专题164期末复习之解答压轴题十三大题型总结（沪科版）

专题16.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1两条直线相交问题】 1【题型2与一次函数有关的面积的计算】 9【题型3与一次函数图像有关的应用】 19【题型4与一次函数性质有关的应用】 25【题型5探究函数的图像及其性质】 30【题型6探究三角形的边与面积的关系】 39【题型7探究角度之间的关系】 46【题型8由三角形全等分类讨论求参数的值】 55【题型9利用全等三角形解决阅读理解类问题】 64【题型10由轴对称求线段的最小值】 74【题型11等腰三角形中的证明与计算】 84【题型12数式或图形的规律探究】 96【题型13数式或图形中新定义问题】 101【题型1两条直线相交问题】【例1】（2023上·山西太原·八年级统考期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC．点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)当m=-3时，求△(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．①当m=2时，点G的坐标为②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，mB．①用含m的代数式表示点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=12AG时，m【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)(2)21(3)A：①(12,0)；②43或-1；B：①(2m+8,0)，【分析】（1）在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，（2）设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B(0,8)，C(-8,0)代入可得直线BC的解析式为y=x（3）选A、①由m=2，C(-8,0)，直接可得G(12,0)；②由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E选B、①由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，②【详解】（1）解：在y=-43x+8中，令x=0得∴A(6,0)，∵OB=OC，C在∴C（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(b=8解得k=1∴直线BC的解析式为y=∵点D的横坐标m=-3∴在y=x+8中令x=-3得在y=-43x+8中令x∴EF∴△BEF的面积为：1（3）解：选A、①∵m=2，C∴G②∵C(-8,0)，D∴CD=m+8=DG∴EF∵EF=∴|7解得m=43故答案为：①(12,0)；②43或-选B、①∵C(-8,0)，D∴CD∴OG=OD∴G②∵A∴AG∴|7解得m=34故答案为：①(2m+8,0)，②34【点晴】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，用含m的代数式表示相关点坐标及相关线段．【变式11】（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B

(1)求直线AB的解析式；(2)①若另一条直线y=ax+a+6与直线AB②直接写出a的取值范围．(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O【答案】(1)y=2(2)①P(-1,6)；②a(3)-6<【分析】本题主要考查待定系数法求直线解析式，直线的交点以及点的坐标运算．（1）令x=0得y=8,可得点B的坐标，OB的长，由OB=2OA可得OA，求出点（2）令y=2x+8y=（3）令x=0得y=a【详解】（1）对于直线y=kx+8，令∴B∵OB=2∴OA∴A把A-4,0代入y解得，k∴直线AB的解析式为y=2（2）①联立方程组y=2∴2整理得，a-∵直线y=ax+∴a解得x=-1∴y=2×∴点P的坐标为：-②由①知a∴a≠2（3）对于y=ax+a∵直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D∴0<a解得，-6<【变式12】（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=-x-2

(1)求直线l1(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当(3)点Q为l2上一点，若S△APQ【答案】(1)y(2)a=-6(3)-2,0或【分析】（1）根据题意求得点P的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意推得Ma,23a（3）设Qh,-h-2，分当点Q在线段PB上和当点Q在射线BP【详解】（1）解：∵y=-x∴m=1即点设l1的解析式为∵过点A0,3，∴-3解得，k=所以l1的解析式为y（2）解：由题意可知，Ma,2因为MN=323解得：a=--a解得：a=-（3）解：设Qh当点Q在线段PB上，∵S△∴S△∴h=即Q-当点Q在射线BP上，∵S∴S△∴h=-4即Q-综上，点Q的坐标为-2,0或-【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，求一次函数的解析式等，在（1）中求得P点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）中用含a的代数式表示出MN的长是解题的关键，在（3）中三角形面积的表示是关键．【变式13】（2023上·山西太原·八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P(1)直接写出点A、B、P的坐标；(2)求出直线l2(3)如图1，求ΔADP的面积；(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m①用m表示点M、N的坐标：M:，N:②线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；③ΔANP的面积用s表示，写出s与m的函数关系式．【答案】(1)A(-4,0)，B(0,1)(2)y(3)15(4)①(m,14m+1)，(【分析】（1）在直线l1:y=14x+1中，分别令y=0和x（2）利用待定系数法得到直线l2（3）求出点D的坐标，根据SΔADP（4）①根据直线l1:y=14x+1，直线②根据①得出的点M、N的坐标即可写出l与m的函数关系式；③根据SΔANP【详解】（1）解：在直线l1令y=0可得x=-4，令x=0可得y=1，令∴A(-4,0)，B(0,1)（2）解：设直线l2的解析式为y∴3.5k+∴直线l2的解析式为y（3）解：∵直线l2的解析式为y∴点D(0,∴S（4）解：①∵点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m则：M:(m,故答案为：(m,1②线段MN的长度l=-∴l与m的函数关系式为l③SΔANP∴s与m的函数关系式为s【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，用点的坐标表示线段的长是解题的关键．【题型2与一次函数有关的面积的计算】【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点

(1)如图1，求出△AOP(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若△APC【答案】(1)△AOP的面积为(2)点C的坐标为10，16【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）当点C在直线l的上方时，证明△PEA≌△CFP(AAS)，得到AE=【详解】（1）∵点A10，0∴OA=10过点P作PH⊥OA于

∵直线l∥x轴，点B在∴PH=∴S△故答案为：40；（2）设点Pn,8n≠0当点C在直线l的上方时，如图，

过点P作直线FE，交x轴于点E，交过点C与x轴的平行线于点F，、∵△APC为等腰直角三角形，则PA=PC∴∠APE+∠FPC∴∠APE∵∠PEA=∠CFP∴△PEA∴AE=PF则85m-解得：m=10即点C的坐标为10,16（不合题意的值已舍去）；当点C在直线l的下方时，如图，过点A作AM⊥l于点M，过点C作CN⊥

同理可得：△AMP∴AM=AM∴8=|10-m|或解得：m=2n=即点C的坐标为2,165或综上，点C的坐标为：10,16或2,16【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．【变式21】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A-5，2，B-1，2，直线

(1)求△ABC(2)若点A和点B在直线y=kx-(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出【答案】(1)6(2)-(3)k=-3【分析】（1）延长线段AB交y轴于点D，则AB⊥y轴，求出（2）先求出直线AC,BC的斜率，即可求出（3）分两种情况：AP:PB=1:3或【详解】（1）解：∵A∴AB∥x轴，延长线段AB交y轴于点D，∵CD=2--1∴S

（2）解：设直线AC的解析式为y=∴-5∴直线AC的解析式为y设直线BC的解析式为y=∴-m∴直线BC的解析式为y∵点A和点B在直线y=∴-3<（3）解：当AP:∵A∴点P的坐标为-4,2将点P-4,2代入y=解得，k=-当AP:∵A∴点P的坐标为-2,2将点P-2,2代入y=解得，k=-综上所述，k=-3【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．【变式22】（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，-1,4，将此函数中的k(1)求直线l的函数表达式；(2)求直线l、直线l'及y(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l'交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点，求点P【答案】(1)y(2)2(3)0,-5或0,-177【分析】（1）将点0,1，-1,4代入一次函数的解析式y=kx+b（2）确定直线l与y轴的交点A0,1，确定直线l'与y轴的交点B0,-3，得到AB=4，再通过解联立方程组y=-3x+1y=（3）求得两条直线与直线y=【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图像直线l经过点∴b=1解得：k=-3∴直线l的函数表达式为y=-3（2）∵直线l的解析式为y=-3∴直线l'的解析式为y设直线l：y=-3x+1与y当x=0时，y=1，则设直线l'：y=x-3当x=0时，y=-3，则∴AB=1-设直线l与直线l'交于点C∴y=-3解得：x=1∴C1,-2∴点C到y轴的距离为1，∴S△∴直线l、直线l'及y轴围成三角形的面积为2（3）设点的坐标为P0,∴过点P与x轴平行的直线的解析式为y=把y=a代入y=-3x+1∴M1-把y=a代入y=x-∴Na分四种情况：①如图所示，点P为NM的中点，则0-a解得：a=-5∴点P的坐标为0,-5，②如图所示，点N为PM的中点，则a+3解得：a=-∴点P的坐标为0,-17③如图所示，点M为PN的中点，则1-a解得：a=-∴点P的坐标为0,-7④如图所示，点P为MN的中点，则0-1-解得：a=-5综上所述，点P的坐标为0,-5或0,-177或【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像与坐标轴相交的点的坐标，两直线相交问题，三角形的面积．分类讨论的应用是解题的关键．【变式23】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点C的直线y-x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,

(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；(2)当△AOC的面积为6时，求出点C(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标．【答案】(1)S(2)C(3)存在，M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【分析】（1）先求出点A坐标，由S△（2）将S=6代入函数解析式可求得点C（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．【详解】（1）解：点Cx，y在第二象限，则当y=0时，x=-6，则AOS△AOC=18+3x（-（2）由（1）可知S当18+3则x此时：y所以C（3）存在点M满足条件，I．当M点在y轴时，若S△MAO=6∴12∴OM=2∴当点M在原点上方时，点M坐标为M1∴当点M在原点下方时，点M坐标为M2II．当M点在y轴时，若S△MOC=6∴12∴OM=3∴当点M在原点上方时，点M坐标为M3∴当点M在原点下方时，点M坐标为M4III．当M点在y轴时，若S△MAC=6

12∴BM=6∴当点M在点B上方时，点M坐标为M5∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；IV．当M点在x轴时，若S△MOC=6∴12∴OM=6∴当点M在原点右侧时，点M坐标为M6∴当点M在原点左侧时，点M坐标为-6,0，与点AV．当M点在x轴时，若S△MAC=6∴12∴AM=6∵点A坐标为(-6,0)，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为M7∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想．【题型3与一次函数图像有关的应用】【例3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）．图中的折线表示y与x之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；(2)求动车和普通列车的速度；(3)求C点坐标和直线CD解析式；(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．【答案】(1)1800(2)动车的速度为300km/h(3)C6,900，(4)169h【分析】(1)根据图像，直接得到．(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度．(3)根据题意，动车达到目的地的时间为1800300=6h，根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2(4)分相遇前和相遇后两种情形计算．【详解】（1）根据图像，得到当x=0h时，两地距离为1800km故答案为：1800．（2）根据图像，慢车走完全程用时12小时，∴普通列车的速度为180012根据4小时相遇，得4150解得v动（3）根据题意，动车达到目的地的时间为1800300根据图像，得到m=6此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2故C6,900设CD的解析式为y=∵D12,1800∴6k解得k=150故CD的解析式为y=150（4）设经过x小时，辆车相距1000千米，当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，得150x解得x=当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，得2150+300解得x=故行驶总时间为6+2故经过169h或203h【点睛】本题考查了图像信息的读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键．【变式31】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1

(1)B、C两港口间的距离为______km，a=______(2)甲船出发几小时追上乙船？(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km【答案】(1)90，2(2)甲船出发1小时追上乙船(3)当经过23h或43h【分析】（1）根据图象可得，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离30km，即可求出甲船的速度，根据图象得出B港口和C港口距离为90km（2）先求出乙船的速度，根据甲船追上乙船时，两船与B港口距离相等，列出方程求解即可；（3）根据投影进行分类讨论：①当甲船还未追上乙船时；②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时；③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时，分别列出方程求解即可．【详解】（1）解：由图可知：B、C两港口间的距离为90km，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离∴甲船的速度为：300.5∴甲船从B港口到C港口时间为：9060∴a=1.5+0.5=2故答案为：90，2；（2）解：由图可知，乙船用3h从B港口到达C∴乙船的速度为：90360x解得：x=1答：甲船出发1小时追上乙船；（3）解：①当甲船还未追上乙船时，30x解得：x=②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时：60x解得：x=③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时：90-30x解得：x=综上：当经过23h或43h或【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息，以及一元一次方程的应用，利用数形结合得出关键数据，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键．【变式32】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF-

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，①图2中m的值为___________．②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间【答案】(1)50(2)①120，②7或39【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为450÷9=50(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：3x解得x=80甲机器人行走的总路程为：450+90=540(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：50×2=100(米∴m=540-320-100=120故答案为：120．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当t=6时，甲乙两机器人的距离为：80×4+50×当甲到达终点C时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t当6≤t≤9当6≤t≤7.5当7.5<t≤9-50t-50t甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或39【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式33】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器