2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1第1课时集合课后素养落实含解析新人教B版必修第一册VIP

PAGE课后素养落实(一)集合(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是()A．关于x的方程x2－1＝0的实数解B．2024年高考数学难题C．全部有理数D．小于π的正整数B[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B．]2．(多选题)下列关系中，正确的是()A．eq\f(1,2)∈R B．eq\r(5)∉QC．|－3|∈N D．|－eq\r(3)|∈QABC[eq\f(1,2)是实数，eq\r(5)是无理数，|－3|＝3是自然数，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是无理数．因此，A、B、C正确，D错误．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14 B．－5C．eq\f(3,7) D．eq\r(7)D[由题意知a应为无理数，故a可以为eq\r(7).]4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC肯定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形D[因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不行能是等腰三角形，故选D．]5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合D．P是满意不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．]二、填空题6．给出下列说法：①0∈∅；②假如a，b∈Z，则a－b∈Z；③全部正方形构成的集合是有限集；④假如a∈N，则－a∉N.其中正确的是________．(填序号)②[0∉∅，故①错；②正确；③是无限集；当a＝0时，－a＝0∈N，④错误．]7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1．]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于eq\r(11)的全部实数的集合，则2eq\r(3)________B,1＋eq\r(2)________B；(2)设集合C是满意方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；(3)设集合D是满意方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D．(1)∉∈(2)∉∈(3)∉∈[(1)∵2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，∴2eq\r(3)∉B；∵(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq\r(2)<eq\r(11)，∴1＋eq\r(2)∈B．(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C．(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D．]三、解答题9．设A是由满意不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a[解]∵a∈A且3a∈A∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1．10．已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.[解]当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2，或x＝1，经检验，x＝－2，x＝1均不符合题意．当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，得x＝－3或x＝2.经检验，x＝－3或x＝2均符合题意．∴x＝－3或x＝2.1．(多选题)已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列推断正确的是()A．1∈M B．0∉MC．－1∈M D．－2∈MBC[由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1．]2．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含元素()A．2个 B．3个C．4个 D．5个A[当x>0时，x＝|x|＝eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)＝－x<0，此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)＝－x＝0，此时集合共有1个元素，当x<0时，eq\r(x2)＝|x|＝－x，－eq\r(3,x3)＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A．]3．已知集合P中元素x满意：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________，集合P中的元素分别是________．63,4,5[∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a＝6，此时集合P中的元素是3,4,5.]4．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3[当a，b同正时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝1＋1＝2；当a，b同负时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2；当a，b异号时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]设集合S中的元素全是实数，且满意下面两个条件：①1∉S；②若a∈S，则eq\f(1,1－a)∈S.(1)求证：若a∈S，则1－eq\f(1,a)∈S；(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．[解](1)证明：因为1∉S，由eq\f(1,1－a)∈S，可得eq\f(1,1－\f(1,1－a))∈S，即eq\f(1,1－\f(1,1－a))＝eq\f(1－a,－a)＝1－eq\f(1,a)∈S，故若a∈S，则1－eq\f