高考总复习文数（北师大版）课时作业提升42空间中的垂直关系

课时作业提升(四十二)空间中的垂直关系A组夯实基础1．(2018·西安联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mα B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β解析：选C由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C解析：选D由题易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1⊥B13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选DA中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故选D．4．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF平面PDF，BCeq\o(⊆,/)平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1解析：连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.又CH⊥AB，且PC∩CH＝C，∴AB⊥平面PCH，PH平面PCH.所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)8．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，leq\o(⊆,/)α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解析：若平面α，β，γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a，b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．答案：②③9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.B组能力提升1．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO，BO∩DO＝O，从而AC⊥平面DOB，BD平面DOB.故AC⊥BD.(2)解：连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的eq\f(1,2)，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的eq\f(1,2)，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.2．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图②)．①②(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因为F为eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，又AC平面ACD，OFeq\o(⊆,/)平面ACD，所以OF∥平面ACD.(2)解：存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD.又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD.又AD平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(3)求四面体N－EFD体积的最大值．(1)证明：∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD.∴四边形MNCD是平行四边形．∴NC∥MD.∵NCeq\o(⊆,/)平面MFD，MD平面MFD，∴NC∥平面MFD.(2)证明：连接ED，交FC于点O，如图所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，∴FC⊥平面NED.∵ND平面NED，∴ND⊥FC.(3)解：设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(2)