115一般线性方程组解的讨论

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第十一章矩阵

第五节一般线性方程组解的讨论一.线性方程组的矩阵表示线性方程组（个未知数，个方程）非齐次线性方程组：不全为零；齐次线性方程组：全为零．令，，其中称为系数矩阵，称为未知矩阵，称为常数项矩阵．由矩阵的乘法，方程组可表示为．由方程组的系数与常数项所组成的矩阵称为增广矩阵．

二.非齐次线性方程组解的讨论(2)如果，则线性方程组有唯一解.(1)如果，则线性方程组有无穷多组解（含个自由未知量）;非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和它的增广矩阵的秩相等，即.在有解的情况下定理:例:求解非齐次线性方程组.

对增广矩阵施行初等行变换因为，，所以，方程组无解．注：矩阵第3行表示矛盾方程．例:求解非齐次线性方程组.

对增广矩阵施行初等行变换解得，为自由未知量，令可取任意常数,，方程组有无穷多个解（其中为任意常数）求解非齐次线性方程组的步骤：相等唯一解不相等无解无穷多组解（自由未知数个数）增广矩阵初等行变换行阶梯形矩阵

三.齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数矩阵的秩．推论如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩，有唯一解，即只有零解．定理:例:求解齐次线性方程组.

对系数矩阵施行初等行变换解:解得，令，则（其中为任意常数）

求解齐次线性方程组的步骤：相等，即只有零解不相等，即有非零解（自由未知数个数）系数矩阵

初等行变换行阶梯形矩阵

课堂练习：2．求解齐次线性方程组.

1．求解非齐次线性方程组.

（答案:无解）（答案:，为任意常数）1．线性方程组的矩阵表示

．2．非齐次线性方程组解的判定．3．齐次线性

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