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转化一阶微分方程第2节解分离变量方程可分离变量方程

第9章一、可分离变量的一阶微分方程设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G

(y)

g(y)

0时,的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F

(x)=f(x)≠0

时,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数

)所求通解:练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:积分二、一阶齐次微分方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例4.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)此处例5.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次线性方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次线性方程

;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例6.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令例7.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

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