第08讲一元一次不等式（原卷版）

第08讲一元一次不等式思维导图核心考点聚焦1.一元一次不等式的定义2.求一元一次不等式的解集3.求一元一次不等式的整数解4.在数轴上表示不等式的解集5.求一元一次不等式解的最值6.解|x|≥a型的不等式7.列一元一次不等式8.用一元一次不等式解决实际问题一．一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．二．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．三．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．四．由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含着不同的不等关系．五．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．1.一元一次不等式的定义，含参数问题时，要保证未知数的系数不为0.2.解一元一次不等式时，去分母每一项都要乘.3.一元一次不等式的应用中理解“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．考点剖析考点一、一元一次不等式的定义例题：下列不等式是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；B中是一元一次不等式，故符合题意；C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意．故选：B．【变式训练】1．下列式子：；；；，是一元一次不等式的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.考点二、求一元一次不等式的解集例题：解不等式；【详解】解：，，，．【变式训练】1．解不等式：2．解不等式：(1)；(2)．考点三、求一元一次不等式的整数解例题：不等式的正整数解是．【答案】1，2，3，4，5【详解】解：解不等式，得，∴不等式的正整数解为1，2，3，4，5；故答案为：1，2，3，4，5．【变式训练】1．关于x的不等式的正整数解是．2．不等式的正整数解有个．考点四、在数轴上表示不等式的解集例题：解下列不等式，并把解表示在下列数轴上．．【详解】解：原不等式可变形为：，解得：；此解集在数轴上表示为：【变式训练】1．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．2．解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：(1)；(2)．考点五、求一元一次不等式解的最值例题：已知关于x的方程．(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．【详解】（1）解方程，得，∵该方程的解满足，∴，解得．（2）解不等式，得，则最大的整数解是．把代入，解得．【变式训练】1．已知是关于x，y的二元一次方程的解．

(1)求a的值．(2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值．考点六、解|x|≥a型的不等式例题：先阅读下面的解题过程，然后回答下列问题．例：解绝对值方程：．解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；②当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解为或．(1)理解应用：；(2)拓展应用：不等式的解集为______．【详解】（1）解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；②当时，原方程可化为：，解得：，所以原方程的解为或；（2）解：分情况讨论：①当时，解得：；②当时，解得：，所以不等式解集为或．【变式训练】1．阅读理解：例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程的解为________(2)解不等式：．(3)解不等式：．考点七、列一元一次不等式例题：“x的3倍与2的和大于8”用不等式表示为．【答案】【详解】解：由题意可得，．故答案为：．【变式训练】1．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为．2．今年植树节时，小川同学在学校花园栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长x年后此树树围超过，则x满足的不等式为．考点八、用一元一次不等式解决实际问题例题：某中学棋类兴趣小组，准备新购进一批围棋和象棋，通过调查发现：围棋每副18元，象棋每副10元，如果购买围棋与象棋共50副，且总价钱不超过660元，那么至少需要购买多少副象棋？【详解】解：设需要需要购买x副象棋，则购买围棋副，则列不等式为：，解得：，∴至少需要购买副象棋．答：至少需要购买副象棋．【变式训练】1．“我运动，我健康，我快乐．”如皋某初中为响应“每天阳光运动1小时活动”的号召，计划购入足球，篮球两种球类．若购买足球15个，篮球10个，共需资金1850元；若购买足球10个，篮球12个，共需资金1740元．(1)求足球、篮球的单价；(2)若学校准备投入2100元资金，计划购买这两种球类共30个，则篮球最多可以购买多少个？2．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．(1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？(2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．①直接写出y关于x的关系式；②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？过关检测一、单选题1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．0个2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（）．A． B． C． D．4．关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题5．等式有意义的条件是．6．“x与7的和大于2”用不等式表示为．7．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝．8．若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为．9．对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如．因此，；若，则．三、解答题10．解不等式，并写出其非负整数解．11．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

12．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：(1)(2)13．下面是兰兰同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：解不等式：．解：去分母，得

第一步去括号，得

第二步移项，得

第三步合并同类项，得

第四步系数化为1，得

第五步任务：(1)上述过程中，第一步的依据是________，第________步出现错误，具体错误是________．(2)该不等式的解集是________________．14．已知关于x的不等式．(1)当时，求该不等式的解集；(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．15．已知关于和的方程组，且，(1)若，求方程组的解；(2)若方程组的解满足不等式，且符合要求的整数只有两个，求的取值范围．16