江西省抚州市南城县第一中学2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

江西省抚州市南城县第一中学2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知实数集为，集合，，则A. B.C. D.2．下列四条直线，倾斜角最大的是A. B.C. D.3．已知函数，下列结论正确的是（）A.函数图像关于对称B.函数在上单调递增C.若，则D.函数的最小值为4．圆O1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆O2：x2+y2﹣14x﹣2y+14＝0的位置关系是（）A.相离 B.内含C.外切 D.内切5．下列选项正确的是（）A. B.C. D.6．已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.7．如图一铜钱的直径为毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为A. B.C. D.8．下面各组函数中表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.沿轴向左平移个单位 B.沿轴向右平移个单位C.沿轴向左平移个单位 D.沿轴向右平移个单位10．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是___.12．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为________.13．直线2x+(1-a)y+2=0与直线ax-3y-2=0平行，则a=__________14．若且，则取值范围是___________15．已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________16．已知，且，则的最小值为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知的三个顶点为,,.(1)求边所在直线的方程；(2)若边上的中线所在直线的方程为，且,求的值.18．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：123456（万个）1050250若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）19．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（1）求出图中a的值；（2）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由21．已知函数且（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数值域是，求实数与自然数的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】分析：先求出，再根据集合的交集运算，即可求解结果.详解：由题意，集合，所以，又由集合，所以，故选C.点睛：本题主要考查了集合的混合运算，熟练掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2、C【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45∘，直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60∘<α<90∘)，直线方程y=−x+1的斜率为−1,倾斜角为135∘，直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90∘.所以C中直线的倾斜角最大．本题选择C选项.点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.3、A【解析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.【详解】由题意可得：，即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为，A正确；由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；要使，则，由图象可得或、或，故或或，C错误；当时，函数取最小值，最小值，D错误，故选：A【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.4、D【解析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.【详解】由题得圆O1：它表示圆心为O1（3,-2）半径为1的圆；圆O2：，它表示圆心为O2（7,1），半径为6的圆.两圆圆心距为，所以两圆内切.故选：D【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、A【解析】根据指数函数的性质一一判断可得；【详解】解：对于A：在定义域上单调递减，所以，故A正确；对于B：在定义域上单调递增，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，故C错误；对于D：因为，，即，所以，故D错误；故选：A6、B【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案.【详解】根据指数函数的单调性可知，，即，即c＞1，由对数函数的单调性可知，即．所以c＞a＞b故选：B7、B【解析】由题意结合几何概型公式可得：该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为:.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.8、B【解析】根据两个函数的定义域相同，且对应关系相同分析判断即可【详解】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：B.9、C【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论【详解】，将函数的图象沿轴向左平移个单位，即可得到函数的图象，故选：C【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题10、D【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.又∵，∴a>b>2故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】直线AB的方程为＋＝1，又∵＋≥2，即2≤1，当x>0，y>0时，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，∴xy≤3，则xy的最大值是3.12、【解析】以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意，以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则故.故答案为：【点睛】本题考查了多面体外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.13、3【解析】a=0时不满足条件，∵直线2x+(1-a)y+2=0与直线ax-3y-2=0平行a≠0，∴解得a=314、或【解析】分类讨论解对数不等式即可.【详解】因为，所以，当时，可得，当时，可得.所以或故答案为：或15、1【解析】解方程可得【详解】由得，故答案为：116、##2.5【解析】将变形为，利用基本不等式求得答案.【详解】由题意得：，当且仅当时取得等号，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);（Ⅱ）或【解析】Ⅰ由斜率公式可得，结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为.Ⅱ由题意可得，则△ABC的BC边上的高，据此由点到直线距离公式和直线方程得到关于m,n的方程组，求解方程组可得，或，.【详解】Ⅰ，，．，可得直线BC方程为，化简，得BC边所在直线方程为.Ⅱ由题意，得，，解之得，由点到直线的距离公式，得，化简得或，或.解得，或，.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（1）选择函数更合适，解析式为（2）11个单位【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.【小问1详解】若选，将，和，代入得，解得得将代入，，不符合题意若选，将，和，代入得，解得得将代入得，符合题意综上：所以选择函数更合适，解析式为【小问2详解】解：设至少需要个单位时间，则，即两边取对数：因为，所以的最小值为11至少经过11个单位时间不少于1亿个19、（1）；（2）.【解析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为在上恒成立，分与两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)时，函数定义域为解得不等式的解集为(2)设，由题意知，解得，在上恒成立在上恒成立令，的图象是开口向下，对称轴方程为的抛物线.①时，上恒成立等价于解得，这与矛盾.②当时，在上恒成立等价于解得或又综上所述，实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：由题意转化为在上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在上最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.20、（1）（2）9（3）不合理，理由见解析【解析】（1）根据频率分布直方图中，小矩形面积和为求解即可；（2）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（3）结合样本来自同一个班级，故不具有代表性.【小问1详解】解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为，所以，解得.【小问2详解】解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为【小问3详解】解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性21、（1）奇函数，证明见解