专题513平行线及平行线的判定（题型分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.13平行线及平行线的判定（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】三角板中的平行线判定问题；【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题；【题型3】旋转中的平行线判定问题；【题型4】平行线判定中的作图问题；单选题【题型1】三角板中的平行线判定问题1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等2．（2022下·广东深圳·七年级校联考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④3．（2019下·七年级单元测试）如图，一根直尺EF压在三角板的角∠BAC上，欲使CB∥EF，则应使∠ENB的度数为（

）A． B． C． D．【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题4．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（

）

A． B．C． D．5．（2022下·河南信阳·七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（

）①两直线平行，同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．①② B．②③ C．③④ D．①④【题型3】旋转中的平行线判定问题6．（2023·河南濮阳·统考一模）如图，直线a与直线c相交于点A，，，直线a绕点A逆时针旋转，使，则直线a至少旋转（

）

A． B． C． D．7．（2021下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（

）时，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°8．（2018上·七年级课时练习）如图，∠A＝80°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠AOD＝88°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转（）A．8° B．10° C．12° D．18°【题型4】平行线判定中的作图问题9．（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（）

A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧10．（2022下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（

）A．B．C．D．填空题【题型1】三角板中的平行线判定问题11．（2023下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，有一副三角板按如图放置，则下列结论正确的是（填序号）．①；②若，则；③若，则；12．（2021下·浙江宁波·七年级校考期中）如图把三角板的直角顶点放在直线上，若，则当度时，．13．（2018上·山东菏泽·七年级山东省郓城第一中学校考期末）如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α=．【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题14．（2020下·山东聊城·七年级统考期中）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：①如图①，展开后测得∠1＝∠2；②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；③如图③，测得∠1＝∠2；④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是．（填序号）

15．（2023下·河北沧州·七年级统考期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画直线两条平行线．小华的画法是：①任意画直线a②如图甲，将含角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；③如图乙，再次将含角的三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则．小华画图的依据是．

16．（2021下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有．（填序号）【题型3】旋转中的平行线判定问题17．（2021下·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有．（写出所有正确结论的序号）18．（2019下·七年级课时练习）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为A，∠1＝70°.若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转度．19．（2019下·江苏南京·七年级校联考期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转180°，在旋转的过程中，在第秒时，边BC恰好与边DE平行．【题型4】平行线判定中的作图问题20．（2023下·广西百色·七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一直尺和一三角板画平行线，下面是小雷同学的作法，如图所示．小雷作图后，老师点评说：“小雷的作法正确．”请回答：小雷的作图依据是．

21．（2018·北京·八年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，下面是小楠、小曼两位同学的作法：老师说：“小楠、小曼的作法都正确”请回答：小楠的作图依据是；小曼的作图依据是．解答题【题型1】三角板中的平行线判定问题22．（2021·浙江·九年级专题练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变）．（1）当∠BAD＝°，CDAB．（2）当∠BAD＝°，则三角板ACD有一条边与直角边OB平行．（写出所有可能情况）23．（2019下·江苏宿迁·七年级校考期中）有一副直角三角板按如图所示放置，点E、F分别在线段AB和线段AC上，∠DEF=∠BAC=90°，∠D=45°，∠C=30°.（1）若∠DEA=28°，求∠DFA的度数.（2）当∠DFC等于多少度时，EF∥BC？说说你的理由.【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题24．（2019上·北京西城·八年级统考期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．阅读操作步骤并填空：小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．

在小谢的折叠操作过程中，（1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°；（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数；（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．完成操作中的说理：请结合以上信息证明FG∥BC．25．（2019下·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．【题型3】旋转中的平行线判定问题26．（2017下·内蒙古乌海·七年级校考期末）将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．

（1）求证：∠ACE=∠BCD；（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．27．（2018下·七年级单元测试）如图，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与AB平行，则n的大小是多少？【题型4】平行线判定中的作图问题28．（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）如图所示，已知点A、、是网格上的三个格点，请仅用无刻度直尺作图：

（1）画射线，画线段；（2）过点作的垂线段，垂足为；（3）过点画直线，使得．29．（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理”．已知：，，是的三个内角．对进行说理小明给出如下说理过程，请补全证明过程．（1）证明：过点作，∵，∴，______=______（______），（______），，（2）听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并写出推理过程．参考答案：1．C【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．解：∵，∴（同位角相等，两直线平行），∴C正确．故选：C．【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．2．B【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．解：∵，，∴，故①正确；∵故②正确；∵，∴，，∴BC与AD不平行，故③错误；∵，即，又∵，∴,故④正确；综上，①②④正确，故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．3．C【分析】根据平行线的判定方法即可解答.解：解:因为三角板含有30°的角,所以∠B=60°,当∠ENB+∠B=180°时,根据“同旁内角互补,两直线平行”,可使CB∥EF，此时∠ENB=180°∠B=180°60°=.故选C.【点拨】本题考查平行线的判定方法，解题关键是熟练掌握判定方法，根据题目要求选择简单方法.4．D【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.，；B．由翻折可知：，，，，故B选项不符合题意；C．由翻折可知：，，，，，故C选项不符合题意；，，，不平行，故D选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．5．C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；综上分析可知，正确的是①②，故C正确．故选：C．【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．6．A【分析】观察图中是同位角，根据“同位角相等两直线平行”，故变成时即可使，因此需要旋转．解：若使，则需满足（同位角相等，两直线平行）即直线a绕点A逆时针旋转后，若，至少旋转的度数为：故选：A．【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分析得出∠1与∠2是同位角的关系．7．C【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．解：如图（2），当∠ACB'=42°时，∵，∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如图（2），当∠ACB'=138°时，∵∠A=42°，∴∴CB'∥AB．综上可得，当或时，CB'∥AB．故选：C【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．8．C【分析】因为同旁内角互补,两直线平行,要使OD∥AC,则直线OD与AB所夹的∠AOD'+∠A＝180°,因为∠A＝80°,所以∠AOD'＝100°,所以∠DOD'＝12°,即直线OD绕点O按逆时针方向旋转12°.解：要使OD∥AC,则直线OD与AB所夹的∠AOD'+∠A＝180°,因为∠A＝80°,所以∠AOD'＝100°,因为∠AOD＝88°,所以∠DOD'＝12°,即直线OD绕点O按逆时针方向旋转12°.故选C.【点拨】本题主要考查两直线平行的判定,解决本题的关键是要熟练掌握两直线平行判定的方法.9．C【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．解：由作图可知作图步骤为：①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．④过点N作射线CP．根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．故选C．【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．B【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．解：过AC的中点D作AB的平行线，正确的图形是选项B，故选：B．【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．①②【分析】根据三角板的度数及平行线的判定定理逐项判断即可．解：①由图可知，因此，故①正确；②若，则，，因此，故②正确；③若，则，，因此不能得出，故③错误；综上可知，正确的是①②．故答案为：①②．【点拨】本题考查三角板相关的角度计算，平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．12．【分析】由直角三角板的性质可知，当时，，得出即可．解：当当时，，理由如下：∵，∴，当时，，∴故答案为：【点拨】本题主要考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解题的关键．13．48°【分析】过C作CD与m平行，由m与n平行得到CD与n平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，再由∠ACB为直角，即可确定出∠α的度数．解：过C作CD∥m，∵m∥n，∴CD∥n，∴∠ACD=42°，∠BCD=∠α，∵AC⊥BC，即∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，则∠α=90°﹣42°=48°．故答案为48°【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．14．①②④【分析】对于①，∠1与∠2是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可；对于②，根据已知条件可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”判断即可；对于③，∠1＝∠2，其既不是同位角，也不是内错角，结合两直线平行的判定定理即可判断；对于④，∠1与∠2是一组同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”判断即可．解：对于①，因为∠1＝∠2，且∠1与∠2是一组内错角，所以a∥b；对于②，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，故a∥b；对于③，根据∠1＝∠2无法证得a∥b；对于④，因为∠1＋∠2＝180°，且∠1与∠2是一组同旁内角，故a∥b．故答案为：①②④【点拨】本题考查了平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．15．内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的判定方法解答即可．解：画图的依据是内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，故答案为：内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行．【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的判定等知识，熟练掌握基本知识是解题关键，属于中考常考题．16．①④【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD=30°．故答案为：①④．【点拨】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．17．②③④【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4=∠ADE∠ACB=60°45°=15°，故③正确；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．18．20【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．解：如图：∵b⊥c，∴∠2=90°，∵∠1=70°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°70°=20°．故答案为20．【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．19．21【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧画出图形．利用平行线的性质得出即可．解：如图1所示：当B′C′∥DE时，由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°，则∠FAD=75°，故∠CAF=15°，则∠BAF=105°，故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：（秒），故答案为：21．【点拨】此题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形是解题关键．20．同位角相等，两直线平行【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解．解：如图，

根据题意得：，∴（同位角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．21．同位角相等，两直线平行或垂直于同一直线的两条直线平行内错角相等，两直线平行【分析】由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据．解：∵∠B=∠D=90°，∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）；∵∠ABC=∠DCB=90°，∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行（或垂直于同一直线的两条直线平行）；内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查了作图复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．（1）150或30；（2）15或45或135或165【分析】（1）分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数；（2）分六种情况，根据三角板ACD有一条边与直角边OB平行，分别画出图形即可得到∠BAD的实数．解：（1）如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150或30；（2）如图所示，当CD∥OB时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝∠B＝45°；如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；如图所示，当CD∥BO时，∠BAD＝180°﹣60°+45°＝165°；如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°．综上所述，∠BAD的度数为15°或45°或135°或165°．故答案为：15或45或135或165．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．23．（1）∠DFA=17°；（2）∠DFC=165°时EF∥BC.【分析】（1）先求出∠AEF的度数，继而在△AEF中，求出∠AFE的度数，结合∠DFE=45°，即可求得答案；（2）当∠DFC=165°时EF∥BC，理由如下：由平角义可求得∠DFA=15°，再由∠DFE=45°，可求得∠AFE=30°，继而根据∠C=30°，可得∠AFE=∠C，根据同位角相等，两直线平行，即可求得EF//BC.解：（1）∵∠DEF=90°，∠DEA=28°，∴∠AEF=∠DEF∠DEA=90°28°=62°，在△AEF中，∠A=90°，∴∠AFE=90°∠AEF=90°62°=28°，∵∠DFE=45°，∴∠DFA=∠DFE∠AFE=45°28°=17°；（2）当∠DFC=165°时EF∥BC，理由如下：∵∠DFC=165°，∴∠DFA=180°∠DFC=15°，∵∠DFE=45°，∴∠AFE=∠DFE∠DFA=45°15°=30°，又∵∠C=30°，∴∠AFE=∠C，∴EF//BC.【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识以及三角板各个角的度数是解题的关键.24．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见分析【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论；（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步；（3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．解：

（1）因为：所以：故答案为．

（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．由折叠过程可知∠=∠EPF=∠DPF，

∵三点共线，∴∠＋∠DPF=180°，∴∠=90°，∴∠EPF=90°．

（3）完成操作中的说理：∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，∴∠EDC=∠EPF，

∴FG∥BC．【点拨】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程．25．见分析.【分析】由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．解：∵将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，∴∠AED＝∠CED，∠AED＋∠CED＝180°，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC.【点拨】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．26．（1）证明见分析;（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由见分析;（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由理由见分析.试题分析：（1）由