44导数在经济中的应用

§4-4

二、经济应用问题举例导数在经济中的应用问题

一、函数的最值经济数学基础》配套课件则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)

求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值一、函数的最值经济数学基础》配套课件特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)经济数学基础》配套课件例1解计算比较得经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件1.成本最小问题例2

已知某个企业的成本函数为其中C表示成本(单位：千元)，q表示产量(单位：吨)，求平均可变成本y(单位：千元)的最小值.解:平均可变成本令得q=4.5(吨).所以q=4.5时，y取得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值.即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最小值9750元.

二、经济应用问题举例经济数学基础》配套课件设某产品的总成本函数为（元）（ｑ为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？解：该产品的平均产品函数为令，即

求得唯一驻点，所以在处取得最小值，最小值为练习又因为经济数学基础》配套课件例3某公司有50套公寓要出租，当租金定为每套每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每套每月增加10元时，就有一套租不出去，而租出去子的房每月每套需花费20元的维修费，问房租定为多少时可获得最大收入？解设租金每套每月为元，

租出去的公寓有

总收入为令

，得

由于

，因此是函数的唯一极大值点，

所以在该点取得最大值，2.收入、利润最大问题经济数学基础》配套课件即房租定为每套每月350元可获得最大收入，最大收入为（元）．

例4设某产品的价格与需求的关系为，总成本函数（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润．解该产品的收益函数为利润函数为令

，得唯一驻点

经济数学基础》配套课件答案：当产品为250个单位，价格为175元/单位时，利润最大，最大利润为16950元．

在

，所以处取得最大值，其最大值为（元）此时（元）经济数学基础》配套课件解经济数学基础》配套课件解：经济数学基础》配套课件练习

某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元.其总收入R(单位：万元)是产量q(单位：百件)的函数.

求达到最大利润时的产量.

经济数学基础》配套课件解由题意，成本函数为

C=3+2q，于是，利润函数令:得q=3(百件).所以当q=3时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点.即产量为300件时取得最大利润.经济数学基础》配套课件解：经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件3.库存管理问题的一半（即例5

假设某厂生产的产品年销量（订货量）为100万件，这些产品分批生产，每批需生产准备费1000元（与批量大小无关），每件产品的库存费为0.05元，且按批量）收费.试求使每年总库存费（即生产准备费与库存费之和）为最小的最优批量（称为经济批量）.

解：设每年的总库存费为，批量为，则由得驻点为

由

可知在驻点取得最小值.

因此，最优批量为20万件.经济数学基础》配套课件4.收益函数的图象经济数学基础》配套课件解经济数学基础》配套课件x(0,2)2(2,4)4(4,6)+0------0+极大值拐点经济数学基础》配套课件其图形如下：0xR246该曲线的经济含义：该商