122向量的线性相关性

第二节向量的线性相关性基本概念:

定义设是m个n元向量，k1,k2,…,km是任意m个数，称下列向量是向量组的一个线性组合。此时，也称向量

可由向量组

线性表出。例一个向量

的线性组合为______。例向量组能否线性表出？

例已知向量问

能否由线性表出？解设则有

由此得（存在使(1)成立它们使(2)成立。即β可由线性表出线性方程组(2)有解）结论：①线性表出非齐次方程组有解

②表示法唯一解唯一

定义设是m个n元向量。若存在m个不全为零的数，使经验证，(2)有解，故

可由线性表出。▌则称向量组线性相关。不线性相关的向量组称为线性无关。

例设与

是两个2元实向量，则

线性相关与

共线。

例设

与

是两个n元向量，则

,

线性相关

与

对应分量成比例。例一个向量

线性相关。例验证向量组是否线性相关。解设则有（存在不全为零的使(1)成立它们也使(2)成立，即线性相关齐次线性方程组(2)有非零解）因为方程组(2)有非零解，故线性相关。▌线性无关的等价条件：(1)不存在不全为零的数，使(2)对任意不全为零的数，均有(3)由必可导出结论：①线性相关齐次线性方程组有非零解；②线性无关齐次线性方程组没有非零解。

例指出向量组的线性相关性。解令则有因方程的个数<未知数的个数，故上述齐次线性方程组有非零解。于是，线性相关。▌

例已知向量组线性无关。令问是否线性相关？解令则有因线性无关，故又上述方程组没有非零解，故。由此得线性无关。

例在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的子向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关。例包含零向量的向量组线性相关。▌例

m个n元向量（m>n）线性相关。例已知是三个4维向量，令证明：若线性无关，则也线性无关。证明令，则有（1）（2）

由式(1)得，（3）已知线性无关，故由式(3)得所以，线性无关。

▌问题：

(1)

由线性相关是否可得出也线性相关？

(2)

由的线性相关性能对的线性相关性做出那些判断？

(3)

上述讨论是否可在向量个数、向量维数等方面一般化？

定理向量组线性相关的充分必要条件是：其中至少存在一个向量

可由其余向量线性表出。

例设是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则线性无关；对任一n元向量

，均有线性相关，且

可由线性表出。

定理已知向量组线性无关，而向量组线性相关，则

可由线性表出且表示法唯一。证明

因为线性相关，所以存在不全为零的数，使若，则由可得且不全为零。由此得线性相关，与假设矛盾，故。于是，即

可由线性表出。设

则因线性无关，故即所以，表示法唯一。

例已知向量组线性无关，向量组线性相关。问能否由线性表出？

证明（法一）因为向量组线性无关，故其部分组也线性无关。又向量组线性相关，所以可由线性表出。

▌

（法二）因为向量组线性相关，故存在不全为零的三个数，使（1）若，则不全为零，并且由此得线性相关。这与已知条件“线性无关”相矛盾。所以，。于是由（1）式得即可由线性表出。

定义设与是两组n元向量，若每个均可由线性表出，则称向量组可由向量组

线性表出。▌若向量组与向量组可相可相互线性表出，则称向量组与向量组

等价，记为例讨论下列向量之间的关系：(1)与例一个向量组可线性表出它的任一个部分组。性质向量组的等价具有(1)自反性：{}{}；{}{}；(2)与(2)对称性：若{}{}，则若存在另一组n元向量，使(3)传递性：若

{}{}{}{}{}{}，则且定理设是一组n元向量。（1）可由线性表出；则向量组线性