43函数的凹凸性

§4-3

二、曲线的渐近线及函数图形的描绘曲线的凹凸性及函数图象的描绘一、曲线的凹凸性经济数学基础》配套课件

如图所示，曲线弧ABC部分是向下弯曲的，这时曲线位于切线的下方；而曲线弧CDE部分是向上弯曲的，曲线位于切线的上方．一、曲线的凹凸性与拐点

C

A

y

E

B

D

x

O

a

c

b

经济数学基础》配套课件定义4.3.1

如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称这条曲线弧是凹的；如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称这条曲线弧是凸的．曲线凹凸的判别观察图形中切线的斜率变化情况.上图中曲线弧在区间内是凸的，曲线弧在区间内是凹的.经济数学基础》配套课件在图1中,当时,即是单调增加的;在图2中,当时,即是单调减少的.的单调性可用来判别.YXO图1YXO图2经济数学基础》配套课件定理4.3.1设函数在闭区间上连续,在开区间内二阶可导且恒大(小)于零,则曲线在区间上是凹(凸)的.用表格直观记忆:+-经济数学基础》配套课件例1解注意到,经济数学基础》配套课件定义4.3.2

连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，称为曲线

y=f(x)的拐点．分析：由上述定理可知，

以判断曲线的凹凸.如果

就是曲线的一个拐点．另外，二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点．

经济数学基础》配套课件判定曲线

y=f(x)的拐点的一般步骤：

(1)确定y=f(x)的定义域.(2)求f

(x)，f

(x)，令f

(x)=0，求出所有可能拐点x0.(3)考察f

(x)在每个可能拐点x0左右两侧的符号，如果f

(x)的符号相反，则点(x0

,f(x0))

是拐点，否则就不是．

经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件例解凹的∪凸的∩凹的∪拐点拐点经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件例

求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点

.凹凸经济数学基础》配套课件练习.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸经济数学基础》配套课件内容小结1.

可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点经济数学基础》配套课件无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,（一）曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”经济数学基础》配套课件引例（如图所示）

yxOy=arctanx经济数学基础》配套课件y

x=1xO1

(2,0)

y=ln(x-1)（如图所示）经济数学基础》配套课件定义4.3.3、4.3.4则称直线

y=b为曲线

y=f(x)的水平渐近线.则称直线

x=x0

为曲线

y=f(x)的垂直渐近线.经济数学基础》配套课件所以的两条水平渐近线.例如经济数学基础》配套课件例4

求下列曲线的水平或垂直渐近线方程:(1)解所以是曲线的水平渐近线.经济数学基础》配套课件解经济数学基础》配套课件(3)解因为=1,所以因为所以是曲线的垂直渐近线.是曲线的水平渐近线.例4

求下列曲线的水平或垂直渐近线方程:经济数学基础》配套课件（二）函数图形的描绘步骤:1.

确定函数的定义域,期性;2.

求并求出及3.

列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.

求渐近线;5.

确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周经济数学基础》配套课件例5.

描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于

y

轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)经济数学基础》配套课件(极大)(拐点)为水平