数取得最小值为．13．（2024北京昌平高一上期末）函数的定义域为.14．（2024北京西城高一上期末）函数的定义域为.15．（2023北京第十二中学高一上期末）已知函数可用列表法表示如下，则的值是．12316．（2023北京密云高一上期末）混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若使得，且当，时，，则称是的一个周期为的周期点．给出下列四个结论：①若，则是周期为的周期点；②若，则是周期为的周期点；③若，则存在周期为的周期点；④若，则，都不是的周期为的周期点．其中所有正确结论的序号是．17．（2022北京门头沟高一上期末）已知，则.18．（2022北京门头沟高一上期末）已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是．19．（2022北京丰台高一上期末）函数=的定义域为20．（2022北京大兴高一上期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是，．21．（2022北京丰台高一上期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲､乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横､纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横､纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2.给出下列四个结论：①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.其中所有正确结论的序号是.22．（2022北京怀柔高一上期末）函数的定义域为.23．（2022北京石景山高一上期末）函数的定义域是.24．（2023北京密云高一上期末）函数的定义域为.25．（2022北京丰台高一上期末）已知若，且，则；若对任意的，直线与函数的图像都有两个交点，则实数的取值范围是．四、解答题26．（2023北京平谷高一上期末）如图，四边形是高为2的等腰梯形．

(1)求两条腰OC，AB所在直线方程；(2)记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．①当时，求图形面积的值；②试求函数的解析式，并画出函数的图象．27．（2023北京延庆高一上期末）已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．(1)判断是否正确？并说明理由；(2)证明：．

参考答案1．A【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.【详解】函数的定义域为，对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确；对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误；对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误.故选：A.2．C【分析】分析函数增长速度得到结论.【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，水面的高度变化应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢.故选：C3．C【分析】根据函数相等的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于选项B：、的定义域均为，但，所以不是同一个函数，故B错误；对于选项C：与的定义域均为，且，所以是同一个函数，故C正确；对于选项D：因为的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误；故选：C.4．D【分析】利用换元法可求出函数的解析式.【详解】令，则，且，所以，，故.故选：D.5．C【分析】依次求出每个函数的定义域即可.【详解】函数的定义域为的定义域为，的定义域为0,+∞，的定义域为，的定义域为故选：C6．A【分析】由被开方数非负求解即可【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故选：A7．A【分析】根据所给函数可得答案.【详解】根据题意得，的值域为.故选：A.8．A【分析】直接代入计算即可.【详解】故选：A.9．B【分析】解不等式组即可得定义域.【详解】由得：所以函数的定义域是.故选：B10．B【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为，故不符合题意.故选：B11．ABD【分析】根据图象可知，前5分钟为乙比甲多走的距离，即可计算出乙的速度为米/分钟，可得A正确；利用第5到25分钟的距离差可得，甲的原速度为250米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，即B正确；由图象可看出86分钟后甲乙两人距离越来越小，即可知第86分钟时甲到达地，利用时间差可得乙比甲晚到分钟，即C错误；根据甲行驶的总距离即可计算出，两地之间的路程为米，即D正确.【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知乙的速度为米/分钟，故选项A正确；设甲的原速度为，由图可知，解得米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；根据图像当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，，两地之间的路程为米，故选项D正确；故选：ABD12．【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，又，所以，当且仅当，即时，取等号，故答案为：，.13．【分析】由函数定义域的求法直接求解.【详解】由.故答案为：14．【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】解：根据题意，要使函数有意义，则需满足，解得且.所以函数的定义域为：故答案为：【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题.15．3【分析】根据表格由内向外求解即可．【详解】根据表格可知，∴．故答案为：3．16．②③④【分析】当时，由可知，不符合定义，知①错误；假设是周期为的周期点，验证可知，成立，知②正确；令，可得，，，知③正确；由二次函数值域知恒成立，从而得到④正确.【详解】对于①，当时，，，解得：，又，，不满足当，时，，不是周期为的周期点；对于②，假设是周期为的周期点，则需，；，，假设成立，②正确；对于③，当时，，，，是周期为的周期点，③正确；对于④，，恒成立，不存在的情况，即，都不是的周期为的周期点，④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是明确是的一个周期为的周期点的定义，即需同时满足和的条件，根据递推关系式验证是否满足定义即可得到结论.17．/0.5【分析】根据分段函数求函数值解决即可.【详解】由题知，，所以，故答案为：18．【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可.【详解】因为是上的严格增函数，当时，在上单调递增，所以，则；当时，，当时，，显然在上单调递减，不满足题意；当时，开口向下，在上必有一段区间单调递减，不满足题意；当时，开口向上，对称轴为，因为在上单调递增，所以，则；同时，当时，因为在上单调递增，所以，得；综上：，即.故答案为：.19．且【分析】根据初等函数定义及计算法则可求出定义域.【详解】根据函数定义可知，解得且故答案为：且20．（答案不唯一）；【分析】根据所学函数，取特例即可.【详解】根据所学过过的函数，可取，，函数的对应法则相同，值域都为，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.故答案为：；21．①②④【分析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可【详解】对于①，由题意可知，的横､纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，对于②，由题意可知，的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以②正确，对于③，④，由图可知，的横、纵坐标之和大于A2,故答案为：①②④22．【分析】使函数解析式有意义可得，解不等式即可求解.【详解】解：根据函数，可得，求得，所以函数的定义域为，故答案为：.23．【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：24．【解析】根据解析式列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】由解得且，即函数的定义域为.故答案为：.25．或−∞,1【分析】第一空，将代入，分段讨论解方程即可求出答案；第二空，画出函数的大致图象，数形结合即可求出答案．【详解】解：当时，由得，当时，，解得；当时，，解得，或（舍去）；画出函数的图象如图，∵对任意的，直线与函数的图像都有两个交点，∴由图可知，，解得；故答案为：或；−∞,1．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于基础题．26．(1)腰OC所在直线方程为，腰AB所在直线方程为；(2)①，②，图象见解析.【分析】(1)由已知，解三角形求点的坐标，利用待定系数法求其方程；(2)①解三角形结合三角形面积公式求时的解析式，由此求时，的值；②分别在条件，，下求，由此可得函数的解析式，作出函数的图象．【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，又，，所以四边形为矩形，且，因为四边形为等腰梯形，，所以，，所以，设直线的方程为，则，所以，所以腰OC所在直线方程为，设直线的方程为，则，所以，所以腰AB所在直线方程为，

（2）①当时，设直线与直线的交点分别为，则，所以，所以，又，所以，所以，故当时，，

②由①知，当时，，当时，设直线与直线的交点分别为，则，由已知四边形为矩形，所以，

当时，设直线与直线的交点分别为，则，所以，所以，又，所以，所以，

所以，作函数的图象可得

27．(1)不正确，理由见解析；(2)见解析.【分析】（1）通过举反例即