寒假作业02有理数的运算-2024年七年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：30min完成时间：月日天气：寒假作业02有理数的运算一、有理数的加减法1.有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为零；（4）一个数与零相加，仍得这个数．2.有理数加法的运算律（1）加法交换律：a+b=b+a；（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．3.有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab=ba；（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c=a(bc)；（3）乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a(b+c)=ab+ac．4.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．5.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果；（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行．三、有理数的乘方1.乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．3.有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．4.科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法．1．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，将250000用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】250000用科学记数法表示为．故选A．2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，列出算式为．故选D．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A．，故A正确；B．，故B错误；C．，故C错误；D．，故D错误．故选A．4．下列变形中正确使用加法交换律的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，利用的加括号法则，故选项A不符合题意；，故选项B错误，不符合题意；，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意；，故选项D错误，不符合题意．故选C．5．已知三数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由数轴可知：，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选D．6．下列各组运算，结果符号为负的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】，是负数；，既不是正数，也不是负数；，是负数；，是正数；所以，结果为负数的有2个，故选B．7．“点”的游戏规则是：用“，，，”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以，，，这四个数用“，，，”四种运算符号列出算式为__________．（列出一种情况即可）【答案】（答案不唯一）【解析】依题意，，故答案为：（答案不唯一）．8．计算：．【解析】原式．9．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）(1)守门员最后是否回到球门线上？(2)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．【解析】（1）解：，答：守门员最后正好回到球门线上；（2）解：第一次；第二次；第三次；第四次；第五次；第六次；第七次；第八次．答：对方球员有四次挑射破门的机会．10．在学校组织的一分钟单人跳绳比赛中，成绩记录规则如下：以一分钟150次为标准，超过150次的记作正数，不足150次的记作负数．七（1）班8名同学的跳绳成绩如下：，，，，0，，，．(1)跳的最多的同学比最少的同学一分钟多跳__________次；(2)一分钟超过180次的同学被评为“超级绳王”，则这8名同学中有__________人被评为“超级绳王”；(3)求这8名同学平均一分钟跳多少次？【解析】（1）跳的最多的同学比最少的同学一分钟多跳（次），故答案为85；（2），，，，，，所以被评为“超级绳王”的有2人，故答案为：2；（3）这8名同学平均一分钟跳（次）．答：这8名同学平均一分钟跳154次．11．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】①，，则，故该项不正确；②，，则，故该项正确；③，，则，，即，故该项正确；则只有②③正确．故选B．12．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________．【答案】//【解析】输入，，此时输入，，此时输入，，输出，故答案为：．13．已知m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3，求的值．【解析】因为m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3，所以，，，当时，原式；当时，原式．综上所述：的值为或．14．计算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．15．利用运算律有时能进行简便计算例1

例2

请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．；（2）；（3）．16．嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：．(1)求的值；(2)小华在运用此程序输入有理数进行计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？【解析】（1）；（2）小华输入的数据可能是，从而产生除数为0的情况．因为0不能作除数，所以显示“该程序无法操作”．17．如图是一个数学游戏活动，A，B，C，D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（每次游戏都涉及A，B，C，D四种运算各一次）（1）4经过的顺序运算后，结果是__________；（2）经过→D的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是__________．【解析】（1），，，；故答案为：23；（2）因为经过→D的顺序运算后，结果是，所以经过的顺序运算后，结果为；因为，所以被遮挡部分的运算顺序应是；故答案为：．18．对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题：(1)求这四个数的和；(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求；①这两个数相减的结果最小；②这两个数相乘的结果最大．【解析】（1）根据题意得：；（2）①根据最小有理数减去最大有理数，结果最小得：，此时结果最小．所以选，4；②因为，，，，，，又因为，所以选，两个数相乘的结果最大．19．【思考】定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗?【归纳】（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把__________．任何数同0进行“※”运算，都得__________．【运用】（2）计算：；（3）化简：．（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算）【解析】（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值；故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值；（2）=；（3）当时，；当时，；当时，．20．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）：星期一二三四五六日增减(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__________辆；(2)根据记录可知前三天共生产自行车__________辆；(3)若该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖15元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，求该厂工人这一周的工资总额是多少．【解析】（1）产量最多的一天为（辆），产量最少的一天为（辆），所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）．故答案为：27．（2）（辆）．故答案为：303．（3）（辆），（元）．答:该厂工人这一周的工资总额是42550元．21．（2023上·河北廊坊·七年级廊坊市第七中学校考期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（）小嘉说：247是13的“和倍数”；小淇说：441是9的“和倍数”；小华说：214、357均不是“和倍数”．A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对【答案】A【解析】解∶因为，所以247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确；因为，所以441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确；因为，所以214不是“和倍数”，因为，所以357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选A．22．（2023上·广西玉林·七年级统考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值．【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当，，都为正数，即时，＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则＋＋＝＋＋．综上所述，＋＋的值为3或．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)已知，是不为0的有理数，当时，＋＝__________；(2)已知，，是有理数，当时，求＋＋的值；(3)已知，，是有理数，，，求＋＋的值．【解析】（1）因为，且是不为0的有理数，所以，即异号，不妨设,原式,故答案为：0；（2）因为，且是有理数，所以三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当三个有理数均为负数时，即，所以原式＝；②当中一个为负数，另两个为正数时，不妨设，所以原式＝．综上，的值为1或；（3）因为，且是有理数，所以中一个为负数，另两个为正数，不妨设，因为，所以，，所以原式＝，所以＋＋的值为1．23．（2023上·吉林长春·七年级校考期中）阅读下面内容，解决问题：【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个有理数相除记作，读作“a的n次商”．【初步探究】(1)直接写出结果：__________，__________；(2)关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零有理数的2次商都等于1B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数C．除零外两个相反数的偶数次商都相等，奇数次商还是互为相反数D．（a是有理数，，n是正整数）【深入思考】除法运算能够转化为乘法运算，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如：.(3)将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：__________，__________．(4)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于__________（n是整数且）．(5)算一算：．【解析】（1）解：，，故答案为：，4；（2）A．任何非零有理数的2次商都等于1，该说法正确，不符合题意；B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，该说法正确，不符合题意；C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，该说法正确，不符合题意；D．（a是有理数，，n是正整数），该说法错误，例如：，符合题意．故选D；（3）；；故答案为：，；（4）由（3）得到规律：，所以，将一个非零有理数的次商写成乘方（幂）的形式等于，故答案为：；（5）．24．（2023·浙江湖州·统考中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用科学记数法表示502000为．故选C．25．（2023·湖南常德·统考中考真题）下面算法正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选C．26．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；故选D．27．（2023·四川遂宁·统考中考真题