浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学

湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.4.设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D若，，，则5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数 B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数 D.中位数<众数<平均数6.在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（）A.284m B.286m C.288m D.290m8.已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是对立事件C. D.10.若复数z，w均不为0，则下列结论正确是（）A B.C. D.11.如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面平面时，平面B.当A，C重合于点时，平面C.当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D.当A，C重合于点时，四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件和事件相互独立，且，，则__________．13.已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．14.已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．（1）求和的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．16.在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）估计参与这次测试学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．18.如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱台的体积和球的表面积．19已知函数，．（1）写出函数的单调区间；（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误.故选：D.2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案．【详解】∵，∴，则∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以，所以.故选：A.4.设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，对ABD找到反例即可，对C由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误；对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误；对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，根据线面平行的性质可得可得，则，因为，，则，又因为，，则，则，故C正确；对D，若，，，则，故D错误.故选：C.5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数 B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数 D.中位数<众数<平均数【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A6.在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解.【详解】取的中点，连接，因为//，且，则为平行四边形，可得//，又因为分别为的中点，则//，所以//，故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），设正方体的棱长为2，则，在中，由余弦定理，所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.故选：D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（）A.284m B.286m C.288m D.290m【答案】C【解析】【分析】先求出，然后在中用正弦定理求出，最后求出.【详解】因为是等腰直角三角形，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知：，在中，.故选：C8.已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，再求得角的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知，由正弦定理得，得，由余弦定理，则，即，由正弦定理得，因为，则所以，即.因为为锐角三角形，，则，又在上单调递增，所以，则，因为为锐角三角形，，解得，所以故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是对立事件C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件和事件满足两个特点，故B正确；对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.故选：ABC10.若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.【详解】不妨设且．对于A，，故，而，故A错误，对于B，，,则,,故，B正确，对于C,，，故，因此C正确．对于D，，，故，D正确．故选：BCD11.如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面平面时，平面B.当A，C重合于点时，平面C.当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D.当A，C重合于点时，四棱锥的体积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B，利用反证法可以说明B错误；对于C，根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D，利用平面平面，可求得四棱锥的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将沿折起，且点在平面，此时、、、四点共面，平面平面，平面平面，当平面平面，，由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；因为，所以，则可得，即，同理可得，当重合于点时，如上图，在中，，又因为，所以，因为，所以，所以为等腰三角形，即，，，故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误；在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径，则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，故C正确.，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，平面平面，过点作，因为是边长为的等边三角形，所以可得，由面面垂直性质定理可知平面，即为四棱锥的高，所以，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件和事件相互独立，且，，则__________．【答案】##0.125【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】∵事件A与事件B相互独立，则A与事件也相互独立，且，，∴故答案为：．13.已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：14.已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】作出辅助线，找到，求出，由正弦定理得到点在半径为的的外接圆的劣弧上，当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，从而求出三棱锥的体积最大值为，由得到答案.【详解】在平面内，分别过作的平行线交于点，连接，则四边形为平行四边形，则，，则，在中，，，由正弦定理得，其中为的外接圆半径，解得则点在半径为的的外接圆的劣弧上，作⊥，垂足为，如图1，则当为的中点，即时，最大，此时，如图2所示，此时，当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，连接，此时三棱锥的体积最大，最大为，而，故四面体的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛，将四面体补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．（1）求和的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解；（2）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，第一次摸到红球的可能结果有8种，即，所以．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，所以．【小问2详解】事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，则两次摸到都是红球的概率，故两次摸到的不都是红球的概率．16.在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小；（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长.【小问1详解】因为，由正弦定理，得，即，即.因在中，，所以.又因为，所以.【小问2详解】因为的面积为，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为.17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）估计参与这次测试学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．【答案】（1）（2）平均值为：，第60百分位数为（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；（3）应用分层方差公式计算求解.【小问1详解】由题意得，所以；【小问2详解】参与测试学生的成绩平均值：．第60百分位数为；【小问3详解】设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的测试成绩的方差18.如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱台的体积和球的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台的体积为，球的表面积为．【解析】【分析】（1）只需证明和即可；（2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台还原为四棱锥，把三棱台的内切球转化为三棱锥的内切球问题.【小问1详解】设与、与BD分别交点E，F，连接EF，