2025届上海市上海交大附中数学高二上期末检测模拟试题含解析

2025届上海市上海交大附中数学高二上期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺2．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A. B.C. D.3．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.304．椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（）A. B.C. D.5．是数列，，，－17，中的第几项()A第项 B.第项C.第项 D.第项6．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（）A. B.C. D.7．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b=238，则输出的a的值为（）A.17 B.34C.36 D.688．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零9．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.610．等比数列满足，，则（）A.11 B.C.9 D.11．方程表示的曲线是A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线12．在等比数列中，，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.14．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；15．已知等差数列中，，则=_________.16．将参加冬季越野跑的名选手编号为：，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，把编号分为组后，第一组的到这个编号中随机抽得的号码为，这名选手穿着三种颜色的衣服，从到穿红色衣服，从到穿白色衣服，从到穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值18．（12分）在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为（1）求边垂直平分线所在的直线的方程；（2）若的面积为5，求点的坐标19．（12分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值20．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样的方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.21．（12分）已知函数（1）证明；（2）设，证明：若一定有零点，并判断零点的个数22．（10分）在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案.【详解】解：设影长依次成等差数列，公差为，则，前9项之和，即，解得，所以立春的日影长为.故选：B.2、B【解析】求得倾斜角的正切值即得【详解】k=tan120°=.故选：B3、C【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.故选：C4、A【解析】分情况讨论当直线AB的斜率不存在时，可求面积，检验是否满足条件，当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程y＝kx，联立椭圆方程，可求△ABF2的面积为S＝2代入可求k【详解】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；②可设直线AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故选：A5、C【解析】利用等差数列的通项公式即可求解【详解】设数列，，，，是首项为，公差d＝－4的等差数列{}，，令，得故选：C6、C【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故这个直角三角形周长的最大值为故选：C7、B【解析】根据程序框图所示代入运行即可.【详解】初始输入：；第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；结束，输出34.故选：B.8、B【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B9、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D10、B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【详解】由数列是等比数列，得：，故选：B11、D【解析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线在求解方程时要注意变量范围.12、C【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.【详解】在等比数列中，由所以，又，所以所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值【详解】由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：14、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.15、4【解析】由等差数列的通项公式求出公差，进而求出.【详解】设该等差数列的公差为，则，所以.故答案为：4.16、【解析】，所以抽到穿白色衣服的选手号码为，共三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解：因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因为，因此，平面.所以，平面的一个法向量为，，平面，平面，则平面，所以，直线到平面的距离为.【小问2详解】解：若，则、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.18、（1）；（2）或【解析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程（2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值【详解】解：（1），，的中点的坐标为，又设边的垂直平分线所在的直线的斜率为则，可得的方程为，即边的垂直平分线所在的直线的方程（2）边所在的直线方程为设边上的高为即点到直线的距离为且解得解得或，点的坐标为或19、（1）1（2）【解析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【小问1详解】将代入抛物线，解得：.【小问2详解】，在抛物线C上，故，，解得：或2，因为，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.20、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为21、（1）证明见解析；（2）证明见解析，1个零点.【解析】(1)求导同分化简，构造新函数判断导数正负即可；(2)令g(x)＝0，化简方程，将问题转化为讨论方程解的个数问题.【小问1详解】,设，则，时，递减，时，递增，而，所以时，，所以；小问2详解】有零点，则有解，即有解，又，则只要，因为，方程可以化为，现在证明有解，令，则，可知在递减，在递增，所以，因为，所以，在内