2024-2025版高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算学案新人教A版必修5

PAGE第3课时三角形中的几何计算学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法进一步解决有关三角形的问题(逻辑推理、数学运算)2.驾驭三角形的面积公式的简洁推导和应用(数学运算)3.能证明三角形中简洁的恒等式(逻辑推理)必备学问·自主学习导思1.三角形的面积公式有哪些?2.如何用两边及其夹角表示三角形面积?三角形的面积公式(1)S=QUOTEa·ha=QUOTEb·hb=QUOTEc·hc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高);(2)S=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEcasinB;

(3)S=QUOTE(a+b+c)·r(r为内切圆半径).用两边及其夹角表示三角形面积适用于哪些三角形?提示:适用于随意三角形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)三角形中已知三边无法求其面积.()(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积.()(3)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=QUOTE,则A=60°.()提示:(1)×.已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角,然后再求面积.(2)√.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角,再依据面积公式求解.(3)×.由S=QUOTEbcsinA可得sinA=QUOTE,所以A=60°或120°.2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,则c等于()A.4 B.16 C.21 D.QUOTE【解析】选A.由题意得,b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,所以QUOTEbcsinA=5QUOTE,可得QUOTE×5×c×QUOTE=5QUOTE,解得c=4.3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,A=60°,AB=2,AC=3,则△ABC的面积等于.

【解析】△ABC的面积=QUOTE×2×3×sin60°=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一与三角形面积有关的计算问题(数学运算)【典例】1.在△ABC中,∠A=30°,AB=QUOTE,BC=1,则△ABC的面积等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE2.(2024·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,则△ABC的面积为.

3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2B-5cos(A+C)=2.(1)求角B的大小;(2)若cosA=QUOTE,△ABC的面积为10QUOTE,求BC边上的中线长.【思路导引】1.知两边及其一边的对角可以用正弦定理求出另一条边对的角,进而可求三角形的面积,但要留意此类问题可能有两个解.2.依据已知条件和余弦定理可求边c的长,进而可以用公式S=QUOTEacsinB求面积.3.(1)依据二倍角公式和诱导公式可得到关于cosB的方程,进而可求cosB,最终求角B;(2)依据题目条件可以先求出bc,依据正弦定理可推出b与c的关系,从而可解出b,c,进而可用余弦定理求a和BC边上的中线长.【解析】1.选D.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE.因为0°<∠C<180°,所以∠C=60°或120°.(1)当∠C=60°时,∠B=90°,所以AC=2.此时S△ABC=QUOTE.(2)当∠C=120°时,∠B=30°,此时S△ABC=QUOTE×QUOTE×1×sin30°=QUOTE.2.因为cosB=QUOTE,又因为b=6,a=2c,B=QUOTE,可得c2=12,解得c=2QUOTE,a=4QUOTE,则△ABC的面积S=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE3.(1)因为A+B+C=π,所以cos(A+C)=-cosB,又因为cos2B-5cos(A+C)=2,所以2cos2B-1+5cosB=2,即2cos2B+5cosB-3=0,解得cosB=QUOTE或cosB=-3(舍去).又0<B<π,所以B=QUOTE.(2)因为cosA=QUOTE,所以sinA=QUOTE.由∠A为三角形内角,得0<A<QUOTE,所以S△ABC=QUOTEbcsinA=10QUOTE,所以bc=35.①由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,又sinQUOTE=QUOTEsinA+QUOTEcosA=QUOTE,所以5b=7c.②由①②知,b=7,c=5,所以由余弦定理,得a=QUOTE=8,所以BC边上的中线长为QUOTE=QUOTE.三角形面积公式三角形面积公式S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEacsinB,即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积,反过来,给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角.1.在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积等于()A.9 B.18 C.9QUOTE D.18QUOTE【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=6QUOTE.又因为C=180°-120°-30°=30°,所以S△ABC=QUOTE×6QUOTE×6×QUOTE=9QUOTE.2.(2024·大庆高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b-QUOTEc=acosC,a=2.(1)求△ABC外接圆的半径;(2)若b+c=bc,求△ABC的面积.【解析】(1)由正弦定理得:sinB-QUOTEsinC=sinAcosC,因为sinB=sin(A+C),所以cosAsinC-QUOTEsinC=0,又sinC≠0,所以cosA=QUOTE,又A∈(0,π),所以A=QUOTE,所以△ABC外接圆的半径为QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由a2=b2+c2-2bccosA得b2+c2-bc=4,所以(b+c)2-3bc=4,因为b+c=bc,所以(bc)2-3bc-4=0,又bc>0,所以bc=4,所以△ABC的面积S=QUOTEbcsinA=QUOTE.【补偿训练】1.锐角△ABC中,若面积S=QUOTEab,则角C=.

【解析】由题意得S=QUOTEabsinC=QUOTEab,所以sinC=QUOTE,又因为角C为锐角,所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知c=3,C=QUOTE,sinB=2sinA.(1)求a,b的值;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)因为sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得9=a2+4a2-2a2,解得a2=3,所以a=QUOTE,b=2a=2QUOTE.(2)△ABC的面积S=QUOTEabsinC=QUOTE×QUOTE×2QUOTE×QUOTE=QUOTE.类型二三角恒等式证明问题(逻辑推理)角度1证明平面几何中的结论

【典例】在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC边于点D.求证:QUOTE=QUOTE.【思路导引】留意到∠ABD=∠CBD.∠ADB+∠CDB=180°,可考虑分别在△ABD和△CBD中用正弦定理推出QUOTE和QUOTE.并证明两者相等,再依据比例的性质可推出所证等式.【证明】在△ABD中利用正弦定理得QUOTE=QUOTE.在△CBD中利用正弦定理得QUOTE=QUOTE.因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD,又因为∠ADB+∠CDB=180°,所以sin∠ADB=sin∠CDB,所以QUOTE=QUOTE.即QUOTE=QUOTE成立.角度2证明恒等式

【典例】在△ABC中,证明下列各式:(1)(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0;(2)QUOTE=QUOTE.【思路导引】(1)可由左到右推导,先切化弦,再用正弦、余弦定理化角为边.(2)先用余弦定理对左边式子进行转化,再借助正弦定理进行进一步转化得出右边式子.【证明】(1)左边=(a2-b2-c2)QUOTE+(a2-b2+c2)·QUOTE=(a2-b2-c2)·QUOTE·QUOTE+(a2-b2+c2)·QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE(-1+1)=0=右边,故原式得证.(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,于是QUOTE=QUOTE=1-QUOTE·2cosA=1-QUOTE·2cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故原式成立.本例条件不变,求证:S△ABC=QUOTE.【解析】因为S△ABC=QUOTEabsinC,且由正弦定理可得:sinB=QUOTE,sinA=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEabsinC=S△ABC,得证.1.三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系.(2)由繁推简.(3)目标明确,等价转化.2.三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系,然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理,然后利用三角函数公式进行恒等变形.1.已知:四边形ABCD为平行四边形.求证:AC2+BD2=AD2+DC2+CB2+BA2.【证明】在△BAD内,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,在△ABC内,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,因为∠ABC+∠BAD=180°,所以cos∠ABC+cos∠BAD=0.所以BD2+AC2=2AB2+AD2+BC2,即AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.2.在△ABC中,求证:QUOTE=QUOTE.【证明】方法一:左边=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=右边,其中R为△ABC外接圆的半径.所以QUOTE=QUOTE.方法二:左边=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=右边(cosC≠0),所以QUOTE=QUOTE.【补偿训练】1.已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAsinB+sin2A=sin2求证:QUOTE=sinA.【证明】△ABC中,sinAsinB+sin2A=sin2所以ab+a2=c2;即c2-a2=ab;所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=sinA,其中R为△ABC外接圆半径,即证得QUOTE=sinA.2.在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.【证明】方法一:左边=a2·2sinBcosB+b2·2sinAcosA=a2·QUOTE·QUOTE+b2·QUOTE·QUOTE=QUOTE·(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=QUOTE·2c2=2ab·QUOTE=2absinC=右边.所以原式得证.方法二:a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinBcosB+(2RsinB)2·2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsin(A+B)=8R2sinAsinBsinC=2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.所以原式得证.类型三与三角形面积有关的综合问题(数学运算)【典例】已知△ABC的面积为S,且·=S.(1)求sin2QUOTE-cos2QUOTE-QUOTEsin2A的值;(2)若2B=A+C,|-|=4,求△ABC的面积S.【解析】(1)设△ABC中A,B,C的对边分别为a,b,c,因为S=·=bccosA及S=QUOTEbcsinA,所以tanA=2⇒QUOTE=2,因为sin2A+cos2所以sinA=QUOTE,cosA=QUOTE.sin2QUOTE-cos2QUOTE-QUOTEsin2A=-cosA-2QUOTEsinAcosA=-QUOTE.(2)因为2B=A+C,A+B+C=π,所以B=QUOTE,从而有sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE,因为c===4,所以由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE=8QUOTE-12QUOTE,所以S=QUOTEbcsinA=32QUOTE-48.解三角形综合问题的策略三角形中的综合应用问题经常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换、向量、三角函数等学问综合考查,解答此类题目,首先要正确应用所学学问“翻译”题目条件,然后依据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.设函数f(x)=m·n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,QUOTEsin2x),x∈R.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面积为QUOTE,求c的值.【解析】(1)f(x)=2cos2x+QUOTEsin2x=cos2x+QUOTEsin2x+1=2sinQUOTE+1.令-QUOTE+2kπ≤2x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为QUOTE(k∈Z).(2)由f(A)=2sinQUOTE+1=2得sinQUOTE=QUOTE,而A∈(0,π),所以2A+QUOTE∈QUOTE,所以2A+QUOTE=QUOTEπ,得A=QUOTE.又S△ABC=QUOTEbcsinA,所以c=QUOTE=QUOTE=2.【补偿训练】已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,C=QUOTE,求△ABC的面积.【解析】(1)因为m∥n,所以asinA=bsinB,即a·QUOTE=b·QUOTE,其中R是△ABC的外接圆半径,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.(2)因为m⊥p,所以a(b-2)+b(a-2)=0.即a+b=ab,由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(ab=-1舍去),所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×4×sinQUOTE=QUOTE.备选类型平面图形面积的最值问题(数学运算、直观想象)【典例】如图所示,已知半圆O的半径为1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是半圆O上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若∠POB=θ,试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数;(2)求四边形OPDC面积的最大值.【思路导引】四边形OPDC可以分成△OPC和△PCD,S△OPC可用QUOTEOP·OC·sinθ表示;求△PCD的面积关键在于求出边长PC,在△POC中利用余弦定理可求解.【解析】(1)在△POC中,由余弦定理,得PC2=OP2+OC2-2OP·OC·cosθ=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ.所以y=S△OPC+S△PCD=QUOTE×1×2sinθ+QUOTE(5-4cosθ)=sinθ-QUOTEcosθ+QUOTE=2sinQUOTE+QUOTE.(2)当θ-QUOTE=QUOTE,即θ=QUOTE时,ymax=2+QUOTE.(1)数形结合:依据题意画出图形,将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系.(2)转化思想:三角形问题中,常涉及求边、求角及求面积等几个问题,用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解.在涉及变量取值范围或最值问题时,经常用到函数等数学相关学问.易错提示:解三角形时,角的取值范围至关重要.角的取值范围往往隐含在题目中.如图,已知扇形的圆心角∠AOB=QUOTE,半径为4QUOTE,若点C是QUOTE上的一动点(不与点A,B重合).(1)若弦BC=4(QUOTE-1),求QUOTE的长;(2)求四边形OACB面积的最大值.【解析】(1)在△OBC中,BC=4(QUOTE-1),OB=OC=4QUOTE,所以由余弦定理得cos∠BOC=QUOTE=QUOTE,所以∠BOC=QUOTE,于是QUOTE的长为QUOTE×4QUOTE=QUOTEπ.(2)设∠AOC=θ,θ∈QUOTE,则∠BOC=QUOTE-θ,S四边形OACB=S△AOC+S△BOC=QUOTE×4QUOTE×4QUOTEsinθ+QUOTE×4QUOTE×4QUOTE·sinQUOTE=24sinθ+8QUOTEcosθ=16QUOTEsinQUOTE,由于θ∈QUOTE,所以θ+QUOTE∈QUOTE,当θ=QUOTE时,四边形OACB的面积取得最大值16QUOTE.课堂检测·素养达标1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=QUOTE,C=QUOTE,则△ABC的面积为()A.2QUOTE+2 B.QUOTE+1C.2QUOTE-2 D.QUOTE-1【解析】选B.由正弦定理QUOTE=QUOTE及已知条件得c=2QUOTE,又sinA=sin(B+C)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.从而S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE×2×2QUOTE×QUOTE=QUOTE+1.2.已知锐角三角形ABC的面积为3QUOTE,BC=4,CA=3,则C的大小为()A.75° B.60° C.45° D.30°【解析】选B.由S=QUOTEAC·BCsinC=3QUOTE,得sinC=QUOTE