2025届北京市丰台区北京第十二中学数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

2025届北京市丰台区北京第十二中学数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B.C. D.2．双曲线C:的右焦点为F，过点F作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为H1，H2.若，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.23．已知函数（是的导函数），则（）A.21 B.20C.16 D.114．如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（）A. B.C. D.5．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（）A.2019 B.2020C.2021 D.20226．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.7．如图，在空间四边形中，（）A. B.C. D.8．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（）A. B.C. D.9．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A. B.C. D.10．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.212．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线与直线的夹角大小等于_______14．若，满足约束条件，则的最大值为_____________15．在数列中，，且，则_______.16．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和18．（12分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，.19．（12分）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点M，N（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积为时，求的值20．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的一个方向向量为；已知直线l过点，且___________.（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆C：相交于M，N两点，求弦长.21．（12分）已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.【详解】因为等差数列，，，所以，所以，所以数列的前项和为故B，C，D错误.故选：A.2、D【解析】将条件转化为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，可得，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，(为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，即，所以离心率.故选：D.3、B【解析】根据已知求出，即得解.【详解】解：由题得，所以.故选：B4、D【解析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.【详解】.故选：D.5、C【解析】先令代入中，求得，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定，求得答案.【详解】因为，令，则，又，故，即，故数列是等比数列，则，所以，所以，故选：C.6、C【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.7、A【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.【详解】根据向量的加法、减法法则得.故选：A.8、B【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为故选：B9、B【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，则线段垂直于轴且的中点在轴，从而点关于轴对称的点的坐标为.故选：B.10、A【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，∴，∴异面直线，所成角的余弦值为.故选：A11、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.12、C【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据直线的倾斜角可得答案.【详解】直线是与轴平行的直线，直线的斜率为1，即与轴的夹角为角，故直线与直线的夹角大小等于.故答案为：.14、6【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15、##【解析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可【详解】根据题意可得：，，，故数列为周期数列可得：故答案为：16、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合“当时，”计算作答.(2)由(1)求出，利用裂项相消法计算得解.【小问1详解】数列的前n项和为，，当时，，当时，，满足上式，则，所以数列的通项公式是【小问2详解】由(1)知，，所以，所以数列的前n项和18、（1）存在两个等边三角形不是相似的，假命题（2），真命题【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【小问1详解】解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，命题为假命题.【小问2详解】解：根据全称命题与存在性命题关系，可得：命题的否定为.因为，所以命题为真命题.19、（1）（2）【解析】（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得，根据的面积为，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：设，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为，可得，解得.20、（1）若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为；（2）若选择①②，则；若选择③，则.【解析】（1）根据所选择的条件，结合直线过点，即可写出直线的方程；（2）利用（1）中所求直线方程，以及弦长公式，即可求得结果.【小问1详解】若选①与直线平行，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选②与直线垂直，则直线的斜率满足，解得；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选③直线l的一个方向向量为，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；综上所述：若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为.【小问2详解】对圆C：，其圆心为，半径，根据（1）中所求，若选择①②，则直线方程为，则圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长；若选择③，则直线方程为，则圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长.综上所述，若选择①②，则；若选择③，则.21、（1）；（2）.【解析】（1）将条件化为基本量并解出，进而求得答案；（2）通过裂项法即可求出答案.【小问1详解】由，.得：解得：故.【小问2详解】当时，.所以时，.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判