2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳学校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳学校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2≥4}，则A∪B=A.(−1,+∞) B.(−1,2]

C.(−∞,−2]∪(−1，+∞) D.(−∞,−2]∪(−1，3)2.若tan(π−x)=12，则cosA.±15 B.±253.已知a=log21.41，b=1.70.3，A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=(

)A.−14AB−54AC B.5.已知数列{an}是a1>0的无穷等比数列，则“{an}为递增数列”是“∀k≥2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15A.94 B.3 C.9 D.7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是(

)

①ω=1

②函数f(x)图象关于点(π3,3)对称

③函数f(x)图象向右移φ(φ>0)A.1 B.2 C.3 D.48.已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则BP⋅AC的取值范围是(

)A.[−22,22] B.[0,29.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.65g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.59g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn=r0+(r1−r0)⋅5A.8 B.9 C.10 D.1110.定义满足方程f′(x)+f(x)=1的解x0叫做函数f(x)的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是(

)A.f(x)=x2−3x B.f(x)=x+1x

11.已知函数f(x)=ln|x+1|−ln|x−1|，则A.是偶函数，且在(−1,1)上单调递增 B.是奇函数，且在(1,+∞)上单调递减

C.是偶函数，且在(−∞,−1)上单调递增 D.是奇函数，且在(−1,1)上单调递减二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。12.函数y=log21+x13.在△ABC中，AB=AC=1，∠A=90°，则AB⋅BC=14.已知数列{an}的通项公式为an=2n−1，{bn}的通项公式为bn=1−2n.记数列{an+bn}15.在△ABC中，a=6，b=4，C=2B，则△ABC的面积为______．16.已知函数f(x)=|x+m|,x≤mx2,x>m．

①函数f(x)的零点个数为______．

②若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则实数三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在△ABC中，已知a2+b2−2ab=c2．

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)若c=22，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：sinA=45；

条件②18.(本小题13分)

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，并求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．

条件①：函数f(x+5π12)是奇函数；

条件②：将函数f(x)的图象向右平移19.(本小题14分)

已知函数f(x)=xsin2x+cos2x．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(−π4,f(−π4))处的切线方程；

(Ⅱ)求函数20.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax−ln(1−x)(a∈R)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a的值；

(Ⅲ)若f(x)有两个不同的零点x1x2，且|21.(本小题14分)

有穷数列a1，a2，…，an(n>2)中，令S(p,q)=ap+ap+1+…+aq(1≤p≤q≤n,p,q∈N∗)，

当p=q时，规定S(p,q)=ap．

(Ⅰ)已知数列−3，2，−1，3，写出所有的有序数对(p,q)，且p<q，使得S(p,q)>0；

(Ⅱ)已知整数列a1，a2，…，an，n为偶数，若S(i,n−i+1)(i=1,2,…,n2)，满足：当i为奇数时，S(i,n−i+1)>0；当i为偶数时，S(i,n−i+1)<0.求|a1|+|a2|+…+|an参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.C

9.D

10.D

11.B

12.(−1,1)

13.−1

14.−1

−2

15.316.1

(0,2)∪(−∞,−2)

17.解：(Ⅰ)因为a2+b2−2ab=c2，

可得a2+b2−c2=2ab，

由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=22，

而C∈(0,π)，

可得C=π4；

(Ⅱ)若选①：sinA=45>22，所以角A有两个，不符合条件；

若选②：因为2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得2sinAcosA=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，

在三角形中sinB>0，

可得cosA=12，

所以A=π3，B=π−A−C=5π12，

且sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=32⋅22+12⋅2218.解：(Ⅰ)由题意知T2=π2，即T=π，

因为ω>0，所以2πω=π，解得ω=2．

(Ⅱ)选择条件①：函数f(x+5π12)是奇函数，

则f(x+5π12)=sin[2(x+5π12)+φ]=sin(2x+5π6+φ)，

因为函数f(x+5π12)是奇函数，所以5π6+φ=kπ(k∈Z)，即φ=−5π6+kπ(k∈Z)，

因为φ∈(0,π2)，所以φ=π6，

于是，f(x)=sin(2x+π6)，

因为0≤x≤π2，

所以π6≤2x+π6≤7π6，

当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值为1．

当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)取得最小值为−12；

选择条件②：将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到y=sinωx的图象，

y=sin2[(x−19.解：(Ⅰ)因为f(x)=xsin2x+cos2x，

所以f′(x)=sin2x+2xcos2x−2sin2x=2xcos2x−sin2x，

所以f(−π4)=π4，f′(−π4)=1，

故曲线y=f(x)在(−π4,f(−π4))处的切线方程为y=x+π2；

(Ⅱ)f′(x)=2xcos2x−sin2x，

设g(x)=f′(x)，则g′(x)=2cos2x−4xsin2x−2cos2x=−4xsin2x，

令g′(x)=0，得x1=−π2，x2=0，x3=π2，

故当x∈(−2π3,−π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(−π2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(0,π2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(π220.解：(1)由f(x)=ax−ln(1−x)，得f′(x)=a+11−x(x<1)，

因为f(0)=0，f′(0)=a+1，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(a+1)x；

(2)f′(x)=a+11−x=−ax+a+11−x(x<1)，

①当a≥0时，f(−1)=−a−ln2<0，不符合题意；

②当a<0时，令f(x)=0，解得x=1+1a，

当x∈(−∞,1+1a)时，f′(x)<0，f(x)在区间(−∞,1+1a)上单调递减，当x∈(1+1a,1)时，f′(x)>0，f(x)在区间(1+1a,1)上单调递增，

所以当x=1+1a时，f(x)取得最小值，f(1+1a)=a+1+ln(−a)，

若f(x)≥0恒成立，则a+1+lℎn(−a)≥0，

设φ(x)=x+1+ln(−x)(x<0)，则φ′(x)=1+1x=x+1x，

当x∈(−∞,−1)时，φ′(x)>0，φ(x)在区间(−∞,−1)上单调递增，

当x∈(−1,0)时，φ′(x)<0，φ(x)在区间(−1,0)上单调递减，

所以φ(x)≤φ(−1)=0，即a+1+ln(−a)≥0的解为a=−1，

所以a=−1；

(3)当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，

所以21.解：(1)(p,q)为(1,4)时，S(p,q)=−3+2+(−1)+3=1>0，

(p,q)为(2,3)时，S(p,q)=2+(−1)=1>0，

(p,q)为(2,4)时，S(p,q)=2+(−1)+3=4>0，

(p,q)为(3,4)时，S(p,q)=(−1)+3=2>0，

故p<q，且使得S(p,q)>0的有序数对有(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)；

(2)由题意可得S(1,n)>0，S(2,n−1)<0，

又an为整数，故S(1,n)≥1，S(2,n−1)≤−1，

则S(1,n)−S(2,n−1)=a1+an≥2，

同理可得S(2,n−1)−S(3,n−2)=a2+an−1≤−2，

即有|a2+an−1|≥2，

同理可得，当i≠n2时，有|ai+a