1822菱形的性质与判定(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

18.2.2菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.题型1：菱形的定义1.在▱ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；C、CD⊥AC，不能判定ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．【变式11】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选：C．【变式12】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形【分析】根据菱形的判定和平行四边形的性质对各选项分析判断，即可求解．【解答】解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，∴选项B符合题意；C、∵四边相等的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：B．菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.题型2：菱形的性质求长度2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）A． B．8 C． D．16【分析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，设AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，∴AD＝2OD＝8，∴AO＝＝＝4，∴AC＝2AO＝8，故选：C．【变式21】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（）A．3 B．4 C．2.5 D．5【分析】由菱形的性质可得AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，由三角形中位线定理可得OH＝AB，由勾股定理可求AB的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，又∵点H是AD中点，∴OH＝AB，在Rt△AOB中，AB＝＝5，则OH＝AB＝2.5，故选：C．【变式22】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为4．【分析】根据菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，可知△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，DO＝＝2，再根据勾股定理可求出AO，再根据菱形性质可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长是16，∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，AB⊥CD，又∵∠BAD＝60°，∴△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，∴DO＝＝2，∴AO＝＝＝2，∴AC＝2A0＝4，故答案为：4．【变式23】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为（6，）．【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），∴OA＝AB＝4，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∴DO＝6，∴点D坐标为（6，），故答案为：（6，）．题型3：菱形的性质求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】由菱形的性质可得∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝15°，故选：B．【变式31】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，从而求出AB＝AE，设∠BAE＝x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补列出方程求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，∵AE＝AD，∴AB＝AE，设∠BAE＝x，则∠EAD＝2x，∠ABE＝（180°﹣x），∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE＝180°，∴x+2x+（180°﹣x）＝180°，解得x＝36°，即∠BAE＝36°．【变式32】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°【分析】由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝108°，∵四边形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．题型4：菱形的性质与等面积法4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）A． B． C．4 D．8【分析】由四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，可求得此菱形的面积与AB的长，继而求得答案．【解答】解：设AC与BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝＝5，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，∵DH⊥AB，∴DH＝＝．故选：A．【变式41】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，∴AH＝，故选：C．【变式42】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合菱形的性质得出△ABD是等边三角形，直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AC的长，利用菱形面积求法得出答案．【解答】解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，∴AD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO＝＝2，∴AC＝4；∴AB＝＝＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；菱形ABCD的面积为：BD•AC＝×4×4＝8．题型5：菱形的性质简单综合5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝AD，即可证△ADB是等边三角形，可得∠A＝60°（2）由题意可得∠DAC＝30°，AC⊥BD，可得DO＝2，AO＝2，即可求AC的长．【解答】解：连接AC，BD（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∵E是AB中点，DE⊥AB∴AD＝DB∴AD＝DB＝AB∴△ADB是等边三角形∴∠A＝60°（2）∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠DAC＝∠DAB＝30°，AO＝CO，DO＝BO∵AD＝BA＝4∴DO＝2，AO＝DO＝2∴AC＝4【变式51】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF；（2）根据△ADE≌△CDF，得到DE＝DF，再求出∠EDB＝∠FDB＝25°；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∵∠DEF＝65°，∴∠EDB＝∠FDB＝25°．菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.题型6：菱形的判定（条件选择）6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；B、∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；C、AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式61】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD为菱形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：C．【变式62】已知O为▱ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°【分析】根据菱形的判定方法以及平行四边形的判定方法逐个进行证明，再进行判断即可．【解答】解：A、▱ABCD中，当AB＝BC；可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形；故本选项正确；B、▱ABCD中，当AD＝CB时，平行四边形ABCD是矩形；故本选项错误；C、当OA＝OC，OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D、∠A＝∠B＝∠C＝90°，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故本选项错误．故选：A．题型7：菱形的判定（四边相等）7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD＝∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D＝∠ACD，证明AC＝AD，再由AB＝AC可得AB＝AD；（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD＝CB＝AB＝CD，可判定四边形ABCD是菱形．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠FAC，∵∠B+∠ACB＝∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥CB，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，∴AC＝AD，∵AB＝AC，∴AB＝AD；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝DC＝AC，∴AD＝CB＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．【变式71】如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．（1）求证：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）延长AO到E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO，同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD，又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C；（2）连接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．法二，连接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∴∠BOD＝∠BCD，∴四边形BCDO是平行四边形，∵BC＝CD，∴平行四边形BCDO是菱形．【变式72】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．【分析】欲证明四边形GMNH为菱形，只要证明HN＝HG＝GM＝MN，由题意HN＝GM＝，HG＝MN＝，所以只要证明AF＝EB，利用△APF≌△EPB即可证明．【解答】证明：∵△APE和△PBF都是等边三角形，∴AP＝PE，PF＝PB，∠APE＝∠FPB＝60°，∴∠APF＝∠EPB，在△APF和△EPB中，，∴△APF≌△EPB，∴AF＝EB，∵EH＝HA，EN＝NF，∴HN＝，同理GM＝，HG＝MN＝，∴HN＝HG＝GM＝MN，∴四边形MNHG是菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）8.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；【变式81】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【变式82】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．【分析】根据CE∥BD，BE∥AC，求得四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BD＝AD＝DC＝AC，由菱形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形BDCE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴BD＝AD＝DC＝AC，∴四边形DBEC是菱形．题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【分析】由已知条件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，证出四边形DFGE是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．【解答】证明：如图所示：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵DG⊥AC，EF⊥BC，∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，∵AE＝ED＝DB，∴OG＝OD，OE＝OF，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵DG⊥EF，∴四边形DFGE是菱形．【变式91】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接EC，当∠BAC＝90°时，说明四边形ADCE是菱形的理由．【分析】由题意可得AE＝BD，AE∥CD，AB∥DE，BD＝CD，即可证四边形ABDE是平行四边形，且AC⊥DE，即可得四边形ADCE是菱形．【解答】解：理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE∵AD是边BC上的中线∴BD＝CD∴CD＝AE，且AE∥CD∴四边形AECD是平行四边形∵AB∥DE，∠BAC＝90°∴∠COD＝∠BAC＝90°即AC⊥DE且四边形AECD是平行四边形∴四边形AECD是菱形【变式92】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，又∵A点与D点重合，∴AO＝DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵点A与点D关于直线EF对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．题型10：菱形的判定与性质最值问题10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【分析】首先连接AP，AE，AC由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝1≥AE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出AE＝AD＝AB，进而求出AB长的最大值．【解答】解：连接AP，AE，AC根据四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AP＝CP，∴PE+PC＝PE+PA＝1≥AE，∵∠ABC＝60°，∴∠ADE＝60°，AD＝CD，∴△ADC是等边三角形，∵DE＝CE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝30°，设DE＝x，则AD＝2x，由勾股定理得：AE＝＝x∴AE＝AD＝AB≤1，所以AB≤，即AB长的最大值是，故选：B．【变式101】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是．【分析】要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴ENAB，而由已知可得AB＝＝5，∴PM+PN的最小值为5，故答案为5．【变式102】如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF＝CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．（1）求证：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．【分析】（1）只要证明AM＝AE，根据菱形的性质∠CAN＝∠CAE，由此即可证明．（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的延长线于K，在RT△AMK，RT△KMB中利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，AB∥FC∵AE＝EB，DF＝CD，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴∠EAM＝∠FDM，在△AEM和△DFM中，，∴△EAM≌△FDM，∴AM＝DM＝AE，∵∠MAN＝∠EAN，∴AN⊥ME即AC⊥EF．（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的延长线于K．∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∴∠KAM＝∠ABC＝60°在RT△AMK中，∵∠MKA＝90°，AM＝2，∠KMA＝30°，∴AK＝1，KM＝，在RT△KMB中，∵∠K＝90°，KM＝，KB＝5，∴BM＝＝2，∴△PEB周长的最小值＝PE+PB+EB＝PM+PB+EB＝BM+EB＝2+2．题型11：菱形的判定与性质多结论问题11.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．【解答】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故选：C．【变式111】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④错误．【解答】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．∵BD⊥AC，AC∥DE，∴BD⊥DE，∴BE＞BD，故④错误．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．【变式112】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④四边形ABED的面积为AB2．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据平移的定义可知AB＝CD，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，同理可知四边形ACED是平行四边形由此即可解决问题．【解答】解：∵△DCE是由△ABC平移得到，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，BD与AC互相平分，故①②正确，∵AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC＝CE，∴四边形ACED是菱形，故③正确，∵四边形ABED的面积＝3•S△ABC＝3×（AB）2＝（AB）2，故④正确，∴①②③④正确，故选：A．题型12：菱形的判定与性质动点问题12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）当t为何值时，DF⊥ED；（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？【分析】（1）当DE∥BC时，可以证明四边形BEDF是矩形，由＝列出方程即可解决．（2）当AE＝AD时，可以证明四边形AEFD是菱形，列出方程即可．【解答】解：（1）当DE∥BC时，∵DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴∠EDF＝90°即DE⊥DF．在RT△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°，∴AB＝5，AC＝10，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴t＝．（2）∵在RT△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，∴DF＝DC＝•2t＝t，∵AE＝t，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，∴t＝10﹣2t，∴t＝，∴t＝时，四边形AEFD是菱形．【变式121】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，P点是底边BC上的一个动点．PD∥AC，PE∥AB．（1）求四边形ADPE的周长；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；（3）如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，并说明理由．【