高考试题卷解析-2004数学（理）天津

PAGE天津卷数学（理）第16页（共8页）2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么柱体（棱柱、圆柱）的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i是虚数单位，= （） A． B． C． D．2．不等式的解集为 （） A． B． C． D．3．若平面向量与向量的夹角是，且，则 （）A． B． C． D．4．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （）A．1或5 B．6 C．7 D．95．若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（）A． B． C． D．6．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （） A． B． C． D．7．若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （） A． B． C． D．8．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．函数为增函数的区间是 （）A． B． C． D．10．如图，在长方体中，AB=6，AD=4， 。分别过BC、的两个平行截面将长方 体分成三部分，其体积分别记为， ，. 若，则截面的面积为（） A． B． C． D．1611．函数（）的反函数是 （） A． B． C． D．12．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （） A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.14．如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是.15．若，则.（用数字作答）16．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个.（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知，（1）求的值；（2）求的值.18．（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小.20．（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.21．（本小题满分12分）已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零常数.（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求.22．（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1—5DAACA6—10BABCC11—12DD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13．80 14． 15．2004 16．300 三、解答题：17．本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分.（1）解：.由，有.解得.（2）解法一：.解法二：由（1），，得∴.∴.于是，.代入得.18．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.（1）解：可能取的值为0，1，2。。所以，的分布列为012P（2）解：由（1），的数学期望为（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为19．本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，EO是中位线，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。而平面PDC，∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，.设正方形ABCD的边长为a，则,，.在中，。在中，，∴.所以，二面角C—PB—D的大小为.方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.依题意得.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且.∴，这表明PA//EG.而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.（2）证明；依题意得，。又，故.∴.由已知，且，所以平面EFD.（3）解：设点F的坐标为，，则.从而.所以.由条件知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角.∵，且，，∴.∴.所以，二面角C—PB—D的大小为.20．本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.（1）解：，依题意，，即解得.∴.令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.（1）证明：由，可得.由数学归纳法可证.由题设条件，当时因此，数列是一个公比为k的等比数列.（2）解：由（1）知，当时，当时，.而所以，当时.上式对也成立。所以，数列的通项公式为当时.上式对也成立，所以，数列的通项公式为，（2）解：当时22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满